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21.2.4一元二次方程根与系数的关系人教2011版 云南民族大学附属中学 孙淑琴教学目标 1、知识与技能：在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系求某些代数式的值（例如两个根的倒数和与平方数，两根之差），由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与某些字母系数的取值。2、方法与过程：经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。3、情感、态度与价值观目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。 教学重点和难点 1、重点：一元二次方程根与系数的关系。2、难点：从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系及应用教学设计一、复习引入1、解一元二次方程的方法直接开方法，配方法，求根公式法，因式分解法2、请同学默写求根公式3、在方程ax2+bx+c=0中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有其它关系？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系。二、讲授新知活动一、设 x1，x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表一元二次方程x1x2x1+x2x1x2x2+2x+1=0x2-x-30=0x2-5x+6=02x2-x+3=01、观察所填表格，你能发现x1+x2 ， x1x2与方程的系数有什么关系？2、一元二次方程的两个根和、两根的积与方程之间这种关系，对于所有的一元二次方程都成立吗?对于方程ax2+bx+c=0（a0）成立吗？若成立，请证明。说明：让学生自己动手填表，经历探究过程，从而猜根与系数的关系。活动二：公式的证明：1、设x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a0）的两个根，当b2-4ac0时，结论：如果ax2+bx+c=0（a0）的两根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2= 。这个关系是一个法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理。2、请学生自己验证当b2-4ac =0时，x1+x2= ，x1x2= 。说明：由此得出一元二次方程的根与系数的关系；还可以让学生用自己的语言表述这种关系，来加深理解和记忆。请同学们验证前面的表格，结果是否正确？活动三：公式特例：问题 方程(x- x1)(x- x2) =0(x1，x2为已知数)的两根是什么？将方程化为x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2与 p，q 之间的关系吗？结论1：如果方程x2+px+q=0 的两个根为x1，x2，那么x1+x2=- p, x1x2=q结论2：以x1、x2为根的方程是x 2 + px + q = 0 ，其中 p= -(x1+x2 ) , q = x1x2 活动四：问题：在方程ax2+bx+c=0（a0）中，系数a、b、c对方程解的情况有什么作用？（引导学生反思性小结）当=b2-4ac0时 当b=0，a、c要异号， x1+x2=0即：方程两根互为相反数； 当=b2-4ac0 , x1x20 , x1+x20，x1x20时,方程有两个正数根 当=b2-4ac0 , x1+x20时,方程有两个负数根 当=b2-4ac0 , c=0时，方程有一根为0。说明：1、本设计采用“实践观察发现猜想证明”的过程，使学生动手动脑，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。2、本设计遵循由特殊到一般，从实践到理论（即从感性认识上升到理性认识）的认知规律。三、应用举例例1、(教材16页例4)根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积：（1） x 2 - 6x - 15 = 0 （2）3x 2 + 7x - 9 = 0（3）5x - 1 = 4x 2 （4） x 2 - 6x + 15 = 0 组织学生自己分析解决，然后一学生演板，其余学生在草稿本上练习。解：(1) a=1,b=-6,c=-15 x1+x2=-(-6)=6 x1x2 =-(-15)=15注意：求两根之和，两根之积时，一定要注意方程是否有解，要把方程整理成一般形式例2、已知方程5x2+kx-6=0的一个根为2，求它的另一个根及k的值。组织学生自己分析解决，学生在草稿本上练习，然后教师在黑板上演示解题过程及格式。解：设方程的另一个根为x1 ，那么所以，另外一个根是-35，k的值为-7例2、设x1，x2是一元二次方程x2+2x-1=0的两个根，请利用根与系数的关系，求方程两个根的（1）平方和；（2）倒数和解：四、课堂练习1、不解方程，求下列方程两个根的和与积：（1） x 2 - 3x = 15 （2） 3x 2 + 2 = 1- 4x （3） 5x 2 - 1 = 4x 2 + x （4） 2x 2 - x + 2 = 3x + 1 2、已知方程3x2 - 19x +m =0的一个根是 1，求它的另一个根和m的值。3、设x1，x2是方程2x2 +4x - 3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)( x1+2) (x2+2) (2) x12+x224、已知实数满足关系式a2-5a+6=0，b2-5b+6=0，且ab，能否求a+b与ab的值？5、如果x =-1是方程2x2 +x+m=0的一个根，则另一个根是_，m =_。6、设 x1，x2是方程x2 +5x-6=0的两个根，则x1+x2= _ _ x1x2 = _ _， x12+x22= (x1+x2 )2 - _ _ = _ (x1-x2)2 = ( )2 - 4 x1x2= _ _ 7、已知x1+x2=5 , x1x2=6，则以x1，x2这两个数为