【步步高】高三数学一轮 5.2 平面向量基本定理及坐标表示导学案 理 北师大版.DOC

5.2平面向量基本定理及坐标表示2014高考会这样考1.考查平面向量基本定理的应用；2.考查向量的坐标表示和向量共线的应用复习备考要这样做1.理解平面向量基本定理的意义、作用；2.运用定理表示向量，然后再进行向量运算1 平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底2 平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3 平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.难点正本疑点清源1 基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的2 向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a，点a的位置被向量a唯一确定，此时点a的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点a(x，y)，向量a(x，y)当平面向量平行移动到时，向量不变即(x，y)，但的起点o1和终点a1的坐标都发生了变化1 在平行四边形abcd中，e和f分别是边cd和bc的中点，若，其中，r，则_.答案解析因为，又，所以，得到1，1，两式相加得.2 在abcd中，ac为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则向量的坐标为_答案(3，5)解析，(1，1)，(3，5)3 已知向量a(1,2)，b(3,2)，若kab与b平行，则k_.答案0解析由kab与b平行得3(2k2)2(k3)，k0.4 若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则c等于()a3ab b3abca3b da3b答案b解析由已知可设cxayb，则，.5 (2011广东)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则等于()a. b. c1 d2答案b解析ab(1,2)(1,0)(1，2)，而c(3,4)，由(ab)c得4(1)60，解得.题型一平面向量基本定理的应用例1已知点g为abc的重心，过g作直线与ab、ac两边分别交于m、n两点，且x，y，求 的值思维启迪：以，为基底来表示向量，建立x，y的关系解根据题意知g为三角形的重心，故()，()x，yy()，由于与共线，根据共线向量定理知，不共线，xy3xy0，两边同除以xy得3.探究提高利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加、减法及数乘进行线性运算；向量的表示是向量应用的前提 如图，在abc中，p是bn上的一点，若m，则实数m的值为_答案解析设|y，|x，则，yx得，令，得yx，代入得m.题型二向量坐标的基本运算例2已知a(2,4)，b(3，1)，c(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求m、n的坐标及向量的坐标解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设o为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)m(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，n(9,2)(9，18)探究提高向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 已知平行四边形的三个顶点分别是a(4,2)，b(5,7)，c(3,4)，则第四个顶点d的坐标是_答案(4，1)或(12,5)或(2,9)解析设顶点d(x，y)若平行四边形为abcd，则由(1,5)，(3x,4y)，得所以若平行四边形为acbd，则由(7,2)，(5x,7y)，得所以若平行四边形为abdc，则由(1,5)，(x3，y4)，得所以综上所述，第四个顶点d的坐标为(4，1)或(12,5)或(2,9)题型三共线向量的坐标表示例3平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k；(3)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d.思维启迪：(1)向量相等对应坐标相等，列方程解之(2)由两向量平行的条件列方程解之(3)设出d(x，y)，由平行关系列方程，由模为列方程，联立方程组求解解(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以，得.(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，(akc)(2ba)，2(34k)(5)(2k)0，k.(3)设d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(2,4)，由题意得，解得或，d(3，1)或d(5,3)探究提高(1)运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合(2)根据平行的条件建立方程求参数，是解决这类题目的常用方法，充分体现了方程思想在向量中的应用 (2011北京)已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)若(a2b)与c共线，则k_.答案1解析a2b(，1)2(0，1)(，3)，又(a2b)与c共线，(a2b)c，3k0，解得k1.忽视平面向量基本定理的使用条件致误典例：(12分)已知a，b，c，d，e，设tr，如果3ac,2bd，et(ab)，那么t为何值时，c，d，e三点在一条直线上？易错分析本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决，但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时，容易忽视平面向量基本定理的使用条件，出现漏解，漏掉了当a，b共线时，t可为任意实数这个解规范解答解由题设，知dc2b3a，ec(t3)atb，c，d，e三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.4分若a，b共线，则t可为任意实数；7分若a，b不共线，则有解之得t.10分综上，可知a，b共线时，t可为任意实数；a，b不共线时，t.12分温馨提醒平面向量基本定理是平面向量知识体系的基石，在解题中有至关重要的作用，在使用时一定要注意两个基向量不共线这个条件方法与技巧1平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解2向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题3在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用失误与防范1要区分点的坐标和向量坐标的不同，向量的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减始点坐标；向量坐标中既有大小的信息，又有方向的信息2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.a组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 与向量a(12,5)平行的单位向量为()a.b.c.或d.答案c解析设e为所求的单位向量，则e.故应选c.2. 如图，在oab中，p为线段ab上的一点，xy，且2，则 ()ax，y bx，ycx，y dx，y答案a解析由题意知，又2，所以()，所以x，y.3 已知a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c等于()aab b.abcab dab答案b解析设cab，(1,2)(1,1)(1，1)，cab.4 在abc中，点p在bc上，且2，点q是ac的中点，若(4,3)，(1,5)，则等于()a(2,7) b(6,21)c(2，7) d(6，21)答案b解析33(2)63(6,30)(12,9)(6,21)二、填空题(每小题5分，共15分)5 若三点a(2,2)，b(a,0)，c(0，b) (ab0)共线，则的值为_答案解析(a2，2)，(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以.6 已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，则实数x的值为_答案解析因为a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，所以u(1,2)2(x,1)(2x1,4)，v2(1,2)(x,1)(2x,3)，又因为uv，所以3(2x1)4(2x)0，即10x5，解得x.7 在平面直角坐标系中，o为坐标原点，a、b、c三点满足，则_.答案解析oc，()，.三、解答题(共22分)8 (10分)已知a(1,2)，b(3,2)，是否存在实数k，使得kab与a3b共线，且方向相反？解若存在实数k，则kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)a3b(1,2)3(3,2)(10，4)若向量kab与向量a3b共线，则必有(k3)(4)(2k2)100，解得k.这时kab，所以kab(a3b)即两个向量恰好方向相反，故题设的实数k存在9 (12分)如图所示，m是abc内一点，且满足条件230，延长cm交ab于n，令a，试用a表示.解因为，所以由230，得()2()30，所以3230.又因为a，n，b三点共线，c，m，n三点共线，由平面向量基本定理，设，所以3230.所以(2)(33)0.由于和不共线，由平面向量基本定理，得所以所以，22a.b组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 若平面向量b与向量a(1，2)的夹角是180，且|b|3，则b等于()a(3,6) b(3，6)c(6，3) d(6,3)答案a解析方法一设b(x，y)，由已知条件整理得解得b(3,6)方法二设b(x，y)，由已知条件解得或(舍去)，b(3,6)方法三|a|，a，则b3(3,6)2 已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，则2a3b等于()a(2，4) b(3，6)c(4，8) d(5，10)答案c解析由a(1,2)，b(2，m)，且ab，得1m2(2)m4，从而b(2，4)，那么2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)3 已知a(3,0)，b(0,2)，o为坐标原点，点c在aob内，|oc|2，且aoc，设 (r)，则的值为()a1 b. c. d.答案d解析过c作cex轴于点e(图略)由aoc，知|oe|ce|2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故.二、填空题(每小题5分，共15分)4 abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若p(ac，b)，q(ba，ca)，且pq，则角c_.答案60解析因为pq，则(ac)(ca)b(ba)0，所以a2b2c2ab，结合余弦定理知，cos c，又0c0，b0，o为坐标原点，若a、b、c三点共线，则的最小值是_答案8解析据已知得，又(a1,1)，(b1,2)，2(a1)(b1)0，2ab1，4428，当且仅当，即a，b时取等号，的最小值是8.三、解答题7 (13分)已知点o为坐标原点，a(0,2)，b(4，6)，t1t2.(1)求点m在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，a、b、m三点都共线；(3)若t1a2，求当且abm的面积为12