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习题 June 17 2013 1 设随机变量 X 与 Y 独立 X 服从 0 1 上的均匀分布 Y 服从参数为 1 的指数分布 试求 Z 2X Y 的概率 密度 1 解 F z P Z 2X Y z Z z f x y dxdy 注意到 X Y 的 联合分布是 f x y e y0 x 1 y 0 0other 从而当 0 2 时 FZ z 1 故 fZ z 1 2 ez ez 2 z 0 1 2 1 ez 2 0 2 2 2 设随机变量 X 与 Y 具有相同的分 布函数 X 的概率密度为 f x 3 8x2 0 x a 和事件 B Y a 相互独立 且 P A B 3 4 求 E e X 3 解 由于 X 与 Y 同分布 所以 P A P B 又 A 与 B 独立 所以 P A B P A P B P A P B 2P A P 2 A 3 4 从而有 P A 1 2 又 P A P X a 1 P X a 1 a 0 3 8x 2 dx 1 a3 8 1 2 得到 a 22 3 从而 E e X 2 0 e x 3 8x 2 dx 15 4 e 2 3 4 4 3 设供电站供应某地区 1000 户居民 用电 各户用电情况独立 已知每户 每天用电量 度 在 0 20 上服从均匀分 布 现要以 0 99 的概率满足该地区居 民的供应电量的需求 问供电站每天至 少需要向该地区供应多少电 5 解 设第 k 户居民每天用电量为 Xk 度 1000 户居民每天用电量为 X 度 则 EXk 10 D Xk 202 12 设需供应 L 度电才能满足条件 则 P X L L 1000 10 v u u u t1000 202 12 0 99 即 L 10000 100003 2 33 则 L 10425 度电 6 4 设 X1 Xn来自指数分布总体 X f x e xx 0 0 x 0 的样本 求 1 参数 的极大似然估计 2 参数 p P X 5 的极大似然估 计 7 解 1 似然函数为 L ne n i 1 xi 则对数似然函数为 lnL nln n i 1 xi 从而有似然方程 lnL n n i 1 xi 0 解得 n n i 1 xi 从而有 的极大似然估计为 1 X 2 p P
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