【全程复习方略】高考数学第一轮总复习 考点36 直线、平面垂直的判定及其性质提能训练（含高考真题）新人教A版(1).doc

考点36 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1.(2013新课标全国高考理科t4)已知m,n为异面直线,m平面,n平面.直线l满足lm,ln,l,l,则()a.且lb.且lc.与相交,且交线垂直于ld.与相交,且交线平行于l【解题指南】结合已知的线面关系,画出图形,分析推断得正确结论.【解析】选d 因为m,n为异面直线,所以过空间内一点p,作,则,即垂直于与确定的平面,又平面,平面,所以平面,平面,所以平面既垂直平面,又垂直平面,所以与相交,且交线垂直于平面,故交线平行于,选d.2.(2013浙江高考文科t4)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面()a.若m,n,则mn b.若m,m,则c.若mn,m,则n d.若m,则m【解题指南】根据线、面平行、垂直的定义与性质判断.【解析】选c. a选项中m与n还有可能相交或异面;b选项中与还有可能相交;d选项中m与还有可能平行或m.3. （2013山东高考理科4）已知三棱柱abc-a1b1c1的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面积是边长为的正三角形，若p为底面a1b1c1的中心,则pa与平面abc所成角的大小为 ( )a. b. c. d.【解题指南】本题考查直线与平面所成的角，注意线面角的做法：垂-连-证-求.【解析】选 b. 取正三角形abc的中心，连结,则是pa与平面abc所成的角. 因为底面边长为，所以,.三棱柱的体积为,解得，即,所以，即.4. （2013大纲版全国卷高考文科11）与（2013大纲版全国卷高考理科10）相同已知正四棱柱的正弦值等于（ ）a. b. c. d.【解题指南】利用体积相等法求出三棱锥的高为即可确定与平面所成角的正弦值.【解析】选a.如图，设，则，三棱锥的高为，与平面所成的角为.因为，即，解得.所以.5.(2013浙江高考理科t10)在空间中,过点a作平面的垂线,垂足为b,记b=f(a).设,是两个不同的平面,对空间任意一点p,q1=ff(p),q2=ff(p),恒有pq1=pq2,则()a.平面与平面垂直b.平面与平面所成的(锐)二面角为45c.平面与平面平行d.平面与平面所成的(锐)二面角为60【解题指南】充分理解题意,依据立体几何中的面面之间的位置关系判断.【解析】选a.由于p是空间任意一点,不妨设p,如图所示,则q1=ff(p)=f(p),q2=ff(p)=f(q1),又pq1=pq2,显然b,c,d不满足,故选a.二、解答题6. （2013重庆高考文科19）如图，四棱锥中，底面， （）求证：平面；（）若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积【解题指南】直接利用线面垂直的判定定理证明平面,通过转化可求解三棱锥的体积.【解析】（）证明:因,即为等腰三角形,又,故.因为底面，所以.从而与平面内两条相交直线都垂直,所以平面.（）三棱锥的底面的面积由底面，得由,得三棱锥的高为,故所以7.（2013广东高考文科18）如图，在边长为1的等边中，分别是边上的点，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图所示的三棱锥，其中 (1) 证明：/平面；(2) 证明：平面；(3) 当时，求三棱锥的体积【解题指南】本题以折叠问题为背景，考查线面平行与垂直的证明及空间几何体体积的求法，对于立体几何中的折叠问题要注意折叠前后变与不变量.【解析】（1）在等边中，所以,在折叠后的三棱锥中也成立，所以.因为平面，平面，所以平面；（2）在等边中，是的中点，所以，.因为在三棱锥中，所以因为，所以平面；（3）由（1）可知，结合（2）可得平面.8. （2013辽宁高考文科18）如图， 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点.求证：平面平面;设为的中点, 为的重心,求证: 平面.【解题指南】利用条件证明线线垂直，进而证明线面垂直；借助线线平行去证明线面平行,再由面面平行的性质得到线面平行。【证明】由是圆的直径，得；由垂直于圆所在的平面，得平面;又平面，得；又所以连接并延长交于,连接由为的重心,知为的中点，由为的中点,则,又因为平面,平面所以平面又由为的中点,则，同理可证，平面因为,平面,平面,所以，据面面平行的判定定理，平面平面又平面,故平面.9. （2013大纲版全国卷高考文科19）如图，四棱锥都是边长为的等边三角形. （i）证明：（ii）求点 【解析】（i）取的中点，连结，则四边形为正方形.过作平面，垂足为.连结，.由和都是等边三角形知,所以，即点为正方形对角线的交点，故，从而.因为是的中点，是的中点，所以，因此.（ii）取的中点,连结,则.由（i）知，,故.又,故为等腰三角形，因此.又，所以平面.因为，平面,平面,所以平面.因此到平面的距离就是到平面的距离，而,所以到平面的距离为1.10. （2013四川高考文科19） 如图，在三棱柱中，侧棱底面，分别是线段的中点，是线段上异于端点的点。（1）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；（2）设（1）中的直线交于点，求三棱锥的体积。（锥体体积公式：，其中为底面面积，为高）【解题指南】本题第（1）问求解时要首先明确证明直线与平面垂直的定理需要满足的条件，在第（2）问的求解过程中要注意等体积法的转化.【解析】（1）如图,在平面abc内,过点p作直线lbc,因为l在平面a1bc外,bc在平面a1bc内,由直线与平面平行的判定定理可知,l平面a1bc.由已知,ab=ac,d是bc的中点,所以,bcad,则直线lad.因为aa1平面abc,所以aa1直线l.又因为ad,aa1在平面add1a1内,且ad与aa1相交,所以直线l平面add1a1.(2)过d作deac于e.因为aa1平面abc,所以deaa1,又因为ac,aa1在平面aa1c1c内,且ac与aa1相交,所以de平面aa1c1c.由ab=ac=2,bac=120,有ad=1,dac=60,所以在中，,又,所以因此三棱锥的体积是11. (2013天津高考文科t17)如图,三棱柱abc-a1b1c1中,侧棱a1a底面abc,且各棱长均相等.d,e,f分别为棱ab,bc,a1c1的中点. (1)证明ef平面a1cd.(2)证明平面a1cd平面a1abb1.(3)求直线bc与平面a1cd所成角的正弦值.【解题指南】(1)连接ed,通过证明四边形a1def为平行四边形,得出efa1d,以证明ef平面a1cd.(2)由侧棱a1a底面abc证明a1acd,再由三角形abc为等边三角形得出cdab,以证明cd平面a1abb1,进而证明平面a1cd平面a1abb1.(3)根据(2)的结论,过点b作a1d的垂线,以作出直线bc与平面a1cd所成角,化归到直角三角形中求解.【解析】（1）如图, 在三棱柱abc-a1b1c1中,aca1c1,且ac=a1c1,连接ed,在abc中,因为d,e分别为ab,bc的中点,所以de=ac且deac,又因为f为a1c1的中点,可得a1f=de,且a1fde,即四边形a1def为平行四边形,所以efda1,又ef平面a1cd,da1平面a1cd,所以ef平面a1cd.(2)由于abc是正三角形,d为ab的中点,故cdab,又由于侧棱a1a底面abc,cd平面abc,所以a1acd,又a1aab=a,因此cd平面a1abb1,而cd平面a1cd,所以平面a1cd平面a1abb1.(3)在平面a1abb1内,过点b作bga1d交直线a1d于点g,连接cg.由于平面a1cd平面a1abb1,而直线a1d是平面a1cd与平面a1abb1的交线,故bg平面a1cd,由此得bcg为直线bc与平面a1cd所成的角.设棱长为a,可得a1d=,由a1adbgd,易得bg=,在rtbgc中, 所以直线bc与平面a1cd所成角的正弦值为.12.(2013浙江高考文科t20)如图,在四棱锥p-abcd中,pa平面abcd,ab=bc=2,ad=cd=7,pa=3,abc=120,g为线段pc上的点.(1)证明:bd面pac.(2)若g为pc的中点,求dg与平面pac所成的角的正切值.(3)若g满足pc平面bgd,求pggc的值.【解题指南】(1)证明线面垂直可以根据定义证明;(2)首先要找出dg与平面pac所成的角,再在三角形中去解决;(3)根据线面垂直的性质求解.【解析】(1)设点o为ac,bd的交点,由ab=bc,ad=cd,得bd是线段ac的中垂线.所以o为ac的中点,bdac.又因为pa平面abcd,bd平面abcd,所以pabd,所以bd平面apc.(2)连结og,由(1)可知od平面apc,则dg在平面apc内的射影为og,所以ogd是dg与平面apc所成的角.由题意得在abc中，所以在rtocd中，在rtogd中，所以与平面所成角的正切值为.(3)连结og.因为pc平面bgd,og平面bgd,所以pcog,在rtpac中，得，所以，从而，所以13.(2013江苏高考数学科t16) 如图,在三棱锥s-abc中,平面sab平面sbc,abbc,as=ab,过a作afsb,垂足为f,点e,g分别是棱sa,sc的中点.求证:(1)平面efg平面abc.(2)bcsa.【解题指南】(1)利用面面平行的判定定理证明.(2)先证线面垂直再证线线垂直.【证明】(1)因为as=ab,afsb,垂足为f,所以f是sb的中点.又因为e是sa的中点,所以efab.因为ef平面abc,ab平面abc,所以ef平面abc.同理eg平面abc.又因为efeg=e,所以平面efg平面abc.(2)因为平面sab平面sbc,且交线为sb,又因为af平面sab,afsb,所以af平面sbc,因为bc平面sbc,所以afbc.又因为abbc,afab=a,af平面sab,ab平面sab,所以bc平面sab.又因为sa平面sab,所以bcsa. 14.（2013湖南高考文科17）如图.在直菱柱abc-a1b1c1中，bac=90，ab=ac=，aa1=3，d是bc的中点，点e在棱bb1上运动。（i） 证明：adc1e；（ii） 当异面直线ac，c1e 所成的角为60时，求三棱锥c1-a2b1e的体积【解题指南】证明两异面直线垂直，一般是先转化成线面垂直，后再证线线垂直。求三棱锥的体积关键是确定高和的长度【解析】（i）证明：因为ab=ac，d是bc的中点，所以 又在直三棱柱 abc-a1b1c1 中，而， 所以 由可得,因为点e在棱bb1上运动。得, 所以adc1e。(ii)因为,所以是异面直线所成的角，所以，因为,所以,又,从而,于是故，又，所以从而15.（2013江西高考文科19）如图，直四棱柱abcd a1b1c1d1中，ab/cd，adab，ab=2，ad=，aa1=3，e为cd上一点，de=1，ec=3. (1)证明：be平面bb1c1c; (2)求点b1 到平面ea1c1 的距离. 【解题指南】（1）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，必须先证两个线线垂直，本题中易得，只需借助长度关系证另一条即可；（2）三棱锥的点面距常利用等体积法.【解析】(1)证明：过点b作cd的垂线交cd于点f，则bf=ad=,ef=ab-de=1，fc=2.在bfe中，be=,在cfb中，bc=.在中，因为,所以,又由平面abcd得,又bb1bc=b,故be平面bb1c1c.(2) .在中，同理，则.设点到平面的距离为d，则三棱锥b1-ea1c1的体积为从而.16.（2013安徽高考理科19）如图，圆锥顶点为。底面圆心为o，其母线与底面所成的角为22.5.和是底面圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为60，（1）证明：平面与平面的交线平行于底面；（2）求。【解题指南】（1）证明平面pab与平面pcd的交线平行于底面上的直线ab；（2）取cd的中点f，得到为op与面pcd所成的角，在中，求出，即可得出。【解析】（1）设平面pab与平面pcd的交线为，因为ab/cd,ab不在面pcd内，所以ab/面pcd,又因为，面pab与面pcd的交线为，所以ab/，由直线ab在底面上而在底面外可知，与底面平行。（2）设cd的中点为f，连接of,pf,由圆的性质，因为所以,又，因此,从而直线op在面pcd上的射影为直线pf，故为op与面pcd所成的角，由题设知，设op=h，则，根据题设有，得，由，可解得。因此，在=，故=.17.（2013安徽高考文科18）如图，四棱锥p-abcd 的底面abcd是边长为2的菱形，bad=600。已知pb=pd=2，pa= . （1）证明：pcbd（2）若e为pa的中点，求三菱锥p-bce的体积。【解题指南】 （1）通过证明bd平面apc得pcbd；（2）转化为求解。【解析】（1）连接ac,交bd于o点,连接po,因为底面abcd是菱形,所以acbd,bo=do,由pb=pd知,pobd,再由poac=o,知bd平面apc,又pc平面apc,因此pcbd.（）因为e是pa的中点，所以,由pb=pd=ab=ad=2知，,因为，所以po=ao=,又=3，由（1）知，因此,18.（2013北京高考文科17）如图，在四棱锥p-abcd中，abcd,abad,cd=2ab,平面pad底面abcd，paad.e和f分别是cd和pc的中点，求证：（）pa底面abcd;（）be平面pad（）平面bef平面pcd.pabcdef【解析】(1)因为面pad面abcd,交线为ad,paad,所以pa面abcd.(2)因为abcd,e为cd中点,cd=2ab,所以abde且ab=de,所以四边形abed为平行四边形,所以bead.又因为ad面pad,be面pad,所以be面pad.(3)因为ba平面pad,而平面pad平面abcd,交线ad,所以ba平面pad,因为abcd,所以cd平面pad,所以cdpd且cdad,又因为在平面pcd中,efpd(三角形的中位线),于是cdfe.因为在平面abcd中,由(2),bead,于是cdbe.因为febe=e,fe平面bef,be平面bef,所以cd平面bef,又因为cd平面pcd,所以平面bef平面pcd. 19. （2013山东高考文科19）如图，四棱锥中，,分别为的中点()求证：()求证：【解题指南】（）本题考查线面平行的证法，可利用线线平行，也可利用面面平行，来证明线面平行；()本题考查了面面垂直的判定，在平面emn中找一个直线mn平面efg即可.【解析】(i)方法一：取pa的中点h,连接eh,dh.因为e为pb的中点，所以eh/ab,eh= ab.又ab/cd,cd=ab,所以eh/cd,eh=cd.因此四边形dceh是平行四边形.所以ce/dh.又dh 平面pad ,ce 平面pad,因此ce /平面pad .方法二：连接cf.因为f为ab 的中点，所以af=ab.又cd =ab,所以af=cd.又af/cd ，所以四边形afcd为平面四边形.因此cf /ad.又cf 平面pad,所以cf/平面pad.因为e,f分别为pb,ab的中点，所以ef/pa.又ef 平面 pad，所以ef /平面 pad.因为cf ef=f,故平面cef/平面 pad.又ce平面 cef ，所以ce/平面pad.（ii）证明：因为 e,f 分别为pb,ab的中点，所以ef/pa.又abpa .所以abef .同理可证abfg. 又 effg=f,ef平面efg ,fg平面 efg,因此ab平面efg, 又 m,n分别为 pd,pc 的中点，所以mn/cd .又 ab/cd， 所以 mn/ab,因此mn平面 efg,又mn平面emn,所以平面efg平面emn.20.