分析法在立体几何问题中应用.doc

分析法在立体几何问题中应用 湖州中学 凌 红立体几何在高中是一个难点，特别是添辅助线，让很多同学无从下手.虽然证明题的思路是非常明确的，比如要证明线面平行，只要在平面中找到一条直线与已知直线平行即可；要证明两条异面直线垂直，只要构造一个包含其中一条直线的平面与另一条直线垂直即可，但是如何去寻找所需要的直线与平面呢？幸好空间向量的引入，使得立体几何也可以转化成代数问题进行计算，不需要添加辅助线，只要能建立适当的空间直角坐标系，通过计算即可解决立体几何的问题.但事与愿违，那些没有数量关系的几何问题不可能利用空间向量来解决，因此如何添加辅助线的可操作性的方法便呼之欲出.接下来，利用分析法讨论两类问题：如何添加辅助线和建立适当空间直角坐标系.一、分析法解决辅助线问题例1 在正方体中，求证：平面分析：要证明平面，只要证明垂直于平面内的两条相交直线.利用分析法，可以将平面看成是已知条件，则根据线面垂直的定义，有垂直于平面内的所有直线，所以只要选取其中的两条来证明即可.接下来问题就转化成为证明和，即两条异面直线垂直，常用的方法就是构造线面垂直.先来证明.利用分析法，可以看成是已知条件，由于处于下底面，只要过有一条垂直垂直于的直线即可，因为底面是一个正方形，故对角线互相垂直，所以只要连接，就应有平面.这样问题就转化为证明平面.由于，即可证明.然后同理可证.证明过程略.评注：其实这个题，如果用三垂线定理，应该是比较容易想到连接，因为是在下表面内的射影。但由于课改后，在必修2中对三垂线定理只字不提，增大了此类题目的难度.类似地，普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学必修2的73页上有这样一个探究题：如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时， 分析：连接，只要，就有.例2 如图，是平行四边形，是平面外一点，为的中点.求证：平面. SABCDM分析：要证明平面，只要在平面中找到一条直线与平行.利用分析法，可以将平面看成已知条件，根据线面平行的性质定理，过的平面只要与平面相交，则与交线平行.题目中包含有两个平面只有平面和平面，而这两个平面与平面的交线在这个几何体的外面，不太好找.我们可以改变策略，在四棱锥中构作一个包含的平面.根据确定平面的公理2的推论：一条直线和直线外一点可以唯一确定一个平面，我们选取点，连接交于，构作平面，它与平面的交线是，故只要证明.由于底面是平行四边形，是的中点，易得.证明过程略.评注：由于线面平行的话，直线上所有点到平面的距离相等，而且垂直于同一个平面的两条直线平行，两条平行直线也可确定一个平面，有时也利用平行四边形构作平面.如下题.在正方体中，分别是上的点，.求证：平面.二、分析法建立空间直角坐标系利用空间向量解决立体几何问题有着无比的优越性，因此逐渐成为高考的热点之一.新课改也处处体现向量方法的重要性.在必修2的最后一章，介绍了空间直角坐标系，重点要求掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定，以及空间向量的模长，从而掌握空间向量的数量积来解决长度与角度的问题.而空间直角坐标系是将几何问题转化为代数问题的关键，所以如何建立空间直角坐标系就显得犹为重要.接下来，利用分析法谈谈建立空间直角坐标系的问题.例3 四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面，已知，.（1） 求证：；（2） 求直线与平面所成角的大小. SABCD分析：要建立空间直角坐标系，最好有一个线面垂直.先来分析下底面，由于下底面是的平行四边形，且，故连接，有是已为直角的等腰直角三角形.取的中点为，连接，则.利用分析法，将看成已知条件，所以应有平面，则.因为侧面底面，根据面面垂直的定义，有底面.故可取为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系.证明过程略.附：分析法得到意想