高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质课件 苏教版选修12(1).ppt

第2章2 4抛物线 2 4 2抛物线的几何性质 1 掌握抛物线的简单几何性质 2 能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线有关的问题 学习目标 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一抛物线的几何性质 答案 x 0 x 0 y 0 y 0 直线过抛物线y2 2px p 0 的焦点f 与抛物线交于a x1 y1 b x2 y2 两点 由抛物线的定义知 知识点二焦点弦 答案 故ab x1 x2 p 知识点三直线与抛物线的位置关系 直线y kx b与抛物线y2 2px p 0 的交点个数决定于关于x的方程 的解的个数 当k 0时 若 0 则直线与抛物线有两个不同的公共点 当 0时 直线与抛物线有个公共点 当 0时 直线与抛物线公共点 当k 0时 直线与抛物线的对称轴 此时直线与抛物线有个公共点 k2x2 2 kb p x b2 0 一 没有 行或重合 平 一 思考 1 抛物线x2 2py p 0 有几条对称轴 是不是中心对称图形 返回 答案 答案有一条对称轴即y轴 不是中心对称图形 2 影响抛物线开口大小的量是什么 是如何影响的 答案影响抛物线开口大小的量是参数p p值越大 抛物线的开口越大 反之 开口越小 题型探究重点突破 题型一抛物线的几何性质 解析答案 反思与感悟 1 注意抛物线各元素间的关系 抛物线的焦点始终在对称轴上 抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点 抛物线的准线始终与对称轴垂直 抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称 2 解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中 通过定义的运用 实现两个距离之间的转化 简化解题过程 反思与感悟 跟踪训练1已知抛物线的对称轴在坐标轴上 以原点为顶点 且经过点m 1 2 求抛物线的标准方程和准线方程 解析答案 解 1 当抛物线的焦点在x轴上时 设其标准方程为y2 mx m 0 将点m 1 2 代入 得m 4 抛物线的标准方程为y2 4x 2 当抛物线的焦点在y轴上时 设其标准方程为x2 ny n 0 例2已知抛物线方程为y2 2px p 0 过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于a b两点 且ab 题型二抛物线的焦点弦问题 解析答案 反思与感悟 求ab所在的直线方程 所以直线ab的斜率存在 设为k 反思与感悟 消去x 整理得ky2 2py kp2 0 解析答案 解得k 2 反思与感悟 1 解决抛物线的焦点弦问题时 要注意抛物线定义在其中的应用 通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题 从而可借助根与系数的关系进行求解 2 设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论 反思与感悟 跟踪训练2已知直线l经过抛物线y2 6x的焦点f 且与抛物线相交于a b两点 1 若直线l的倾斜角为60 求ab的值 解析答案 若设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 5 ab 5 3 8 x1 x2 p 解因为直线l的倾斜角为60 2 若ab 9 求线段ab的中点m到准线的距离 解设a x1 y1 b x2 y2 由抛物线定义知 x1 x2 p x1 x2 3 所以x1 x2 6 于是线段ab的中点m的横坐标是3 解析答案 例3已知直线l y kx 1 抛物线c y2 4x 当k为何值时 直线l与抛物线c有 1 一个公共点 2 两个公共点 3 没有公共点 题型三直线与抛物线的位置关系 解析答案 反思与感悟 解析答案 反思与感悟 消去y 得k2x2 2k 4 x 1 0 当k 0时 方程 为一元二次方程 2k 4 2 4k2 当 0 即k 1且k 0时 直线l与抛物线c有两个公共点 此时直线l与抛物线c相交 反思与感悟 当 0 即k 1时 直线l与抛物线c有一个公共点 此时直线l与抛物线c相切 当 1时 直线l与抛物线c没有公共点 此时直线l与抛物线c相离 综上所述 1 当k 1或k 0时 直线l与抛物线c有一个公共点 2 当k1时 直线l与抛物线c没有公共点 直线与抛物线交点的个数 等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数 注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况 反思与感悟 跟踪训练3如图 过抛物线y2 x上一点a 4 2 作倾斜角互补的两条直线ab ac交抛物线于b c两点 求证 直线bc的斜率是定值 解析答案 返回 证明设kab k k 0 直线ab ac的倾斜角互补 kac k k 0 直线ab的方程是y k x 4 2 解析答案 返回 消去y后 整理得k2x2 8k2 4k 1 x 16k2 16k 4 0 a 4 2 b xb yb 是上述方程组的解 返回 所以直线bc的斜率为定值 当堂检测 1 2 3 4 5 1 以x轴为对称轴的抛物线的通径 过焦点且与对称轴垂直的弦 长为8 若抛物线的顶点在坐标原点 则其方程为 y2 8x或y2 8x 解析设抛物线y2 2px或y2 2px p 0 2 y 2p 8 p 4 解析答案 1 2 3 4 5 2 若抛物线y2 x上一点p到准线的距离等于它到顶点的距离 则点p的坐标为 解析由题意知 点p到焦点f的距离等于它到顶点o的距离 因此点p在线段of的垂直平分线上 解析答案 1 2 3 4 5 3 抛物线y 4x2上一点到直线y 4x 5的距离最短 则该点坐标为 解析因为y 4x2与y 4x 5不相交 设与y 4x 5平行的直线方程为y 4x m 解析答案 设此直线与抛物线相切 此时有 0 即 16 16m 0 m 1 1 2 3 4 5 4 经过抛物线y2 2x的焦点且平行于直线3x 2y 5 0的直线l的方程是 6x 4y 3 0 解析答案 1 2 3 4 5 5 已知直线x y 1 0与抛物线y ax2相切 则a 解析答案 直线与抛物线相切 a 0且 1 4a 0 课堂小结 1 讨论抛物线的几何性质 一定要利用抛物线的标准方程 利用几何性质 也可以根据待定系数法求抛物线的方程 2 直线与抛物线的相交弦问题共有两类 一类是过焦点的弦 一类是不过焦点的弦 解决弦的问题 大多涉及到抛物线的弦长 弦的中点 弦的斜率 常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立 转化为关于x或y的一元二次方程 然后利用根与系数的关系 这样避免求交点 尤其是弦的中点问题 还应注意 点差法 的运用 3 判断直线与抛物线位置关系的两种方法 1 几何法 利用图象 数形结合 判断直线与抛物线的位置关系 但有误差影响判断的结果 2 代数法 设直线l的方程为y