2013年高考理科数学试题分类汇编(19个专题).doc

2013 年全国高考理科数学试题分类汇编年全国高考理科数学试题分类汇编 专题一 集合专题一 集合 1 专题二 函数专题二 函数 5 专题三 三角函数专题三 三角函数 11 专题四 数列专题四 数列 28 专题五 平面向量专题五 平面向量 45 专题六 不等式专题六 不等式 48 专题七 立体几何专题七 立体几何 52 专题八 直线和圆专题八 直线和圆 89 专题九 圆锥曲线专题九 圆锥曲线 91 专题十 排列 组合及二项式定理专题十 排列 组合及二项式定理 118 专题十一 概率和统计专题十一 概率和统计 120 专题十二 程序框图专题十二 程序框图 139 专题十三 常用逻辑用语专题十三 常用逻辑用语 146 专题十四 导数与积分专题十四 导数与积分 148 专题十五 复数专题十五 复数 173 专题十六 不等式选讲专题十六 不等式选讲 175 专题十七 几何证明专题十七 几何证明 179 专题十八 坐标系与参数方程专题十八 坐标系与参数方程 184 专题十九 变换与矩阵极限专题十九 变换与矩阵极限 188 专题一 集合专题一 集合 一 选择题 1 1 2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学 理 试题 已知全集 1 2 3 4U 集合 12A 2 3B 则 U AB A 13 4 B 3 4 C 3 D 4 答案 D 2 2 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学 理 试题 已知集合 4 0log1 2AxxBx xAB 则 A B C D 01 0 2 1 2 12 答案 D 33 2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学 理 试题 已知集合A x R x 2 A x R x 1 则 AB A B 1 2 C 2 2 D 2 1 2 答案 D 44 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学 理 试题 设 S T 是 R 的两个非空子集 如果存在 一个从 S 到 T 的函数满足 对任意 当时 恒有 yf x i Tf xxSii 12 x xS 12 xx 那么称这两个集合 保序同构 以下集合对不是 保序同构 的是 12 f xf x A B ANBN 13 8010 AxxBx xx 或 C D 01 AxxBR AZ BQ 答案 D 5 5 2013 年高考上海卷 理 设常数 集合 若aR 1 0 1 AxxxaBx xa 则的取值范围为 ABR a A B C D 2 2 2 2 答案 B 6 6 2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学 理 试题 含答案 已知集合 0 1 2 则集合 A 中元素的个数是 B xy xA yA A 1 B 3 C 5 D 9 答案 C 7 7 2013 年高考陕西卷 理 设全集为R 函数的定义域为M 则为 2 1f xx C M R A 1 1 B 1 1 C D 1 1 1 1 答案 D 8 8 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学 理 WORD 版含答案 设集合 则中的元素个数为 1 2 3 4 5 ABMx xab aA bB M A 3 B 4 C 5 D 6 答案 B 99 2013 年高考四川卷 理 设集合 集合 则 20 Ax x 2 40 Bx x AB A B C D 2 2 2 2 答案 A 1010 2013 年高考新课标 1 理 已知集合 则 2 20 55Ax xxBxx A A B B A B R C B AD A B 答案 B 1111 2013 年高考湖北卷 理 已知全集为 集合 则R 1 1 2 x Ax 2 680Bx xx R AC B A B 0 x x 24xx C D 024xxx 或 024xxx 或 答案 C 1212 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标 卷数学 理 已知集合 则 NM 2 1 4 1 0 1 2 3MxxxRN A 2 1 0 B 2 1 0 1 C 3 2 0 1 D 3 2 1 0 答案 A 1313 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学 理 卷 纯 W ORD 版 设集合 则 2 20 Mx xxx R 2 20 Nx xxx R MN A B C D 0 0 2 2 0 2 0 2 答案 D 1414 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学 理 试题 设集合 则 043 2 2 xxxTxxS TSCR A B C D 2 1 4 1 1 答案 C 1515 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学 理 卷 设整数 集合 4n 1 2 3 Xn 令集合 若和 Sx y zx y zXxyz yzx zxy 且三条件恰有一个成立 x y z 都在中 则下列选项正确的是 z w x S A B y z wS x y wS y z wS x y wS C D y z wS x y wS y z wS x y wS 答案 B 1616 2013 年高考北京卷 理 已知集合 A 1 0 1 B x 1 x0Ix f x 求的长度 注 区间的长度定义为 给定常数 当时 求 长度的最小值 0 1 k l 答案 解 所以区间长度为 1 0 0 1 2 2 a a xxaaxxf 2 1a a 由 知 a a a a l 1 1 1 2 恒成立令已知k k kk k kakk 1 1 1 0 1 1 1 1 10 1 0 2 22 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k k lka a aag 这时时取最大值在 所以 2 1 1 1 1 k k lka 取最小值时 当 3041 2013 年上海市春季高考数学试卷 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 5 分 第 2 小题满分 7 分 第 3 小题满分 6 分 已知真命题 函数的图像关于点成中心对称图形 的充要条件为 函数 yf x P a b 是奇函数 yf xab 1 将函数的图像向左平移 1 个单位 再向上平移 2 个单位 求此时图像对应的函数解 32 3g xxx 析式 并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标 g x 2 求函数 图像对称中心的坐标 2 2 log 4 x h x x 3 已知命题 函数 的图像关于某直线成轴对称图像 的充要条件为 存在实数 a 和 b yf x 使得函数 是偶函数 判断该命题的真假 如果是真命题 请给予证明 如果是假命题 yf xab 请说明理由 并类比题设的真命题对它进行修改 使之成为真命题 不必证明 答案 1 平移后图像对应的函数解析式为 32 1 3 1 2yxx 整理得 3 3yxx 由于函数是奇函数 3 3yxx 由题设真命题知 函数图像对称中心的坐标是 g x 1 2 2 设的对称中心为 由题设知函数是奇函数 2 2 log 4 x h x x P a b h xab 设则 即 f xh xab 2 2 log 4 xa f xb xa 2 22 log 4 xa f xb ax 由不等式的解集关于原点对称 得 22 0 4 xa ax 2a 此时 2 2 2 log 2 2 2 x f xb x x 任取 由 得 2 2 x 0fxf x 1b 所以函数图像对称中心的坐标是 2 2 log 4 x h x x 2 1 3 此命题是假命题 举反例说明 函数的图像关于直线成轴对称图像 但是对任意实数和 函数 f xx yx ab 即总不是偶函数 yf xab yxab 修改后的真命题 函数的图像关于直线成轴对称图像 的充要条件是 函数是偶函数 yf x xa yf xa 专题三 三角函数专题三 三角函数 一 选择题 42 1 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学 理 试题 已知 则 2 10 cos2sin R 2tan A B C D 3 4 4 3 4 3 3 4 答案 C 243 2013 年高考陕西卷 理 设 ABC的内角A B C所对的边分别为a b c 若 则 ABC的形状为coscossinbCcBaA A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不确定 答案 B 44 3 2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学 理 试题 在 ABC中 则 2 3 4 ABBCABC sin BAC A B C D 10 10 10 5 3 10 10 5 5 答案 C 445 2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学 理 试题 将函数的图象沿轴向 sin 2 yx x 左平移个单位后 得到一个偶函数的图象 则的一个可能取值为 8 A B C 0 D 3 4 4 4 答案 B 46 5 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学 理 试题 在 内角所对的边长分ABC A B C 别为且 则 a b c 1 sincossincos 2 aBCcBAb ab B A B C D 6 3 2 3 5 6 答案 A 647 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学 理 WORD 版含答案 已知函数 cos sin2f xxx 下列结论中错误的是 A 的图像关于中心对称 B 的图像关于直线对称 yf x 0 yf x 2 x C 的最大值为 D 既奇函数 又是周期函数 f x 3 2 f x 答案 C 48 7 2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学 理 试题 函数的图象大致为 cossinyxxx 答案 D 49 8 2013 年高考四川卷 理 函数的部分图象如图所示 2sin 0 22 f xx 则的值分别是 A B C D 2 3 2 6 4 6 4 3 答案 A 50 9 2013 年上海市春季高考数学试卷 既是偶函数又在区间上单调递减的函数是 0 A B C D sin yx cos yx sin 2yx cos 2yx 答案 B 51 10 2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学 理 试题 00 4cos50tan40 A 2 B 23 2 C 3 D 2 21 答案 C 111152 2013 年高考湖南卷 理 在锐角中 角所对的边长分别为 若ABC A B a b 2 sin3 aBbA 则角等于 A B C D 12 6 4 3 答案 D 53 12 2013 年高考湖北卷 理 将函数的图像向左平移个长度 3cossinyxx xR 0m m 单位后 所得到的图像关于轴对称 则的最小值是 ym A B C D 12 6 3 5 6 答案 B 二 填空题 1354 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学 理 试题 中 是的ABC 0 90 CMBC 中点 若 则 3 1 sin BAM BACsin 答案 6 3 55 14 2013 年高考新课标 1 理 设当时 函数取得最大值 则x sin2cosf xxx cos 答案 2 5 5 56 15 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学 理 试题 如图中 已知点 D 在 BC边上 ADABC AC 则的长为 2 2 sin 3 2 3 3 BACABAD BD 答案 3 57 16 2013 年上海市春季高考数学试卷 函数的最小正周期是 2sin yx 答案 2 58 17 2013 年高考四川卷 理 设 则的值是 sin2sin 2 tan2 答案 3 59 18 2013 年高考上海卷 理 若 则 12 cos cossin sin sin2sin2 23 xyxyxy sin xy 答案 2 sin 3 xy 1960 2013 年高考上海卷 理 已知 ABC 的内角 A B C 所对应边分别为a b c 若 则角 C 的大小是 结果用反三角函数值表示 222 32330aabbc 答案 1 arccos 3 C 2061 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学 理 WORD 版含答案 已知是第三象限角 则 1 sin 3 a cota 答案 2 2 2162 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 数学 函数的最小正周 4 2sin 3 xy 期为 答案 2263 2013 年上海市春季高考数学试卷 在中 角所对边长分别为 若ABC A B C a b c 则 5 8 60abB b 答案 7 2364 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 理 试题 设的内角所对边 的长分ABC A B C 别为 若 则则角 a b c2bca 3sin5sin AB C 答案 3 2 65 24 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标 卷数学 理 设 为第二象限角 若 1 tan 42 则sincos 答案 10 5 66 25 2013 年高考江西卷 理 函数的最小正周期为为 2 sin22 3sinyxx T 答案 67 26 2013 年上海市春季高考数学试卷 函数的最大值是 4sin3cosyxx 答案 5 三 解答题 2768 2013 年高考北京卷 理 在 ABC 中 a 3 b 2 B 2 A 6 I 求 cosA的值 II 求c的值 答案 解 I 因为a 3 b 2 B 2 A 所以在 ABC 中 由正弦定理得 所以6 32 6 sinsin2AA 故 2sincos2 6 sin3 AA A 6 cos 3 A II 由 I 知 所以 又因为 B 2 A 所以 6 cos 3 A 2 3 sin1 cos 3 AA 所以 2 1 cos2cos1 3 BA 2 2 2 sin1 cos 3 BB 在 ABC 中 5 3 sinsin sincoscossin 9 CABABAB 所以 sin 5 sin aC c A 69 28 2013 年高考陕西卷 理 已知向量 设函数 1 cos 3sin cos2 2 xxx x abR f x a b 求f x 的最小正周期 求f x 在上的最大值和最小值 0 2 答案 解 f x a b 6 2sin 2cos 2 1 2sin 2 3 2cos 2 1 sin3cos xxxxxx 最小正周期 2 2 T 所以最小正周期为 6 2sin xxf 上的图像知 在 由标准函数时 当 6 5 6 sin 6 5 6 6 2 2 0 xyxx 1 2 1 2 6 6 2sin ffxxf 所以 f x 在上的最大值和最小值分别为 0 2 2 1 1 70 29 2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学 理 试题 在ABC 中 内角 A B C的对边分别 是 a b c 且 222 2ababc 1 求C 2 设 2 coscos3 22 coscos 5cos5 AB AB 求tan 的值 答案 由题意得 71 30 2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学 理 试题 已知函数 2 2sin 26sin cos2cos 4 1 f xxxxxx R 求f x 的最小正周期 求f x 在区间上的最大值和最小值 0 2 答案 3172 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学 理 试题 设向量 3sin sin cos sinx 0 2 axxbxx 32 I 若 II 设函数 abx 求的值 f xa bf x 求的最大值 答案 73 33 2013 年高考上海卷 理 6 分 8 分 已知函数 其中常数 2sin f xx 0 1 若在上单调递增 求的取值范围 yf x 2 43 2 令 将函数的图像向左平移个单位 再向上平移 1 个单位 得到函数的2 yf x 6 yg x 图像 区间 且 满足 在上至少含有 30 个零点 在所有满足上述 a b a bR ab yg x a b 条件的中 求的最小值 a bba 答案 1 因为 根据题意有 0 3 42 0 24 32 2 2sin 2 f xx 2sin 2 12sin 2 1 63 g xxx 或 1 0sin 2 323 g xxxk 7 12 xkkZ 即的零点相离间隔依次为和 g x 3 2 3 故若在上至少含有 30 个零点 则的最小值为 yg x a bba 243 1415 333 34 74 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学 理 WORD 版含答案 设的内角ABC A B C 的对边分别为 a b c abc abcac I 求B II 若 求 31 sinsin 4 AC C 答案 75 35 2013 年高考四川卷 理 在中 角的对边分别为 且ABC A B C a b c 2 3 2coscossin sincos 25 AB BABBAC 求的值 cos A 若 求向量在方向上的投影 4 2a 5b BA BC 答案 解 由 得 2 3 2coscossinsincos 25 AB BABBAC 3 cos1 cossinsincos 5 ABBABBB 即 3 coscossinsin 5 ABBABB 则 即 3 cos 5 ABB 3 cos 5 A 由 得 3 cos 0 5 AA 4 sin 5 A 由正弦定理 有 所以 sinsin ab AB sin2 sin 2 bA B a 由题知 则 故 ab AB 4 B 根据余弦定理 有 2 22 3 4 252 5 5 cc 解得或 舍去 1c 7c 故向量在方向上的投影为 BA BC 2 cos 2 BAB 76 36 2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学 理 试题 设 的内角所对的边分 ABC A B C 别为 且 a b c 6ac 2b 7 cos 9 B 求的值 求的值 a csin AB 答案 解 由余弦定理 得 222 2cosbacacB 2 2 2 1 cos bacacB 又 所以 解得 6ac 2b 7 cos 9 B 9ac 3a 3c 在 中 ABC 2 4 2 sin1 cos 9 BB 由正弦定理得 sin2 2 sin 3 aB A b 因为 所以为锐角 所以 ac A 2 1 cos1 sin 3 AA 因此 10 2 sin sincoscossin 27 ABABAB 77 37 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 理 试题 已知函数 的最小正周期为 4cossin 0 4 f xxx 求的值 讨论在区间上的单调性 f x 0 2 答案 解 2 4 2sin 2 12cos2 sin2 cos sincos22 xxxxxx 所以 1 2 2 1 2 4 2sin 2 xxf 解得 令时 当 824 2 4 4 4 2 2 0 xxxx 所以 28 8 0 上单调递减 上单调递增 在在 xfy 78 38 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学 理 试题 已知函数 的周期为 图像的一个对称中心为 将函数图像 上 sin 0 0 f xx 0 4 f x 的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍 纵坐标不变 在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数 2 的图像 g x 1 求函数与的解析式 f x g x 2 是否存在 使得按照某种顺序成等差数列 若存在 请确 0 6 4 x 0000 f xg xf x g x 定的个数 若不存在 说明理由 0 x 3 求实数与正整数 使得在内恰有 2013 个零点 an F xf xag x 0 n 答案 解 由函数的周期为 得 sin f xx 0 2 又曲线的一个对称中心为 yf x 0 4 0 故 得 所以 sin 2 0 44 f 2 cos2f xx 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍 纵坐标不变 后可得的图象 再将 f x2cosyx 的图象向右平移个单位长度后得到函数 cosyx 2 sing xx 当时 6 4 x 12 sin 22 x 1 0cos2 2 x 所以 sincos2sin cos2xxxx 问题转化为方程在内是否有解 2cos2sinsin cos2xxxx 6 4 设 sinsincos22cos2G xxxxx 6 4 x 则 coscos cos22sin2 2sin G xxxxxx 因为 所以 在内单调递增 6 4 x 0G x G x 6 4 又 1 0 64 G 2 0 42 G 且函数的图象连续不断 故可知函数在内存在唯一零点 G x G x 6 4 0 x 即存在唯一的满足题意 0 6 4 x 依题意 令 sincos2F xaxx sincos20F xaxx 当 即时 从而不是方程的解 所以方程sin0 x xkkZ cos21x xkkZ 0F x 等价于关于的方程 0F x x cos2 sin x a x xkkZ 现研究时方程解的情况 0 2 x U 令 cos2 sin x h x x 0 2 x U 则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况 ya yh x 0 2 x U 令 得或 2 2 cos 2sin1 sin xx h x x 0h x 2 x 3 2 x 当变化时 和变化情况如下表x h x h x 当且趋近于时 趋向于 0 x x0 h x 当且趋近于时 趋向于 x x h x 当且趋近于时 趋向于 x x h x 当且趋近于时 趋向于 2x x2 h x 故当时 直线与曲线在内有无交点 在内有个交点 1a ya yh x 0 2 2 当时 直线与曲线在内有个交点 在内无交点 1a ya yh x 0 2 2 当时 直线与曲线在内有个交点 在内有个交点 11a ya yh x 0 2 2 2 由函数的周期性 可知当时 直线与曲线在内总有偶数个交点 从 h x1a ya yh x 0 n 而不存在正整数 使得直线与曲线在内恰有个交点 当时 直线nya yh x 0 n 20131a 与曲线在内有个交点 由周期性 所以ya yh x 0 2 U320133 671 671 21342n 综上 当 时 函数在内恰有个零点 1a 1342n F xf xag x 0 n 2013 x 0 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 h x 0 0 h xZ 1 Z 79 39 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 数学 已校对纯 WORD 版含附加题 本小题满 分14 分 已知 cos sin cos sin ab 0 1 若 求证 2 设 若 求的值 2ab ab 0 1 c abc 答案 解 1 即 2 ba2 2 ba 22 222 bbaaba 又 1sincos 222 2 aa1sincos 222 2 bb222 ba0 ba b a 2 即 1 0 sinsin cos cosba 1sinsin 0coscos sin1sin coscos 两边分别平方再相加得 sin221 2 1 sin 2 1 sin 0 6 1 6 5 4080 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学 理 卷 已知函数 2cos 12 f xx x R 求的值 若 求 6 f 3 cos 5 3 2 2 2 3 f 答案 2cos2cos2cos1 661244 f 22cos 22cos 2cos2sin2 33124 f 因为 所以 3 cos 5 3 2 2 4 sin 5 所以 24 sin22sincos 25 22 7 cos2cossin 25 所以 2 3 f cos2sin2 72417 252525 4181 2013 年高考湖南卷 理 已知函数 2 sin cos 2sin 632 x f xxxg x I 若是第一象限角 且 求的值 3 3 5 f g II 求使成立的 x 的取值集合 f xg x 答案 解 I 5 33 sin3 sin3sin 2 3 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 3 fxxxxxxf 5 1 cos1 2 sin2 5 4 cos 2 0 5 3 sin 2 g且 II 2 1 6 sin cos 2 1 sin 2 3 cos1sin3 xxxxxxgxf Zkkkxkkx 3 2 2 2 6 5 2 6 2 6 4182 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 数学 本小题满分 16 分 如图 游客从某旅游 景区的景点处下山至处有两种路径 一种是从沿直线步行到 另一种是先从沿索道乘缆车到 然ACACAB 后从沿直线步行到 现有甲 乙两位游客从处下山 甲沿匀速步行 速度为 在甲出发BCAACmin 50m 后 乙从乘缆车到 在处停留后 再从匀速步行到 假设缆车匀速直线运动的速度为min2ABBmin1C 山路长为 经测量 min 130mACm1260 13 12 cos A 5 3 cos C 1 求索道的长 AB 2 问乙出发多少分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 3 为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟 乙步行的速度应控制在什么范围内 C3 C B A 答案 解 1 13 12 cos A 5 3 cos C 2 0 CA 13 5 sin A 5 4 sin C 65 63 sincoscossinsinsinsin CACACACAB 根据得 sinBsinC ACAB mC AC AB1040sin sinB 2 设乙出发 t 分钟后 甲 乙距离为 d 则 13 12 50100 1302 50100 130 222 ttttd 507037 200 22 ttd 即 130 1040 0 t80 t 时 即乙出发分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 37 35 t 37 35 3 由正弦定理得 m sinBsinA ACBC 500 13 5 65 63 1260 sin sinB A AC BC 乙从 B 出发时 甲已经走了 50 2 8 1 550 m 还需走 710 m 才能到达 C C B A D M N 设乙的步行速度为 V 则 min m3 50 710500 v 3 50 710500 3 v14 625 43 1250 v 为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟 乙步行的速度应控制在范围内 C3 14 625 43 1250 法二 解 1 如图作BD CA于点D 设BD 20k 则DC 25k AD 48k AB 52k 由AC 63k 1260m 知 AB 52k 1040m 2 设乙出发x分钟后到达点M 此时甲到达N点 如图所示 则 AM 130 x AN 50 x 2 由余弦定理得 MN2 AM2 AN2 2 AM ANcosA 7400 x2 14000 x 10000 其中 0 x 8 当x min 时 MN最小 此时乙在缆车上与甲的距离最短 35 37 3 由 1 知 BC 500m 甲到C用时 min 1260 50 126 5 若甲等乙 3 分钟 则乙到C用时 3 min 在 BC 上用时 min 126 5 141 5 86 5 此时乙的速度最小 且为 500 m min 86 5 1250 43 若乙等甲 3 分钟 则乙到C用时 3 min 在 BC 上用时 min 126 5 111 5 56 5 此时乙的速度最大 且为 500 m min 56 5 625 14 故乙步行的速度应控制在 范围内 1250 43 625 14 4283 2013 年高考湖北卷 理 在中 角 对应的边分别是 已知ABC ABCabc cos23cos1ABC I 求角的大小 A II 若的面积 求的值 ABC 5 3S 5b sinsinBC 答案 解 I 由已知条件得 cos23cos1AA 解得 角 2 2cos3cos20AA 1 cos 2 A 60A II 由余弦定理得 1 sin5 3 2 SbcA 4c 2 21a 2 2 2 228 sin a R A 2 5 sinsin 47 bc BC R 4384 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标 卷数学 理 ABC在内角 A B C的对边分别为 a b c 已知cossinabCcB 求B 若2b 求 ABC面积的最大值 答案 4485 2013年高考新课标1 理 如图 在 ABC中 ABC 90 AB BC 1 P为 ABC内一点 3 BPC 90 1 若 PB 求 PA 2 若 APB 150 求 tan PBA 1 2 答案 由已知得 PBC o 60 PBA 30o 在 PBA 中 由余弦定理得 2 PA o 11 323cos30 42 7 4 PA 7 2 设 PBA 由已知得 PB sin 在 PBA 中 由正弦定理得 oo 3sin sin150sin 30 化简得 3cos4sin tan 3 4 tanPBA 3 4 4586 2013 年上海市春季高考数学试卷 本题共有 2 个小题 第一小题满分 4分 第二小题满分 9 分 在平面直角坐标系中 点在轴正半轴上 点在轴上 其横坐标为 且 是首项为 1 公xOyAy n Px n x n x 比为 2 的等比数列 记 1nnn P AP nN 1 若 求点的坐标 3 1 arctan 3 A 2 若点的坐标为 求的最大值及相应的值 A 0 8 2 n n P2 0 x y A P1P3 P4 解 1 2 答案 解 1 设 根据题意 由 知 0 At 1 2n n x 3 1 arctan 3 3 1 tan 3 而 34 43 343 22 34 43 4 tantan 32 1 xx t xxt tt OAPOAP xx txxt tt 所以 解得或 2 41 323 t t 4t 8t 故点的坐标为或 A 0 4 0 8 2 由题意 点的坐标为 n P 1 2 0 n 1 2 tan 8 2 n n OAP 1 1 1121 22 21 8 28 2 tantan 22216 22 18 2 8 2 8 28 228 2 nn n nnnnnn n n OAPOAP 因为 所以 16 22 2 2 28 2 n n 12 tan 42 2 n 当且仅当 即时等号成立 16 22 28 2 n n 4n 易知在上为增函数 0 tan 2 n yx 0 2 因此 当时 最大 其最大值为 4n n 2 arctan 4 4687 2013 年高考江西卷 理 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 cosC conA sinA cosB 0 1 求角 B 的大小 若 a c 1 求 b 的取值范围 答案 解 1 由已知得 cos coscos3sincos0ABABAB 即有 sinsin3sincos0ABAB 因为 所以 又 所以 sin0A sin3cos0BB cos0B tan3B 又 所以 0B 3 B 2 由余弦定理 有 222 2cosbacacB 因为 有 1 1 cos 2 acB 22 11 3 24 ba 又 于是有 即有 01a 2 1 1 4 b 1 1 2 b 专题四 数列专题四 数列 一 选择题 188 2013 年高考上海卷 理 在数列中 若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的 n a21 n n a 元素 则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为 i jijij aa aaa 1 2 7 1 2 12ij A 18 B 28 C 48 D 63 答案 A 289 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学 理 WORD 版含答案 已校对 已知数列满足 n a 则的前 10 项和等于 12 4 30 3 nn aaa n a A B C D 10 6 1 3 10 1 1 3 9 10 3 1 3 10 3 1 3 答案 C 390 2013 年高考新课标 1 理 设的三边长分别为 的面积为 nnn A B C nnn a b c nnn A B C n S 若 则 1 2 3 n 11111 2bc bca 111 22 nnnn nnnn caba aa bc A Sn 为递减数列 B Sn 为递增数列 C S2n 1 为递增数列 S2n 为递减数列D S2n 1 为递减数列 S2n 为递增数列 答案 B 91 4 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 理 试题 函数的图像如图所示 在区间 y f x 上可找到个不同的数使得则的取值范围是 a b 2 n n 12 n x xx 12 12 n n f xf xf x xxx n A B C D 3 4 2 3 4 3 4 5 2 3 答案 B 592 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学 理 试题 已知等比数列的公比为 q 记 n a 1 1 1 2 1 nm nm nm nm baaa 则以下结论一定正确的是 1 1 1 2 1 nm nm nm nm caaam nN A 数列为等差数列 公差为 B 数列为等比数列 公比为 n b m q n b 2m q C 数列为等比数列 公比为 D 数列为等比数列 公比为 n c 2 m q n c m m q 答案 C 693 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标 卷数学 理 等比数列 n a的前n项和为 n S 已知 123 10aaS 9 5 a 则 1 a A 3 1 B 3 1 C 9 1 D 9 1 答案 C 794 2013 年高考新课标 1 理 设等差数列的前项和为 则 n an 11 2 0 3 nmmm SSSS m A 3 B 4 C 5 D 6 答案 C 895 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学 理 试题 下面是关于公差的等差数列0d 的四个命题 n a 1 n pa数列是递增数列 2 n pna数列是递增数列 3 n a p n 数列是递增数列 4 3 n pand 数列是递增数列 其中的真命题为 A B C D 12 p p 34 pp 23 pp 14 p p 答案 D 96 9 2013 年高考江西卷 理 等比数列 x 3x 3 6x 6 的第四项等于 A 24 B 0 C 12 D 24 答案 A 二 填空题 1097 2013 年高考四川卷 理 在等差数列中 且为和的等比中项 求数列 n a 21 8aa 4 a 2 a 3 a 的首项 公差及前项和 n an 答案 解 设该数列公差为 前项和为 由已知 可得 dn n s 2 1111 228 38adadadad 所以 11 4 30add da 解得 或 即数列的首相为 4 公差为 0 或首相为 1 公差为 3 1 4 0ad 1 1 3ad n a 所以数列的前项和或 n4 n sn 2 3 2 n nn s 1198 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标 卷数学 理 等差数列 n a的前n项和为 n S 已知 1015 0 25SS 则 n nS的最小值为 答案 49 1299 2013 年高考湖北卷 理 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数 如三角形数 1 3 6 10 第个三角形数为 记第个边形数为 以下列出了n 2 111 222 n n nn nk N n k 3k 部分边形数中第个数的表达式 kn 三角形数 2 11 3 22 N nnn 正方形数 2 4N nn 五边形数 2 31 5 22 N nnn 六边形数 2 62N nnn 可以推测的表达式 由此计算 N n k 10 24N 选考题 答案 1000 13100 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 数学 在正项等比数列中 n a 2 1 5 a 则满足的最大正整数 的值为 3 76 aa nn aaaaaa 2121 n 答案 12 14101 2013 年高考湖南卷 理 设为数列的前 n 项和 则 n S n a 1 1 2 n nn n SanN 1 2 3 a 12100 SSS 答案 1 16 100 11 1 3 2 15102 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学 理 试题 当时 有如下表达式 1xR x 2 1 1 1 n xxx x 两边同时积分得 11111 2 22222 00000 1 1 1 n dxxdxx dxx dxdx x 从而得到如下等式 231 1111111 1 ln2 2223212 n n 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法 计算 012 231 1111111 2223212 n n nnnn n CCCC 答案 1 13 1 12 n n 16103 2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学 理 试题 已知 n a是等差数列 1 1a 公差 0d n S为其前n项和 若 125 a a a成等比数列 则 8 S 答案 64 17104 2013 年上海市春季高考数学试卷 若等差数列的前 6 项和为 23 前 9 项和为 57 则数列的前项n 和 n S 答案 2 57 66 nn 18105 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学 理 卷 在等差数列中 已知 n a 38 10aa 则 57 3aa 答案 20 19106 2013 年高考陕西卷 理 观察下列等式 2 11 22 123 222 1263 2222 124310 照此规律 第n个等式可为 1 2 1 n1 32 1 1 21 n222 nn n 答案 1 2 1 n1 32 1 1 21 n222 nn n 20107 2013 年高考新课标 1 理 若数列 n a 的前n项和为 Sn 21 33 n a 则数列 n a 的通项公式是 n a 答案 n a 1 2 n 21108 2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学 理 试题 如图 互不 相同的点和 12 n A AX 分别在角O的两条边上 所有相互平行 且所有梯形的面积均相等 设 12 n B BB nn A B 11nnnn A B BA 若则数列的通项公式是 nn OAa 12 1 2 aa n a 答案 23Nnnan 22109 2013 年高考北京卷 理 若等比数列 an 满足a2 a4 20 a3 a5 40 则公比q 前n项和 Sn 答案 2 1 22 n 23110 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学 理 试题 已知等比数列是递增数列 是 n a n S 的前项和 若是方程的两个根 则 n an 13 aa 2 540 xx 6 S 答案 63 三 解答题 24111 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 理 试题 设函数 证明 22 222 1 23 n n n xxx fxxxR nN n 对每个 存在唯一的 满足 n nN 2 1 3 n x 0 nn fx 对任意 由 中构成的数列满足 n pN n x n x 1 0 nnp xx n 答案 解 是 x 的单调递增函数 也 22 4 2 3 2 2 2 432 1 0 n xxxx xxf n x yx n n n 是单调递增的时 当 是 n 的单调递增函数 011 1 01 0 nn ff且 010 1 0 321 nnnn xxxxxfx 且满足存在唯一 x x x x xx x xxxx xxfx nn n 1 1 4 1 1 1 4 1 2222 1 1 0 212 22 4 2 3 2 2 时当 1 3 2 0 23 2 1 1 4 1 0 2 nnn n n nnn xxx x x xxf 综上 对每个 存在唯一的 满足 证毕 n nN 2 1 3 n x 0 nn fx 由题知 0 432 1 01 22 4 2 3 2 2 n xxxx xxfxx n nnnn nnnpnn 上式相减 0 1 432 1 22 1 22 4 2 3 2 2 pn x n x n xxxx xxf pn pn n pn n pnpnpnpn pnpnpn 22 1 22 4 2 3 2 2 22 4 2 3 2 2 1 432432pn x n x n xxxx x n xxxx x pn pn n pn n pnpnpnpn pn n nnnn n 22 1 22 44 2 33 2 22 1 4 3 2 pn x n x n xxxxxxxx xx pn pn n pn n n n pnnpnnpnnpn pnn n xx npnn pnn 1 111 法二 25112 2013 年高考上海卷 理 3 分 6 分 9 分 给定常数 定义函数0c 数列满足 2 4 f xxcxc 123 a a a 1 nn af anN 1 若 求及 2 求证 对任意 1 2ac 2 a 3 a 1 nn nNaac 3 是否存在 使得成等差数列 若存在 求出所有这样的 若不存在 说明理由 1 a 12 n a aa 1 a 答案 1 因为 故 0c 1 2 ac 2111 2 4 2af aacac 3122 2 4 10af aacacc 2 要证明原命题 只需证明对任意都成立 f xxc xR 2 4 f xxcxcxcxc 即只需证明 2 4 xcxcxc 若 显然有成立 0 xc 2 4 0 xcxcxc 若 则显然成立 0 xc 2 4 4xcxcxcxcxc 综上 恒成立 即对任意的 f xxc nN 1nn aac 3 由 2 知 若为等差数列 则公差 故 n 无限增大时 总有 n a0dc 0 n a 此时 1 2 4 8 nnnnn af aacacac 即 8dc 故 21111 2 4 8af aacacac 即 111 2 4 8acacac 当时 等式成立 且时 此时为等差数列 满足题意 1 0ac 2n 0 n a n a 若 则 1 0ac 11 4 48acac 此时 也满足题意 23 0 8 2 8 n aacanc 综上 满足题意的的取值范围是 1 a 8 cc 26113 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 数学 本小题满分 10 分 设数列 即当 122 3 3 34444 n a 1 1 1 1 k kk kk 个 时 记 对于 定义 11 22 kkk k n kN 1 1 k n ak 12nn Saaa nN lN 集合 l P1 nn n SanNnl 是的整数倍 且 1 求集合中元素的个数 2 求集合中元素的个数 11 P 2000 P 答案 本题主要考察集合 数列的概念与运算 计数原理等基础知识 考察探究能力及运用数学归纳法分 析解决问题能力及推理论证能力 1 解 由数列的定义得 n a1 1 a2 2 a2 3 a3 4 a3 5 a3 6 a4 7 a4 8 a 4 9 a4 10 a5 11 a 1 1 S1 2 S3 3 S0 4 S3 5 S6 6 S2 7 S2 8 S6 9 S10 10 S 5 11 S 11 1 aS 44 0 aS 55 1 aS 66 2 aS 1111 1 aS 集合中元素的个数为 5 11 P 2 证明 用数学归纳法先证 12 12 iiS ii 事实上 当时 故原式成立 1 i3 12 1 3 12 SS ii 假设当时 等式成立 即 故原式成立 mi 12 12 mmS mm 则 时 1 mi 2222 12 32 1 1 1 2 1 22 12 12 22 12 mmmmmmSSS mmmmmm 32 1 352 2 mmmm 综合 得 于是 12 12 iiS ii 1 12 12 12 12 22 12 12 1 iiiiiiSS iiii 由上可知 是的倍数 12