广东省广州市高三数学毕业班综合测试试题（一）（广州一模） 理 新人教A版.doc

试卷类型：a2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科） 本试卷共4页，21小题， 满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2b铅笔将试卷类型（a）填涂在答题卡相应位置上。2选择题每小题选出答案后，用2b铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用2b铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式： 如果事件相互独立,那么.线性回归方程中系数计算公式，其中表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集，集合，则a bc d2. 已知，其中是实数，i是虚数单位，则iai bi ci di 3已知变量满足约束条件则的最大值为a b c d4. 直线截圆所得劣弧所对的圆心角是a b c d 5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是a b c. d. 6. 函数是a奇函数且在上单调递增 b奇函数且在上单调递增 c偶函数且在上单调递增 d偶函数且在上单调递增 7已知e是自然对数的底数，函数e的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是 a b. c. d. 水流方向8如图2，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘客船从码头出发匀速驶往河对岸的码头.已知km，水流速度为km/h, 若客船行驶完航程所用最短时间为分钟，则客船在静水中的速度大小为a km/h bkm/h 图2 ckm/h dkm/h 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9. 不等式的解集是 .10d .11某工厂的某种型号的机器的使用年限和所支出的维修费用(万元)有下表的统计资料：23456.57.0根据上表可得回归方程，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年时维修费用约 万元（结果保留两位小数） 12已知，函数若函数在上的最大值比最小值大，则的值为 . 13. 已知经过同一点的n个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这个平面将空间分成个部分，则 ， .（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标为 15（几何证明选讲选做题）如图3，是的直径，是的切线，与交于点，若，则的长为 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数（其中，）的最大值为2，最小正周期为.（1）求函数的解析式；（2）若函数图象上的两点的横坐标依次为，为坐标原点，求 的面积.17（本小题满分12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为， ()，且三位学生是否做对相互独立.记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：0123(1) 求至少有一位学生做对该题的概率；（2) 求，的值；（3) 求的数学期望.18（本小题满分14分）如图4，在三棱柱中，是边长为的等边三角形，平面，分别是，的中点. （1）求证：平面；（2）若为上的动点，当与平面所成最大角的正切值为时，求平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值.19（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且 n.(1) 求数列的通项公式；（2）若是三个互不相等的正整数，且成等差数列，试判断是否成等比数列？并说明理由.20（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，点在椭圆 上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点.(1) 求椭圆的方程；(2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由.21（本小题满分14分）已知二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数.设.（1）求的值；（2）r如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点；（3）若，且，求证：n. 2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案dbcd acab 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性共7小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题9 10 11 12或 138，14 15说明： 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分 第14题的正确答案可以是：z.三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：的最大值为2，且， . 1分的最小正周期为， ，得. 2分. 3分（2）解法1：， 4分， 5分. 8分. 10分. 11分的面积为.12分解法2：， 4分， 5分. （苏元高考吧：）. 8分. 10分. 11分的面积为.12分解法3：， 4分， 5分.直线的方程为，即. 7分点到直线的距离为. 9分， 11分的面积为. 12分17（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）解：设“甲做对”为事件，“乙做对”为事件，“丙做对”为事件，由题意知， . 1分（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是. 3分（2）由题意知， 4分 ， 5分整理得 ，.由，解得，. 7分（3）由题意知 ， 9分 =， 10分的数学期望为=. 12分18（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）解法一：（1）证明：延长交的延长线于点，连接. ，且， 为的中点. 2分 为的中点，. 3分平面，平面，平面. 4分（2）解：平面，平面， . 5分 是边长为的等边三角形，是的中点， ，. 平面，平面，平面. 6分为与平面所成的角. 7分，在rt中，当最短时，的值最大，则最大. 8分当时，最大. 此时，. 9分，平面，平面. 10分平面，平面，. 11分为平面 与平面所成二面角（锐角）. 12分在rt中，.13分平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为. 14分解法二：（1）证明：取的中点，连接、.为的中点，且. 1分，且，. 2分四边形是平行四边形. 3分平面，平面，平面. （苏元高考吧：） 4分（2）解：平面，平面， . 5分 是边长为的等边三角形，是的中点， ，. 平面，平面，平面. 6分为与平面所成的角. 7分，在rt中，当最短时，的值最大，则最大. 8分当时，最大. 此时，. 9分在rt中，.rtrt，即. 10分以为原点，与垂直的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.则，.，.设平面的法向量为，由，得 （苏元高考吧：）令，则.平面的一个法向量为. 12分平面， 是平面的一个法向量. 13分平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为. 14分19（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：， 当时，有 解得 . 1分 由, 得, 2分 - 得: . 3分以下提供两种方法：法1：由式得：， 即; 4分， 5分，数列是以4为首项,2为公比的等比数列. ,即. 6分当时, ， 7分又也满足上式,. 8分法2：由式得：， 得. 4分当时, 5分-得：. 6分由，得，. 7分数列是以为首项，2为公比的等比数列. . 8分（2）解：成等差数列， . 9分假设成等比数列，则， 10分即，化简得：. （*） 11分，这与（*）式矛盾，故假设不成立.13分不是等比数列. 14分20（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆的方程为,依题意: 解得: 2分 椭圆的方程为. 3分解法2：设椭圆的方程为，根据椭圆的定义得，即， 1分， . 2分 椭圆的方程为. 3分(2)解法1：设点,，则，三点共线, （苏元高考吧：）. 4分, 化简得：. 5分由,即得. 6分抛物线在点处的切线的方程为，即. 同理，抛物线在点处的切线的方程为 . 8分 设点，由得：，而，则 . 9分代入得 ， 10分则，代入 得 ，即点的轨迹方程为.11分若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上，12分直线经过椭圆内一点,直线与椭圆交于两点. 13分满足条件 的点有两个. 14分解法2：设点,，由,即得. 4分抛物线在点处的切线的方程为，即. 5分， .点在切线上, . 6分同理， . 7分综合、得，点的坐标都满足方程. 8分经过的直线是唯一的，直线的方程为， 9分点在直线上， . 10分点的轨迹方程为. 11分若 ，则点在椭圆上，又在直线上，12分直线经过椭圆内一点,直线与椭圆交于两点. 13分满足条件 的点有两个. 14分解法3：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 由消去，得. 4分设,则. 5分由,即得. 6分抛物线在点处的切线的方程为，即.7分， . 同理,得抛物线在点处的切线的方程为. 8分由解得 . 10分,点在椭圆上. 11分.化简得.(*) 12分由, 13分可得方程(*)有两个不等的实数根. 满足条件的点有两个. 14分21（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：关于的不等式的解集为， 即不等式的解集为， . . . . 2分 (2)解法1:由(1)得.的定义域为. . 3分方程（*）的判别式. 4分当时，方程（*）的两个实根为 5分则时，；时，.函数在上单调递减，在上单调递增.函数有极小值点. 6分 当时，由,得或， 若，则故时，（苏元高考吧：）函数在上单调递增.函数没有极值点. 7分若时，则时，；时，；时，.函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.函数有极小值点，有极大值点. 8分综上所述, 当时，取任意实数, 函数有极小值点； 当时，函数有极小值点，有极大值点.9分(其中, )解法2:由(1)得.的定义域为. . 3分若函数存在极值点等价于函数有两个不等的零点，且至少有一个零点在上. 4分令,得, (*)则,(*) 5分方程（*）的两个实根为, .设,若,则,得,此时,取任意实数, (*)成立. 则时，；时，.函数在上单调递减，在上单调递增.函数有极