一次函数与变量 (2).doc

19.2.3一次函数与方程、不等式1.使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系.2.使学生能初步运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集,并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集.3.使学生理解二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标,并能通过图象法来求二元一次方程组的解.通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的探究,引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系,发展学生的辩证思维能力.在探究活动中,让学生体会数学知识的融会贯通,发现数学的美,以激发学生学习数学的兴趣和克服困难的信心.【重点】1.理解一次方程、一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系.2.掌握用图象求解方程、不等式的方法.【难点】根据一次函数的图象求解方程和不等式.【教师准备】教学中出示的例题.【学生准备】预习本节内容. 导入一:问题1画出函数y=x+3的图象,并解答:(1)x取什么值时,函数值 y等于3,0,-3?(2)x取什么值时,函数值 y始终大于零?学生画出函数的图象,按照要求独立思考问题.追问:你是如何求x的值?学生完成后,说出自己的方法和结果.(1)分别令y=3,0,-3,得到方程:x+3=3,x+3=0,x+3=-3,分别解这些方程得:x=0,x=-2,x=-4.(2) 当y0时,即x+30,解不等式得x-2.追问:一元一次方程x+3=3,x+3=0,x+3=-3与函数y=x+3有什么关系?你能利用一次函数的图象求出方程的解吗?学生思考探究,讨论交流,并总结结论:从数的角度看:求一元一次方程x+3=3,x+3=0,x+3=-3的解就是求函数y=x+3当y的值为3,0,-3时对应的自变量x的值.从形的角度看:也是求当一次函数的图象上纵坐标分别为3,0,-3时点的横坐标.问题2不等式x+30的解集与函数y=x+3有什么关系?你能用一次函数的图象解不等式吗?教师引导学生讨论交流,发现:从数的角度看:不等式x+30的解集就是函数y0时自变量x的取值范围.从形的角度看:也就是直线y=x+3在x轴上方部分点的横坐标x的取值范围.从以上过程可以看出,一次函数与方程、不等式有着密切的关系,这就是我们这节课要学习的内容一次函数与方程、不等式.设计意图通过这一活动让学生进一步熟悉用函数观点认识一元一次方程、不等式的问题,进而加深对数形结合思想的认识与理解.导入二:问题1(1)解方程2x-4=0.(2)当自变量x为何值时,函数y=2x-4的值为0? (3)从上述两个问题中,你能发现一次函数与一元一次方程的关系吗?(4)画出函数y=2x-4的图象,并确定它与x轴的交点坐标.学生按要求探究,并总结结论.从数的角度看:一元一次方程2x-4=0的解是一次函数y=2x-4的y为0时x的值.从形的角度看:一元一次方程2x-4=0的解是一次函数y=2x-4图象与x轴交点的横坐标. 问题2(1)解不等式:2x-40(2)当自变量x为何值时,函数y=2x-4的值大于0?(3)观察函数y=2x-4 的图象,回答问题:当x时,y=2x-4 0,当x时,y=2x-4 0的解集是一次函数y=2x-4的y值大于0时x的取值范围.从形的角度看:解一元一次不等式2x-40(或2x-43,(2)2x+10,(3)2x+11,x-,x0或ax+b0的形式.因此,解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时,求x的取值范围.或者在函数y=ax+b图象上找出纵坐标大于0或小于0的部分,看这些点的横坐标满足什么条件.设计意图理解和掌握一次函数与一元一次不等式之间的联系,让学生明确解决问题应从变化与对应的观点去考虑,善于观察、总结,提高学生的概括能力.思路二用画函数图象的方法解不等式5x+42x+10.方法一:原不等式可以化为,画出直线y=的图象,可以看出,当x时这条直线上的点在x轴的下方.即这时y=0,所以不等式的解集为:.方法二:将原不等式的两边分别看作一次函数,画出直线y=与直线y=.可以看出,它们交点的横坐标为.当x时,对于同一个x,直线y=上的点在直线y=上的相应点的方,这时5x+40或ax+b0(a,b为常数,a0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大于(或小于)0时,求自变量相应的取值范围.设计意图通过这一活动使学生熟悉一元一次不等式与一次函数值大于或小于0时,自变量取值范围问题间的关系,并寻求出解决这问题的具体方法.用函数的观点认识其数学概念的主要作用不是单纯的解题,而是加强知识间的融会贯通.3.探究一次函数与方程组的关系思路一探究:1号探测气球从海拔5 m处出发,以1 m/min的速度上升.与此同时,2号探测气球从海拔15 m处出发,以0.5 m/min的速度上升.两个气球都上升了1 h.(1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y(单位:m)关于上升时间x(单位:min)的函数关系;(2)在某个时刻两个气球能否位于同一高度?如果能,这时气球上升了多长时间?位于什么高度?引导学生从实际问题中抽象出具体的数学问题,并应用所学方法求解.帮助学生建立函数模型,得到不同的解决方法,并展示规范解答.解:(1)两个气球所在位置的海拔高度y(m)与上升时间x(min)的函数关系分别是:1号气球:y=x+5;2号气球:y=0.5x+15.自变量x的范围是0x60.追问:“在某个时刻两个气球位于同一高度”说明它们两个函数关系式中的x和y的值要满足什么关系?如何求出x和y的值?学生思考后总结.在某时刻两个气球位于同一高度,就是说对于x的某个值,函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.由此容易想到解二元一次方程组.解:(2)由题意得 解得当上升20 min时,两个气球都位于海拔25 m的高度.追问:在同一直角坐标系中,画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象,观察这两条直线有交点吗?并思考:交点坐标是不是的解?为什么?学生画图后发现,这两条直线的交点为(20,25),说明当上升20 min时,两个气球都位于海拔25 m的高度.也就是说交点坐标也就是方程组的解. 教师引导学生归纳总结:(1)一般地,因为每个含有未知数x和y的二元一次方程,都可以改写成y=ax+b的形式,所以每个这样的方程都对应一个一次函数,于是也对应一条直线,这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解. 同样,任意一个二元一次方程组都对应着两个一次函数和两条直线,这两条直线的交点坐标是该二元一次方程组的解.(2)从“数”的角度看:解二元一次方程组,相当于求自变量为何值时两个函数的函数值相等,以及这个函数值是多少.从“形”的角度看:解二元一次方程组,相当于确定两条相应直线的交点.设计意图通过活动,从数和形两个角度认识了一次函数与二元一次方程组的关系.思路二1.一次函数与二元一次方程的关系.(1)对于方程3x+5y=8如何用x表示y?是不是任意的二元一次方程都能转化成一次函数呢?(2)在平面直角坐标系中画出一次函数y=-x+的图象.(3) 在一次函数y=-x+的图象上任取一点(x,y),则x,y一定是方程 3x+5y=8的解吗?为什么?学生独立完成后同桌交流,教师再引导学生归纳总结: 方程3x+5y=8的解点(s,t)在一次函数y=-x+的图象上2.一次函数与二元一次方程组的关系.观察在同一直角坐标系中的y=2x-1与y=-x+的图象,两条直线的交点坐标是.方程组 的解是.小组讨论,完成填空后,进行验证.教师说明:(1)任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合;(2)求方程组的解就是求两个函数值相等时,自变量的值和函数值;(3)根据方程组的解的意义和函数的观点,就是当x取什么数值时,两个一次函数的y值相等?它反映在图象上,就是求直线y=2x-1与直线y=-x+的交点坐标.教师引导归纳:设计意图通过问题解决,由特殊过渡到一般,从数和形两个角度认识了一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系.4.例题讲解(补充)某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元,销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元.(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润;(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍.设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.求y关于x的函数关系式;该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大?(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调m(0m100)元,且限定商店最多购进A型电脑70台.若商店保持两种电脑的售价不变,请你根据以上信息及(2)中条件,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.师生共同分析:(1)设出每台A型电脑和B型电脑的销售利润,因为销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元,销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元,可列出二元一次方程组求解.(2)由计划一次购进两种型号的电脑共100台和(1)问中的结论等条件,构建y关于x的函数关系式,再由“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍”求出自变量的取值范围,最后由一次函数的增减性得出销售总利润最大的进货方案.(3)由(2)问中的条件和(3)中信息构建含参数m的一次函数关系式并确定自变量的取值范围,依据m的不同取值范围讨论一次函数的增减性,从而确定m取值范围不同情况下销售总利润最大的进货方案.解:(1)设每台A型电脑的销售利润为a元,每台B型电脑的销售利润为b元,则有: 解得 即每台A型电脑的销售利润为100元,每台B型电脑的销售利润为150元.(2)根据题意,得y=100x+150(100-x),即y=-50x+15000.根据题意,得100-x2x,解得x33.y=-50x+15000中,-500,y随x的增大而减小.x为正整数,当x=34时,y取得最大值,此时100-x=66.即商店购进A型电脑34台,B型电脑66台,才能使销售总利润最大.(3)根据题意,得 y=(100+m)x+150(100-x),即y=(m-50)x+15000.由题意得33x70.当0m50时,m-500,y随x的增大而减小.当x=34时,y取得最大值.即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑才能获得最大利润;当m=50时,m-50=0,y=15000.即商店购进A型电脑数量满足33x70的整数时,均获得最大利润;当50m0,y随x的增大而增大.x=70时,y取得最大值.即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑才能获得最大利润.归纳总结一次函数的最值问题:考虑一次函数y=kx+b在axb时的最大值和最小值的时候,要注意k的符号:当k0时,则在x=a处取最小值,在x=b处取最大值;当k0(a0)的解集x为何值时,y=ax+b的值大于0直线y=ax+b在x轴上方时所对应的x的取值范围求二元一次方程组的解解二元一次方程组就相当于求自变量为多少时,两个函数值相等,以及这个函数值是多少解二元一次方程组相当于求两条直线交点的坐标1.直线y=x+3与y轴的交点是() A.(0,3) B.(0,1) C.(3,0) D.(1,0)解析:把x=0代入解析式得y=3,即求出当横坐标为0时,纵坐标为3.故选A.2.直线y=kx+b与两坐标轴的交点如图所示,当y2B.x-1D.x-1 解析:求y0时x的取