山东省武城县第二中学高中数学一轮复习 3.15 空间向量的直角坐标运算.doc

山东省武城县第二中学高中数学一轮复习：3.15空间向量的直角坐标运算【知识导引】试类比平面向量的长度和向量夹角公式，写出空间向量运算中相应的公式。【自学导拨】（1）设，则，从而有.（2）设，则.【思路方法技巧】例1.在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别为a1b1，bb1的中点，求与所成的角的余弦值。例2.已知，若与的夹角为钝角，求实数的取值范围。例3.如图所示，直三棱柱abca1b1c1，底面中，bca90，棱aa12，m，n分别是aa1，cb1的中点。（1）求bm，bn的长；（2）求的面积。例4.正四棱锥sabcd的侧棱长为，底面边长为，e是sa的中点，o为底面abcd的中心。（1）求ce的长；（2）求异面直线be与sc所成角的余弦值。【巩固练习】1.已知，则（）a.b.c.11d.2.若向量，且与的夹角的余弦为，则等于（）a.2b.2c.2或d.或3.如果，那么（）a.10b.c.9d.34.已知，则与轴正半轴所成的角为（）a.0b.c.d.5.已知，则的最小值是（）a.b.c.d.6.已知，则向量与的夹角是（）a.90b.60c.30d.07.已知，则。8.模等于且方向与向量相同的向量为。9.已知空间三点，求以，为边的平行四边形的面积。10.已知，点q在直线op上运动（o为坐标原点），当取最小值时，求点q的坐标.11.已知向量，点，.（1）求；（2）在直线上是否存在一点，使（o为原点）？若存在，求出点e坐标；若不存在，说明理由.12.已知关于的方程有两个实根，.（1）当取最小值时，求的值；（2）在（1）的情况下，求和的夹角的余弦值.3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程编写人：袁丽萍审核人：吴瑞霞【知识引导】1.回顾空间向量平行和垂直的充要条件.2.试讨论两个非零向量所成角的范围，并与两条直线所成角的范围做区别。【自学导拨】1.用向量表示直线或点在直线上的位置（1）直线的方向向量与直线的向量，称为直线的方向向量。（2）直线的向量参数方程在直线上给定的一个定点a和它的一个方向向量，对于直线上的任意一点p，有：或=；（其中）.上面三个向量等式都叫做空间直线的向量参数方程。（3）线段ab的中点m的向量表达式.2.用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行（1）设直线和的方向向量分别为和，则由向量共线的条件得：或与重合.（2）已知两个不共线向量，与平面共面，一条直线的一个方向向量为，则由得或.（3）已知两个，与平面共面，则由两平面平行的判定和性质得或与重合。3.用向量证明两条直线垂直或求两直线所成的角（1）设两条直线所成的角为，则直线方向向量的夹角与。（2）设直线和的方向向量分别为和，与的夹角为，则，.【思路方法技巧】例1.已知a，b，c三点共线，则对空间任一点o，存在三个不为零的实数，使，那么的值等于。例2.如图，在直三棱柱abca1b1c1中，底面是以为直角的等腰直角三角形，ac2，d是的中点，证明：平面.例3.如图，在长方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是b1c1，c1d1的中点，且aa12，abad1.（1）求证：efa1c；（2）求直线a1c1与df所成角的余弦值。例4.四棱锥pabcd的底面是边长为2的菱形，dab60，对角线ac与bd交于点o，po平面abcd，pb与平面abcd的夹角为60，e为pb的中点，求de与pa夹角的余弦值。【巩固练习】1.的方向向量，的方向向量，若，则等于（）a.1b.2c.3d.42.若直线的方向向量与的方向向量的夹角为150，则与这两条异面直线所成的角等于（）a.30b.150c.30或150d.以上均错3.已知直线的方向向量，直线的方向向量，若，且，则的值是（）a.3或1b.3或1c.3d.14.已知点，c为线段ab上一点且，则点c的坐标为（）a.b.c.d.5.如图所示，在棱长为1的正方体ac1中，m，n分别为a1b1和bb1的中点，那么直线am与cn夹角的余弦值为（）a.b.c.d.6.在正方体ac1中，pq与直线a1d和ac都垂直，则直线pq与bd1的关系是（）a.异面直线b.平行直线c.垂直不相交d.垂直且相交7.已知，点b在平面内，若直线ab的方向向量是，求点b的坐标。8.已知中，c90，sa平面abc，且ac2，bc，sb，求异面直线cs与ab所成的角的余弦值。9.两个边长都为1的正方形abcd与abef相交于ab，ebc90，m，n分别是bd，ae上的点，且andm.（1）求证：mn平面ebc；（2）求mn长度的最小值。10.已知m为长方体ac1的棱bc的中点，点p在长方体ac1的面cc1d1d内，且pm平面bdd1b1，试探点p的确切位置。3.2.2平面的法向量与平面的向量表示（1）编写人：袁丽萍审核人：吴瑞霞【知识导引】回顾直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面平行、平面与平面垂直的判定定理。设a是空间任一点，为空间内的任一非零向量，适合条件的点m的集合构成什么图形？【自学导拨】1.平面的法向量如果向量的基线与平面，则向量叫做平面的法向量或说向量与平面正交.2.法向量的应用（1）一个平面的向量表示式设a是空间任一点，为过定点a的平面的一个法向量，则平面内任一点m满足的关系式为。（2）判断两个平面平行或垂直设，分别是平面，的法向量，则或与重合；.【思路方法技巧】例1.在长方体abcda1b1c1d1中，e，p分别是bc，a1d1的中点，m，n分别是ae，cd1的中点，adaa1，ab.求证：平面.例2.长方体abcda1b1c1d1中，m，n，e，f分别是棱a1d1，a1b1，d1c1，b1c1的中点，求证：平面amn平面bdef.例3.在四面体abcd中，ab平面bcd，bccd，bcd90，adb30，e，f分别是ac，ad的中点，求证：平面bef平面abc.例4.如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是b1b，dc的中点，求证：ae平面a1d1f.【巩固练习】1.已知，则平面abc的一个法向量是（）a.b.c.d.2.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（）a.b.c.d.与斜交3.若是平面的一个法向量，则下列向量中能作平面法向量的是（）a.b.c.d.4.平面与的法向量分别为，则平面与的位置关系是（）a.平行b.垂直c.相交不垂直d.无法判断5.设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则等于（）a.2b.4c.4d.26.下列各结论中，正确的共有（）同一平面的不同的法向量是共线向量；若是平面的法向量，是平面内的向量，则；设非零向量，均在平面内，若，则是平面的法向量.a.0个b.1个c.2个d.3个7.已知平面经过点，且是的法向量，是平面内任意一点，则，满足的关系式是。8.已知，分别是平面，的一个法向量，且，则。9.如图，在四棱锥oabcd中，底面abcd是边长为1的菱形，abc，oa底面abcd，oa2，m为oa的中点，n为bc的中点。求证：直线mn平面ocd.10.如图所示，正方体abcda1b1c1d1的棱长为4，m，n，e，f分别是棱a1d1，a1b1，d1c1，b1c1的中点.求证：平面amn平面bdef.11.abca1b1c1是各棱长均为的正三棱柱，d是侧棱cc1的中点，求证：平面ab1d平面abb1a1.12.在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是棱ab，bc的中点，试在棱bb1上找一点m，使得d1m平面efb1.3.2.3平面的法向量与平面的向量表示（2）编写人：袁丽萍审核人：吴瑞霞【知识导引】试回顾直线与平面垂直的判定定理与性质定理.【自学导拨】1.射影（1）已知平面和一点a，过点a作的与相交于点a，则的正射影，简称射影。（2）图形f上在平面内的所成集合f，叫做图形f在平面内的射影。2.三垂线定理及逆定理（1）三垂线定理：如果平面内的与平面的一条斜线在这个平面内的，则它也和这条斜线垂直。（2）三垂线定理的逆定理：如果平面内的和这个平面的，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直。【思路方法技巧】例1.如图，p是所在平面外一点，且pa平面abc，若o，q分别是和的垂心，且，求证：oq平面pbc.例2.如图，和都是以d为直角顶点的直角三角形，且adbdcd，bac60，h为的垂心。求证：h是d在平面abc内的射影。例3.在平面内，于点a，abb于点b，求证：. 试评析甲、乙两位同学的证明。甲：，而，所以，又，所以（三垂线定理）；乙：因为，所以ab为pb在平面内的射影，又因为，利用三垂线定理，所以.【巩固练习】1.已知b是点在平面上的射影，则等于（）a.b.c.5d.132.正方体的对角线与各个面上与其不共端点的对角线的位置关系是（）a.异面垂直b.异面不垂直c.可能相交可能异面d.可能相交、平行或异面3.po平面abc，垂足为o，abc90，bac30，bc5，papbpc10，则po的长等于（）a.5b.c.10d.4.在平面内和这个平面的斜线垂直的直线（）a.只有一条b.可能一条也没有c.可能有一条也可能有两条d.有无数多条5.点p在平面abc内的射影是o，且pa，pb，pc两两垂直，那么点o是的（）a.内心b.外心c.垂心d.重心6.正方体abcda1b1c1d1中，e为a1c1的中点，则直线ce垂直于（）a.acb.bdc.a1d1d.aa17.已知矩形abcd，ab1，bca，pa平面abcd，若在bc上只有一个点q满足pqqd，则a的值等于。8.如图所示，在直四棱柱abcda1b1c1d1中，当底面四边形abcd满足条件时，有a1cb1d1.（注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能情形）9.在四面体abcd中，已知abcd，acbd.求证：adbc. 10.如图，在四棱锥pabc