全国高校自主招生数学模拟试卷五 新人教版.doc

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷五一选择题(本题满分36分，每小题6分)1设锐角q使关于x的方程x2+4xcosq+cosq=0有重根，则q的弧度数为 ( ) a b或 c或 d2已知m=(x，y)|x2+2y2=3，n=(x，y)|y=mx+b若对于所有的mr，均有mn，则b的取值范围是 ( ) a， b(，) c(， d， 3不等式+logx3+20的解集为 a2，3) b(2，3 c2，4) d(2，4 4设点o在dabc的内部，且有+2+3=，则dabc的面积与daoc的面积的比为( ) a2 b c3 d 5设三位数n=，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( ) a45个 b81个 c165个 d216个6顶点为p的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，a是底面圆周上的点，b是底面圆内的点，o为底面圆圆心，abob，垂足为b，ohpb，垂足为h，且pa=4，c为pa的中点，则当三棱锥ohpc的体积最大时，ob的长为 ( ) a b c d 二填空题(本题满分54分，每小题9分)7在平面直角坐标系xoy中，函数f(x)=asinax+cosax(a0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)= 的图像所围成的封闭图形的面积是 ；8设函数f：rr，满足f(0)=1，且对任意x，yr，都有f(xy+1)=f(x)f(y)f(y)x+2，则f(x)= ；9如图，正方体abcda1b1c1d1中，二面角abd1a1的度数是 ；10设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k= ；11已知数列a0，a1，a2，an，满足关系式(3an+1)(6+an)=18，且a0=3，则的值是 ；12在平面直角坐标系xoy中，给定两点m(1，2)和n(1，4)，点p在x轴上移动，当mpn取最大值时，点p的横坐标为 ；三解答题(本题满分60分，每小题20分)13一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关问： 某人在这项游戏中最多能过几关？ 他连过前三关的概率是多少？14在平面直角坐标系xoy中，给定三点a(0，)，b(1，0)，c(1，0)，点p到直线bc的距离是该点到直线ab、ac距离的等比中项 求点p的轨迹方程； 若直线l经过dabc的内心(设为d)，且与p点轨迹恰好有3个公共点，求l的斜率k的取值范围15已知a，b是方程4x24tx1=0(tr)的两个不等实根，函数f(x)=的定义域为a，b 求g(t)=maxf(x)minf(x)； 证明：对于ui(0，)(i=1，2，3)，若sinu1+sinu2+sinu3=1，则+2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四参考答案一选择题(本题满分36分，每小题6分)1设锐角q使关于x的方程x2+4xcosq+cotq=0有重根，则q的弧度数为 ( ) a b或 c或 d解：由方程有重根，故d=4cos2qcotq=0， 0q0的解集为 a2，3) b(2，3 c2，4) d(2，4 解：令log2x=t1时，t2t1，2)，x2，4)，选c4设点o在dabc的内部，且有+2+3=，则dabc的面积与daoc的面积的比为( ) a2 b c3 d 解：如图，设daoc=s，则doc1d=3s，dob1d=dob1c1=3s，daob=dobd=1.5sdobc=0.5s，dabc=3s选c5设三位数n=，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( ) a45个 b81个 c165个 d216个解：等边三角形共9个； 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a，b)，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，ba0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)= 的图像所围成的封闭图形的面积是 ；解：f(x)= sin(ax+j)，周期=，取长为，宽为2的矩形，由对称性知，面积之半即为所求故填又解：1sin(ax+j)dx=(1sint)dt=8设函数f：rr，满足f(0)=1，且对任意x，yr，都有f(xy+1)=f(x)f(y)f(y)x+2，则f(x)= ；解：令x=y=0，得，f(1)=110+2，f(1)=2令y=1，得f(x+1)=2f(x)2x+2，即f(x+1)=2f(x)x又，f(yx+1)=f(y)f(x)f(x)y+2，令y=1代入，得f(x+1)=2f(x)f(x)1+2，即f(x+1)=f(x)+1比较、得，f(x)=x+19如图，正方体abcda1b1c1d1中，二面角abd1a1的度数是 ；解：设ab=1，作a1mbd1，anbd1，则bnbd1=ab2，bn=d1m=nm=a1m=an= aa12=a1m2+mn2+na22a1mnacosq，12=+2cosq，cosq=q=6010设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k= ；解：设=n，则(k)2n2=，(2kp+2n)(2kp2n)=p2，k=(p+1)211已知数列a0，a1，a2，an，满足关系式(3an+1)(6+an)=18，且a0=3，则的值是 ；解：=+，令bn=+，得b0=，bn=2bn1，bn=2n即=，=(2n+2n3)12在平面直角坐标系xoy中，给定两点m(1，2)和n(1，4)，点p在x轴上移动，当mpn取最大值时，点p的横坐标为 ；解：当mpn最大时，mnp与x轴相切于点p(否则mnp与x轴交于pq，则线段pq上的点p使mpn更大)于是，延长nm交x轴于k(3，0)，有kmkn=kp2，kp=4p(1，0)，(7，0)，但(1，0)处mnp的半径小，从而点p的横坐标=1三解答题(本题满分60分，每小题20分)13一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关问： 某人在这项游戏中最多能过几关？ 他连过前三关的概率是多少？解： 设他能过n关，则第n关掷n次，至多得6n点，由6n2n，知，n4即最多能过4关 要求他第一关时掷1次的点数2，第二关时掷2次的点数和4，第三关时掷3次的点数和8第一关过关的概率=；第二关过关的基本事件有62种，不能过关的基本事件有为不等式x+y4的正整数解的个数，有c个 (亦可枚举计数：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)计6种，过关的概率=1=；第三关的基本事件有63种，不能过关的基本事件为方程x+y+z8的正整数解的总数，可连写8个1，从8个空档中选3个空档的方法为c=56种，不能过关的概率=，能过关的概率=；连过三关的概率=14在平面直角坐标系xoy中，给定三点a(0，)，b(1，0)，c(1，0)，点p到直线bc的距离是该点到直线ab、ac距离的等比中项 求点p的轨迹方程； 若直线l经过dabc的内心(设为d)，且与p点轨迹恰好有3个公共点，求l的斜率k的取值范围解： 设点p的坐标为(x，y)，ab方程：+=1，4x3y+4=0， bc方程：y=0， ac方程：4x+3y4=0， 25|y|2=|(4x3y+4)(4x+3y4)|，25y2+16x2(3y4)2=0，16x2+16y2+24y16=0，2x2+2y2+3y2=0或25y216x2+(3y4)2=0，16x234y2+24y16=0，8x217y2+12y8=0 所求轨迹为圆：2x2+2y2+3y2=0， 或双曲线：8x217y2+12y8=0 但应去掉点(1，0)与(1，0) dabc的内心d(0，)：经过d的直线为x=0或y=kx+ (a) 直线x=0与圆有两个交点，与双曲线没有交点；(b) k=0时，直线y=与圆切于点(0，)，与双曲线交于(，)，即k=0满足要求(c) k=时，直线与圆只有1个公共点，与双曲线也至多有1个公共点，故舍去(c) k0时，k时，直线与圆有2个公共点，以代入得：(817k2)x25kx=0当817k2=0或(5k)225(817k2)=0，即得k=与k= 所求k值的取值范围为0，15已知a，b是方程4x24tx1=0(tr)的两个不等实根，函数f(x)= 的定义域为a，b 求g(t)=maxf(x)minf(x)； 证明：对于ui(0，)(i=1，2，3)，若sinu1+sinu2+sinu3=1，则+解： a+b=t，ab=故a0当x1，x2a，b时， f (x)= =而当xa