江苏省泰兴市新市初级中学九年级数学上册 67 三个臭皮匠胜似一个诸葛亮校本教材 苏科版.doc_第1页
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三个臭皮匠胜似一个诸葛亮常言道：“三个臭皮匠胜似一个诸葛亮”今天我们就用概率的理论，定量地对它进行证明首先介绍两事件的独立性概念：如果一个事件发生与否对另一个事件的发生的概率没有影响，我们就说这两个事件是互相独立的例如甲气象台和乙气象台预报天气，这两件事，便是独立的；又如，某地患肺炎病与患砂眼病，这两件事是互相独立的；再如，两次射击，第一次击中目标与第二次击中目标，也是互相独立的假定我们用ab表示事件a与事件b同时发生，那么，当事件a与b互相独立时，我们有：p（ab）p（a）p（b）对于三个以上的两两独立事件，类似地我们有：p（abc）p（a）p（b）p（c）现在回到三个“臭皮匠”的问题假定“臭皮匠”a独立解决问题的概率为p（a）；“臭皮匠”b独立解决问题的概率为p（b）；“臭皮匠”c独立解决问题的概率为p（c）如若“臭皮匠”只有两个，那么某一问题能被两者之一解决的可能性有多大呢？让我们仍从图形的分析开始吧！为方便起见，右图中我们用阴影区域的面积，表示相应事件的概率，如图所标那么，从上下两图我们立即看到： p（a或b）p（a） p（b）p（ab）因为“臭皮匠”们思考问题时是彼此独立的这样，我们又有：p（a或b）p（a）p（b）p（a）p（b）类似地便能够得到一个问题被三个“臭皮匠”之一解决的概率的计算式：p（a或b或c）p（a）p（b）p（c）p（a）p（b）p（b）p（c）p（c）p（a） p（a）p（b）p（c）例如：p（a）0.45，p（b）0.55， p（c）0.60，即三人的解题把握都大致只有一半，但当他们总体解题时，能被三人之一解出的可能为：p（a或b或c）0.450.550.600.450.550.550.600.450.450.550.600.901看！三个并不聪明的“臭皮匠”居然能够解出百分之九十以上的问题，聪明的“诸葛亮”也不过如此！上面我们是从“臭皮匠”们解决问题的角度来分析的如果我们换另一个角度来分析，所得的结果将更简捷、更精辟事实上，如果一事件出现的概率为p，那么该事件不出现的概率必定为（1p）这样，三个“臭皮匠”同时不能解决问题的概率为1p（a）1p（b）1p（c）把全部可能的1，减去同时不能解决的可能性，当然就得到三者至少有一人解决的可能性，即：p（a或b或c）11p（a）1p（b）1p（c），此式展开的结果跟前面的公式是一样的，但保留上面算式在计算上要简单得多如上例：p（a或b或c）1（0.45）（10.55）（10.60）10.550.450.400.901又当“臭皮匠”人数增多时，前一种算法将不胜其繁，而后一种算法无须什么变动依然适用例如，十个刚参加军训的学生，每人打靶的命中率都只有0.3，这样的命中率应该说是低的了但如若他们朝同一个目标射击，那么据上面的式子，目标被击中的概率为：p1（0.
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