数值分析4-计算方法4插值法VIP

第四章插值法定积分 dx 当被积函数 比较复杂时 其原函数一般不能用初等函数表示 可用一个简单函数 近似替代 从而得到 的近似值 实际工作遇到许多离散数据 不便于进行深入的理论分析 为此需要构造一个吻合离散数据的简单函数 4 1多项式插值问题的一般提法设 在 上有定义 已知 0 1 0 1 求作一次数不超过 1的代数多项式 0 1 1 1使 0 1 0 1 称 为 的插值函数称 为插值区间称 0 1 0 1 为插值节点例4 1已知函数 在 0处的函数值 0 和 0处的一至阶 导数值 0 1 2 试构造一插值多项式 解 设 0 1 0 0 令 0 0 0 1 0 2 0 2 2 2 0 0 0 于是 0 0 0 0 4 2Lagrange多项式插值1 Lagrange插值及其唯一性Lagrange插值多项式设 在 上有定义 已知节点 0 1 对应的函数值 0 1 求一次数不超过 的插值多项式 使 1 2 称 为Lagrange插值多项式Lagrange插值多项式的唯一性 依据Lagrange插值多项式所满足的条件 得系数矩阵为 0 1 为Vandermonde行列式 如果 则 0 1 0故系数 0 1 是唯一的 从而Lagrange插值多项式唯一 2 Lagrange插值多项式的基函数构造法两个插值节点 1 已知节点 1的函数值 1 构造一次Lagrange插值多项式 1 使 1 1 1 1 1显然 1 1 1 1 1 1 1记 1 1 1 1 称 与 1 为一次插值基函数 于是 1 1 1 三个插值节点 2 已知节点 1 1的函数值 1 1构造二次Lagrange插值多项式 2 使 2 1 1 1 2 2 1 1 1依照基函数构造方式 有 2 1 1 1 1 称 1 1 为二次插值基函数 满足 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1由此 1 1再由 1求得 1 1 1 例4 2利用100 121的开方求115的近似值 解 115 10 723805 0 100和 1 121的开方为 0 10及 1 11一次插值多项式 1 1 0 1 0 0 1 0 1115 1115 115 121100 12110 115 100121 10011 10 71428具有三位有效数字 如果增加节点 2 144 2 12 构造二次插值多项式 得115 2115 10 7228具有四位有效数字 一般情形 任意个插值节点 已知函数 在节点 0 1 的函数值 0 1 依基函数构造方法 得下述 次插值多项式 0 0 1 1 其中 1 0 0 1 2 故有 0 1 1 1 0 1 1 1 3 Lagrange插值多项式的插值余项 插值多项式 被插值函数 记 其中 0 0 1 2 令 0 1 1 构造辅助函数 1 其中 为插值区间 上某一固定点 0 0 1 在 上有 2个零点 根据Rolle定理 在 的两个零点之间至少有一个零点 故 在至少 上至少 1有个零点 以此类推 1 在 上至少有一个零点 即有 1 0亦即 1 1 1 0于是 1 1 记 max 1 则有 1 1 注意 插值法不适合做外插例4 3设 在 0 0 10 1 0 15 2 0 25 3 0 30上的值分别为0 904837 0 860708 0 778801 0 740818试构造三次Lagrange插值多项式 求 在 0 20的近似值并估计误差 解 0 20 0 8187307 由 3 03 得 30 20 0 818730 而 30 20 4 40 20其中 max0 1 0 3 4 0 91于是 30 20 0 95 10 6 例4 4设 为互异插值节点 0 1 证明 0 0 1 证明 插值余项 1 1 1 此时 0 于是 1 0所以 0故有 0 0 1 4 3分段插值例4 5考察函数 11 2 5 5将区间 5 5分为5和10等分 由此可见 次数越高的插值多项式逼近被插值函数的效果比次数低的插值多项式更差 这种现象称为Runge现象 1 分段线性插值已知函数 在节点 0 1 的函数值 0 1 记 1 为分段线性插值 满足 1 在 1 0 1 1上是线性函数 1 0 1 1 在 0 上为连续函数在区间 1 上 有 1 1 1 1 1 1 1 在区间 1上 有 1 1 1 1 1 1 1 分段一次插值基函数表达式 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1于是 1 0 2 分段三次Hermite插值已知 在节点 0 1 的函数值 0 1 以及一阶导数值 0 1 记 3 为分段Hermite插值 满足 3 在 1 0 1 1上是3次多项式 3 3 0 1 3 在 0 上为一阶导数连续的函数考察 1 设 3 1 1 1 1 基函数满足下列关系式 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 令 12再由 1和 0 求得 和 于是 1 121 2 1 同理 求得 1 12 考察 1 得 1 121 2 1 1 12 于是 3 0 4 3三次样条插值高阶插值 光滑性足够 但由于出现Runge现象 导致较大计算误差 分段低阶插值虽能避免Runge现象 保证一定计算精度 但光滑性较差 定义4 1设 为 上的三次样条函数 插值节点为 0 1 满足1 在区间 1上 为三次多项式2 0 1 3 在 上为二阶导数连续的函数 含有4 个待定系数 要确定 需要4 个已知条件 已知条件有 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1共有4 2个已知条件补充 如 1 0 0 2 0 0 确定三次样条插值函数的方法有 三弯矩方程 三转角方程1 三弯矩方程设 在节点 0 1 上的二阶导数 0 1 记 1 0 1 1在区间 1上 为三次多项式 故 为一次多项式于是 1 1 对 做两次积分 利用 1 1可确定两个积分常数 得 1 36 36 26 1 26 1于是 1 22 22 1 1 1 6 1 同理 得 22 1 1 122 1 1 1 16 1 1 由连续条件 0 0 得1 1 2 1 其中 1 6 1 1 1 1 如果补充两边界条件 0 0 0 得以下计算 1 2 1的线性方程组 4 3曲线拟合的最小二乘法在科学实验中 常需要通过一组实验数据来估计函数 插值方法为处理这种问题的一类方法 插值方法要求插值曲线通过每一个数据点 而实验数据一般含有误差 这将导致插值函数保留一切测试误差 从而不能很好地反映实验数据的总体趋势 曲线拟合 从数据集中找出数据总体分布规律 构造一条较好反映这种分布规律的曲线 不要求曲线 点点通过数据集 只要求曲线 尽可能靠近数据集 设有数据集 0 1 为拟合曲线 误差 总误差 a 1 0 b 2 0 212 c max0 采用 2衡量总误差 并使拟合曲线 总误差达到最小的方法称为曲线拟合的最小二乘法 对于给定的数据集 0 1 在函数类 0 1 中寻找 使 22 0 2 0 2 达到最小 其中 0 1 线性无关 0 0 1 1 待定系数 0 1 22 0 1 0 0 2使 2达到最小转化为多元函数 0 1 求极小值由 0 0 1 得 0 0 0 0 1 记 0 0 于是 0 0 1 矩阵形式为 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 因 0 1 线性无关 故上述方程组系数矩阵 对称 行列式不为零 有唯一解 例4 6已知一组实验数据求拟合曲线 解 直接观察 上述数据集分布在一条直线附近 故设拟合曲线方程为 0 1 构造目标函数 22 0 1 04 0 1 2 0 165 1 1872 0 123 1 1262 0 150 1 1722 0 123 1 1252 0 141 1 1482令 0 2 0 165 1 187 2 0 123 1 126 2 0 150 1 172 2 0 123 1 125 2 0 141 1 148 0 1 2 165 0 165 1