积分变量变换的应用.doc

积分变量变换的应用嘉应大学 数学学院083班 廖礼敏专业：数学与应用数学 学号：2080111322中文摘要：首先总结了已有的不定积分和定积分的换元积分法的应用，并对所获得的结果进行了应用。关键词：不定积分；定积分；换元积分法；正文：一、不定积分换元积分法：求解不定积分，能应用直接积分法的函数不多，因此，有必要进一步研究不定积分的求解方法。1、换元积分法的基本思想应用换元积分法进行积分是常见的积分方法。其实，换元积分法就是复合函数微分法的逆运算。回顾复合函数的微分手法，是将复合函数的复合变量替换为简单变量，然后应用简单函数的微分方法得，应用替换法，同样可以将复合函数的积分转化为简单函数的积分：于是，得到复合函数的积分法，称为换元积分法。换元积分法通常分两类：第一类换元法和第二类换元法。第一类换元法是将复杂变量替换为简单变量：，从而将复合函数的积分转化为简单函数的积分；第二类换元法是将简单变量替换为复杂变量：，从而将复杂的被积函数转化为可积分的函数。下面分别进行分析。一、第一类换元法1、第一类换元法的积分思路第一类换元法并非一种独立存在的积分方法，它建立在直接积分法的基础上，依赖直接积分法去最终完成积分。或者说，它以换元法为主要手段，以直接积分法为解决积分的最终方法。换言之，第一类换元法的积分思路，就是将含复合函数的积分转换为简单函数的积分，从而应用直接积分法解决问题。2、第一类换元法的基本公式定理1 设具有原函数，可导，则有换元公式或为 公式的要点：可以应用第一换元积分法的积分式必须具有结构： 或 换元时必须对两个位置的复合变量进行一致替换：一个是复合函数的第一中间变量，一个是微分函数中的待微分函数。换元后得到的积分式必须是简单函数的积分，如果仍含有复合函数，那么换元失败或复合变量认定错误。3、第一类换元积分法的步骤分解第一类换元法的基本公式在具体运用时，有许多技巧性手法，一下子不容易掌握，但万变不离其宗，根本的是掌握好基本公式的上述三个要点。为准确理解和掌握第一类换元法的基本公式，下面进行分解说明。第一类换元法的积分过程分为五个步骤：特征判断，凑微分，变量代换，直接积分，变量回代。下面分别对五个步骤进行详细的分解分析。第一步骤：特征判断检查被积函数是否适合应用第一换元法第一换元法要求被积函数具有结构特征： 或 亦即被积式可分解为具有乘积关系的两个部分：复合函数；该复合函数中间变量的微分或，注意：这里所指的中间变量，与求复合函数导数内容中的中间变量是一致的，专指去掉函数最外层后所得到的复合变量。于是，积分的第一步，就是要求被积函数可分解为具有上述特征的两个部分。若不能实现上述分解，则不可应用第一类换元积分法进行积分。由于第一类换元积分法要求被积函数中含有复合函数，所以又可以将第一类换元积分法称为复合函数积分方法。【例1】积分可否应用第一换元法进行积分？【分析】被积式可分解为复合函数与微分部分之积，该微分部分恰为其中间变量的微分，符合第一换元积分公式的结构特征，说明可以应用第一换元法进行积分。【例2】积分可否应用第一换元法进行积分？【分析】被积式可分解为复合函数与微分部分之积，该微分部分与其中间变量的微分对比仅差一常数倍2，由于可变形为，由上【例1】知，该积分可以应用第一换元法进行积分。【例3】积分可否应用第一换元法进行积分？【分析】被积式可分解为复合函数与微分部分之积，该微分部分与其中间变量的微分对比相差一变量，不符合第一换元积分公式的结构特征，于是该积分不可以应用第一换元法进行积分。注意：可以对积分号内外乘、除同一常数，使其符合公式结构要求； 不可将积分式中的变量抽到积分符号外面，或对积分号内外乘、除同一变量，强行将积分式“整理”成为结构上符合第一换元法要求的形式！第二步骤：凑微分将积分式整理成为换元前的形式第一类换元法在将积分式整理为可换元形式时常须进行凑微分。凑微分，即为将积分式中的微分部分，整理成为中间变量的微分形式时所应用的运算手法。运算时，将微分部分与中间变量的微分结果相对比，是“凑”的关键。正因为第一类换元积分法的这一重要而关键的运算手法，常将第一类换元积分法称为凑微分法。【例4】对积分进行凑微分，将积分式整理为第一换元法公式的结构。【解】积分式中的微分部分为，复合函数部分的中间变量的微分为两部分恰相等，即得【例5】对积分进行凑微分，将积分式整理为第一换元法公式的结构。【解】积分式中的微分部分为，复合函数部分的中间变量的微分为，两部分相差一个常数2，将原积分式恒等变形，使得微分部分为，即第三步骤：变量代换将复合函数的可换元结构代换为简单函数的积分。第一类换元积分法的换元手段为：将复合函数的中间变量，以及微分函数中的变量，一致转换为简单变量u，即令，将复合函数的积分变换成为简单函数的积分，从而可通过直接积分解决问题。第一类换元积分法正是由此而得名。【例6】对积分进行换元，将积分式转换为简单函数的积分。【解】为简单函数的积分。注意：第三步骤中，被积函数能否转换成简单函数，是成功积分的关键。而这一转换的关键，又在于函数关系f( )是否为最外层的。第四步骤：直接积分应用直接积分法进行积分这是回到本章第一节的内容直接积分法。注意：积分符号“”消失的同时，应在积分结果的末尾加上不定常数“C”。【例7】求。【解】第五步骤：变量回代对积分结果恢复原积分变量即：将简单函数的积分结果作变量回代，恢复原积分变量。注意：若积分的最终结果中，函数变量与原来的变量不相一致，则属于错误的结果。至此，得到的积分全过程：【例8】求解。【解】 - 检查并配型 - 凑微分 - 换元 - 直接积分 - 变量回代4、第一类换元积分法要点归纳第一类换元积分法的主要思路，是通过将复合函数的中间变量置换成为简单变量，使含复合函数的被积式转换成为简单函数的被积式，达到可应用直接积分法的目的，从而解决含复合函数的积分。因此，第一换元法也可称为含复合函数的积分方法。第一类换元积分法在对中间变量进行置换前，首先应检查被积式的结构特征。检查的结果无非为如下三种情况：假设含复合函数的积分为，于是中间变量的微分与被积式中的微分部分完全一致，则直接将转换成；中间变量的微分，与被积式中的微分部分仅相差一个常数倍A，则将作恒等变换，；中间变量的微分与被积式中的微分部分不一致，且存在变量的差异，则第一类换元法失效或分析有误(可能对中间变量选择错误)。综上所述，第一换元法的特征判断、凑微分和变量代换这三个主要步骤，目标就是为使置换后的积分可以进行直接积分。若实现不了这个目标，则说明第一换元法失效或中间变量的设置失当。例如：【例9】中复合函数的中间变量是，则为简单函数的积分；而的中间变量是，则为简单函数的积分，但若后一积分也用作中间变量，则无法进行一致换元成为简单函数的积分。硬换会成为，导致积分函数的变量与积分变量不一致，无法正确积分。二、定积分的换元积分法：由牛顿莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数在数学分析中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的1定积分换元法定理 假设(1) 函数在区间上连续；(2) 函数在区间上有连续且不变号的导数；(3) 当在变化时，的值在上变化，且，则有 (1)本定理证明从略在应用时必须注意变换应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分例1 计算解 令，则当时，；当时，于是 例2 计算aaOxy解 令，则当时，；当时，故 图58 显然，这个定积分的值就是圆在第一象限那部分的面积(图58)例3 计算解法一 令，则当时，；当时，于是解法二 也可以不明显地写出新变量，这样定积分的上、下限也不要改变即 此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元不需要变