§1.3 平面点集的一般概念(上课用)2011-8-27.doc

1.3 平面点集的一般概念教学目的：理解并掌握复平面上的简单曲线、区域、单连通域与多连通域等概念重点与难点：理解复平面上的简单曲线、区域、单连通域与多连通域等概念；弄清各概念的区别和联系教学过程：1.3.1 开集与闭集1点的邻域与去心邻域点的邻域是点集中最基本的概念之一,其定义如下：【定义1】 平面上以为中心，（任意正数）为半径的开园可表示为：，称为的邻域，记为.称为的去心邻域记为（如图1.10）2几类特殊点 (1) 聚点与孤立点【定义2】 设为平面上的一个点集，为平面上的一点（不必属于）, 若的任意一个邻域中都有中的无穷多个点(即对的任一个邻域, 总有为无限集),则称为的一个聚点(或极限点).若属于,但非的聚点 ，即存在的某个邻域, 使得 , 则称为的一个孤立点.例子:点集以0为聚点，但0不在集合中；点集 以0为聚点，但0在集合中.实数集R中每一点都是R的聚点.（2）内点与外点【定义3】 设为平面上的一个点集，为平面上的一点, 若, ,则称为的一个内点. 若存在的某个邻域,使得, 则称为的一个外点. 显然的一个外点必不属于（3）边界点与边界【定义4 】 设为平面上的一个点集，为平面上的一点, 若在的任一个邻域内既有属于的点也有不属于的点，即，, 则称为的一个边界点. 一般的边界点可以属于,也可以不属于习惯上,我们把的边界点全体所成的集(记为)称为的边界（如图1.11）（4）内点、聚点、边界点、孤立点几类点之间的关系3开集与闭集【定义5 】 设为平面上的一个点集, 若内的每一点都是内点, 则称为开集平面上不属于的全体点组成的集合为的余集，记作（或），则开集的余集称为闭集结论： 为开集的充要条件是是闭集例子:为开集:因为对于，存在成立.为闭集,因为为开集.为的边界.【定义6 】 设为平面上的一个点集, 若存在正数, 使得对任意,都有(即全含于一圆之内), 则称为有界集,否则称为无界集空集既是开集又是闭集.1.3.2平面区域 1 区域与闭区域【定义7 】 设为平面上的一个点集, 若满足(1)是开集；(2) 是连通集(即中任意两点可用全含在内的一条折线连接), 则称为区域(即连通开集为区域).若是区域,则称为闭域. 记为注意： 区域是开集，闭区域是闭集；全平面既是区域又是闭区域.下面举些平面点集的例子例1 平面上满足的点组成区域(称为以为心,为半径的圆), 而满足的点所成的集是闭域(称为以为心,为半径的闭圆域)。显然,它们都是有界的,且都以圆周为边界.例2平面上以实轴为边界的两个无界区域为：上半平面和下半平面,平面上以虚轴为边界的两个无界区域为：右半平面和左半平面.（如图1-12 ）例3由不等式且所确定的平面点集(如图去掉阴影的部分)是无界区域； 由不等式所确定的平面点集是无界区域(称为带形区域)（如图1-13）例4 由不等式所确定的平面点集是有界区域(称为圆环域)（如图1-14）例5 由等式所确定的平面点集表示线段的中垂线,它是无界集,但不是区域（如图1-15）1.3.3平面曲线与若当曲线1平面曲线的复方程【定义8】设和都是闭区间上连续的实函数,由方程组 或复数方程, 所确定的平面点集, 称为平面上一条连续曲线.2.常见的曲线的复数形式方程:1）圆 :. 其中正的实常数.2）椭圆的常数）：.3）直线 :其中为平面上的已知点.4）以为端点的直线段 .5）以为起点的射线 .6）连接,两点的直线的复参数方程为，(其中);（如图1.8）3光滑曲线、简单曲线【定义】如果在区间 上都连续，且对每一个都有，则称曲线光滑；由几段光滑曲线顺次连接所成的曲线称为分段光滑曲线.注意：光滑曲线必须是曲线在每一点的切线存在，且每点的切线沿曲线连续转动（连续变化）。【定义10】设是一条连续曲线，其中及分别为的起点和终点；对于满足，且的和, 当时，而有，则点称为曲线的重点；凡无重点的连续曲线,称为简单曲线或若当（）曲线. (即起点和终点重合)的曲线称为简单闭曲线连续曲线必为平面上的有界闭集平面曲线有四种:简单闭曲线、简单不闭曲线、不简单闭曲线、不简单不闭曲线.【若尔当定理】任一条简单闭曲线将平面惟一地分成、三个点集，它们具有如下性质：(1)彼此不交；(2) 是一个有界区域(称为的内部)；(3) 是一个无界区域(称为的外部)； (4) 与均以为边界,且任一条端点分别在和内的连续曲线必与曲线相交简单闭曲线的方向规定如下(左手法则): 当观察者沿着的某一方向前进时, 的内部总在观察者的左手边(即逆时针方向),则称此方向为的正方向, 此时另一个方向称为的负方向(即顺时针方向)（如图1-16）3单连通区域与多连通区域 【定义】设为平面上的区域, 若对内任一条简单闭曲线,总有的内部仍含于，则称为单连通区域; 否则称为多连通区域（如图1-17）结论：简单闭曲线的内部是单连通区域, 而其外部是多连通区域例6 试说出下列各式所表示的点集是什么图形，并指出那些是区域： （1）：设则或，此式表示右半平面，且图形是区域（2）：表示以为圆心，1为半径的圆周连同它的外部，是多连通、无界、闭区域（3）：此为介于与之间的一个单连通、无界角形区域(4)且表示扇形区域,单连通的有界闭区域.思考题：1.平面区域应满足的两个条件是 、 .2.满足下面条件的点所成的集是什么?是否区域,是单连通区域还是多连通区域? (1); (2); (3); (4) .; (5); (6); (7);(8); 小结：1.