【五年经典推荐 全程方略】高三数学 专项精析精炼 考点35 立体几何中的向量方法 .doc

考点35 立体几何中的向量方法解答题1.（2011福建卷理科20）如图，四棱锥p-abcd中，pa底面abcd.四边形abcd中，abad，ab+ad=4，cd=，. （i）求证：平面pab平面pad；（ii）设ab=ap.（i）若直线pb与平面pcd所成的角为，求线段ab的长；（ii）在线段ad上是否存在一个点g，使得点g到点p，b，c，d的距离都相等？说明理由.【思路点拨】(1)证平面pab中的直线ab，从而可推得面pab，也可以建立坐标系证明两面的法向量垂直；（2）以a为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后用空间向量法进行求解探究.【精讲精析】解法1：（i）因为平面abcd，ab平面abcd，所以pa，又，所以平面pad.又平面pab，所以平面pab平面pad.(2)以a为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图）.在平面abcd内，作交于点e，则.在中，.设，则.由ab+ad4得ad，所以，（i）设平面pcd的法向量为由得取，得平面pcd的一个法向量. 即解得或（舍去，因为），所以ab（ii）假设在线段ad上存在一个点g，使得点g到点p、b、c、d的距离都相等，设g（0,m,0）(其中)，则由得即.由得由消去，化简得由于方程没有实数根，所以在线段ad上不存在一个点g，使得点g到点p，b,c，d的距离都相等.解法2：（i）同解法1.（）（i）同解法1 .（ii）假设在线段ad上存在一个点g，使得点g到点p，b，c，d的距离都相等.由gcgd，得从而即cg，所以.设，则，agad-gd.在中，这与gbgd矛盾.所以在线段ad上不存在一个点g，使得点g到点p、b、c、d的距离都相等.2. （2011江苏高考25）如图，在正四棱柱中，点是的中点，点在上，设二面角的大小为。（1）当时，求的长；（2）当时，求的长。【思路点拨】本题考查的是空间向量基本概念、线面所成角、距离、数量积、空间想象能力、运算能力，解决本题的关键是正确地建立空间坐标系并正确标出各个点的坐标，然后利用空间向量的运算求解。【精讲精析】以d为原点，da为x轴正半轴，dc为y轴正半轴，dd1为z轴正半轴，建立空间直角坐标系，则a(1,0,0),a1(1,0,2),n(,1,0),c(0,1,0)，设m(0，1,z),面mdn的法向量，设面a1dn的法向量为，则取即(1)由题意：取（2）由题意：即取3.（2011新课标全国高考理科18）如图，四棱锥p-abcd中，底面abcd为平行四边形，dab=60,ab=2ad,pd底面abcd.()证明：pabd；()若pd=ad，求二面角a-pb-c的余弦值.【思路点拨】第(1)问,通过证明平面证明时,可利用勾股定理，第（2）问可建立空间直角坐标系，求得二面角的余弦值【精讲精析】（）因为, 由余弦定理得 从而bd2+ad2= ab2，故bd ad;又pd 底面abcd，可得bd pd所以bd 平面pad. 故 pabd（）如图，以d为坐标原点，ad的长为单位长，射线da为轴的正半轴射线db为y轴的正半轴，射线dp为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系d-，zxpcbady则,.设平面pab的法向量为=（x, y,z），则,即 因此可取=设平面pbc的法向量为，则可取=（0，-1，）， 故二面角a-pb-c的余弦值为 .4.（2011山东高考理科19）在如图所示的几何体中，四边形abcd为平行四边形，acb=，ea平面abcd，efab， fgbc，egac.ab=ef.（)若是线段ad上的中点，求证：gm平面abfe;（）若=,求二面角-的大小.【思路点拨】（1）本小题考查线面平行的判定，只需在平面内找一条直线和已知直线平行即可.（2）本题考查利用空间向量求二面角的大小，先建立合适的空间直角坐标系，再分别求出平面bfc与平面abf的法向量，两个法向量的夹角（或补角）即为所求二面角的大小.【精讲精析】几何法：证明：（），延长交的延长线于点，而，则平面平面，即平面平面，于是三线共点，若是线段的中点，而,则，连接af,四边形为平行四边形，则，又平面，af平面abfe.所以平面；（）由平面，作，则平面，作，连接，则，于是为二面角的平面角.若，设，则，为的中点，在中,则，即二面角的大小为.坐标法：（）证明：由四边形为平行四边形， ，平面，可得以点为坐标原点，所在直线分别为的直角坐标系，设，则,，e（0,0，c）.由可得，由得,，则，而平面，所以平面；（）若，设，则， ,则,设分别为平面与平面的法向量.则，令，则，； ，令，则，.于是，则，即二面角的大小为.5.（2011北京高考理科t16）如图，在四棱锥p-abcd中，平面abcd，底面abcd是菱形，ab=2，.（）求证：；（）若pa=ab，求pb与ac所成角的余弦值；（）当平面pbc与平面pdc垂直时，求pa的长.abcdp【思路点拨】本题可利用pa, ac, bd两两互相垂直，建系求解.【精讲精析】（）因为四边形abcd是菱形，所以.又因为平面abcd，所以.又所以平面pac.（）设.因为，所以，如图，以o为坐标原点，建立空间直角坐标系，yxzoabcdp则，所以.设pb与ac所成角为，则.()由（）知，设.则，设平面pbc的法向量，则，所以，令，则，所以.同理，平面pdc的法向量.因为平面pbc平面pdc，所以，即，解得.所以pa=.6（2011陕西高考理科t16）如图，在abc中，abc=，bac，ad是bc上的高，沿ad把abd折起，使bdc（）证明：平面adb平面bdc；（）设e为bc的中点，求与夹角的余弦值【思路点拨】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（）在（）的基础上确定出三线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标和向量的数量积运算求解【精讲精析】（）折起前ad是bc边上的高，当abd折起后，addc，addb，又dbdc=d，ad平面bdc，ad平面abd，平面abd平面bdc（）由bdc及（1）知da，db，dc两两垂直，不妨设|db|=1，以d为坐标原点，以，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得：d(0,0,0),b(1,0,0),由abdcba得cd=3，ac=,c (0,3,0),a(0,0,),e(,0)，所以，所以与夹角的余弦值是7.（2011浙江高考理科20）如图，在三棱锥p-abc中，abac，d为bc的中点，po平面abc，垂足o落在线段ad上，已知bc8，po4，ao3，od2（）证明：apbc；（）在线段ap上是否存在点m，使得二面角a-mc-b为直二面角？若存在，求出am的长；若不存在，请说明理由.【思路点拨】向量法是解决立体几何问题的重要方法，这两小题均可用向量法解决，当然这类问题用传统的几何方法仍能得以解决。本题主要考查点、线、面位置关系，二面角等基础知识，以及空间想象能力与运算求解能力。【精讲精析】方法一:（）证明：如图，以o为原点，以射线op为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系o-xyz.则o（0,0,0），a（0，-3,0），b（4,2,0），c（-4,2,0）,p（0,0,4）由此可得所以，即apbc.（）解：设 设平面bmc的法向量平面apc的法向量 由得即可取由即得可取由，得解得，故am=3综上所述，存在点m符合题意，am=3.方法二：（）证明：由ab=ac,d是bc的中点，得adbc, 又po平面abc,得pobc。 因为poad=0，所以bc平面pad故bcpa.（）解：如图，在平面pab内作bmpa于m,连cm. 由（）中知apbc,得ap平面bmc. 又ap平面apc