《复变函数论》教学大纲.doc

复变函数课程名称：复变函数英文名称：Theory of Functions of a Complex Variable适用对象：数学与应用数学专业函授生先修课程：数学分析执 笔 人：于兴江 审 定 人：孟 晗 一、课程的性质、目的和任务复变函数课程是数学与应用数学专业函授生的一门必修课。它在数学学科众多分支（如微分方程、计算数学、解析数论、微分几何、拓扑学、泛函分析）及其它领域（如流体力学、弹性力学、电学、工程技术）有着广泛应用。另外，它的某些内容与中学数学教育还有着密切联系。通过本课程的学习,使学生系统掌握复变函数的基本理论与方法,从而增强分析问题与解决问题的能力。开设本课程，主要是使学生在学习与掌握复变函数的基本理论与方法的基础上，一方面对于学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助，另一方面，使学生具备一定的解决实际问题的能力，再就是使学生对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增强做好中学数学教育工作的能力。学习复变函数课程需要数学分析课程的有关知识，同时它也为泛函分析与数学物理方程等后继课的学习做好了必要的准备。 二、课程教学和教改基本要求熟练掌握复变函数的基本理论和基本方法，对解析函数、柯西积分定理、柯西积分公式、解析函数的泰勒展开与罗朗展开、留数理论、保形变换、解析开拓、调和函数等有较深入的了解。 三、课程各章节重点与难点、教学要求与教学内容、学时分配 第一章 复数与复变函数重点难点：无穷远点与扩充复平面教学要求：1.1熟练掌握复数的模与幅角、复数的三种表示、复数的基本性质，掌握复数的乘幂与方根的求法，会用复数表示平面图形，会用复数解决一些简单的几何问题。1.2理解平面点集的几个基本概念，理解区域与约当曲线的概念，了解约当定理，会区分单连通区域与多连通区域。1.3充分理解复变函数、多值函数、反函数等概念，理解复变函数的几何表示，会求简单平面图形的变换象（或原象），理解复变函数的极限，掌握极限的等价刻划定理，理解复变函数的连续性及其等价刻划定理，熟悉有界闭集上连续函数的性质。1.4了解复球面，理解无穷远点与扩充复平面。教学内容：复数的表示，复数的性质与运算，平面图形的复数表示，区域与约当曲线，复变函数的概念，复变函数的极限与连续性，复球面，无穷远点与扩充复平面。 第二章 解析函数重 点：解析函数的概念，解析函数的充要条件。难 点：支点的概念，具有多个支点的多值函数。教学要求：2.1理解复变函数的导数的概念，掌握解析函数的定义及其简单性质，熟练掌握解析函数的等价刻划定理特别是柯西-黎曼条件。2.2熟练掌握指数函数的定义与主要性质，掌握三角函数的定义与基本性质，了解双曲函数定义与基本性质。3.3掌握幂函数与指数函数的变换性质与单叶性区域，理解并逐步掌握通过限制幅角或割破平面的方法求根式函数和对数函数的单值解析分支，了解一般幂函数与一般指数函数，理解并掌握求具有多个支点的多值函数的支点从而使其能分出单值解析分支的方法，会由已知单值解析分支的初值计算终值，了解反三角函数与反双曲函数。教学内容：复变函数的导数与微分，解析函数及其简单性质，柯西-黎曼条件，指数函数，三角函数，双曲函数，根式函数，对数函数，一般幂函数与一般指数函数，具有多个支点的多值函数，反三角函数与反双曲函数。 第三章 复变函数的积分重 点：柯西积分定理，柯西积分公式。难 点：柯西积分定理，柯西积分公式，解析函数与调和函数的关系。教学要求：3.1理解复变函数的积分的定义，掌握复积分的性质与计算方法。3.2掌握柯西积分定理及其等价形式和两种推广形式以及它们的应用，掌握不定积分特别是由变上限积分确定的单值解析函数，会用牛顿-莱布尼兹公式计算复定积分。3.3熟练掌握柯西积分公式与高阶导数公式，掌握解析函数的平均值定理、无穷可微性以及它的第二个等价刻划定理，掌握柯西不等式、刘维尔定理、摩勒拉定理。3.4掌握调和函数与共轭调和函数的概念，理解解析函数与调和函数的关系，掌握由解析函数的实部（或虚部）求虚部（或实部）的两种方法。教学内容：复变函数的积分的定义、性质与计算，柯西积分定理及其推广，不定积分，柯西积分公式或高阶导数公式，解析函数的无穷可微性，柯西不等式，刘维尔定理，摩勒拉定理，解析函数与调和函数的关系。 第四章 解析函数的幂级数表示法重 点：解析函数的第三充要条件，第四充要条件，解析函数的唯一性定理，解析函数零点的孤立性。难 点：解析函数的唯一性定理，解析函数零点的孤立性。教学要求：4.1理解复数项级数敛散性的定义，掌握其收敛性的两个刻划定理，掌握复级数的绝对收敛性及绝对收敛复级数的性质，掌握关于复变函数项级数的柯西一致收敛准则与优级数准则，熟悉复连续函数项级数的性质，了解复变函数项级数的内闭一致收敛性，熟练掌握关于解析函数项级数的维尔斯特拉斯定理。4.2掌握阿贝尔定理，充分理解幂级数的敛散性，熟练掌握幂级数收敛半径的求法，掌握幂级数和函数的解析性。4.3掌握泰勒定理，理解幂级数的和函数在收敛圆周上的情况，掌握一些初等函数的泰勒展开式，会用间接法把解析函数展开为幂级数。4.4掌握解析函数零点的概念及具有零点的解析函数的表达式，掌握解析函数零点的孤立性与解析函数的唯一性定理，熟练掌握最大模原理及其推论。教学内容：复数项级数及其基本性质，一致收敛的复变函数项级数及其性质，解析函数项级数的维尔斯特拉斯定理，阿贝尔定理和幂级数的敛散性，幂级数收敛半径的求法，幂级数和函数的解析性，泰勒定理，幂级数的和函数在收敛圆周上的情况，一些初等函数的泰勒展开式，解析函数零点的孤立性，解析函数的唯一性定理，最大模原理。 第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点重 点：罗朗定理，孤立奇点的类型及其判别法。难 点：罗朗定理，孤立奇点的类型及其判别法。教学要求：5.1了解双边幂级数的敛散性及其和函数的解析性，掌握罗朗定理，理解罗朗级数与泰勒级数的关系，会用间接法把解析函数在孤立奇点邻域内展成罗朗级数。5.2掌握孤立奇点的三种类型及其判别法，掌握席瓦尔兹引理，了解关于本性奇点的维尔斯特拉斯定理和皮卡（大）定理。5.3理解解析函数在无穷远点邻域内的性态，掌握无穷远点作为孤立奇点的分类及相应的判别法。5.4掌握整函数的概念及其分类，了解亚纯函数的概念及其与有理函数的关系。教学内容：双边幂级数，罗朗定理，解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式，孤立奇点的三种类型及其判别法，席瓦尔兹引理，关于本性奇点的维尔斯特拉斯定理和皮卡（大）定理，解析函数在无穷远点的性质，整函数与亚纯函数。 第六章 留数理论及其应用重 点：留数定理，留数的求法，儒歇定理。难 点：用留数计算实积分，幅角原理，儒歇定理。教学要求：6.1掌握留数的定义与留数定理，熟练掌握留数的求法，掌握无穷远点的留数的定义及其求法。6.2掌握用留数计算三角函数有理式在一个周期上的积分、有理函数的无穷限广义积分、有理函数与纯虚变量指数函数（或三角函数）乘积的无穷限广义积分的方法，了解积分路径上有奇点的积分的求法。6.3掌握关于解析函数零点与极点个数的定理，掌握幅角原理及其应用，掌握儒歇定理及其应用。教学内容：留数的定义，留数定理，留数的求法，函数在无穷远点的留数，用留数计算实积分，对数留数，幅角原理，儒歇定理。 第七章 保形变换重点：保形变换。难点：儒可夫斯基变换，黎曼映射定理，边界对应定理。教学要求：7.1理解并掌握解析变换的保域性，理解解析变换的保角性（导数的几何意义），理解单叶解析变换的保形性。7.2熟练掌握分式线性变换，掌握分式线性变换的保形性、保交比性、保圆（周）性、保对称点性及分式线性变换的应用。7.3掌握幂函数与根式函数所构成的保形变换及其作用，掌握指数函数与对数函数所构成的保形变换及其作用，了解由圆弧所构成的两角形区域的保形变换及其作用，了解儒可夫斯基变换。7.4充分理解黎曼映射定理及其重要意义，理解边界对应定理。教学内容：解析变换的保域性和保角性，单叶解析变换的保形性，分式线性变换及其分解，分式线性变换的保形性、保交比性、保圆（周）性、保对称点性，分式线性变换的应用，幂函数与根式函数所构成的保形变换，指数函数与对数函数所构成的保形变换，由圆弧构成的两角形区域的保形变换，儒可夫斯基变换，黎曼映射定理，边界对应定理。 四、课外习题及课堂讨论课外习题及课堂讨论及见教材复变函数论钟玉泉编（第三版）高等教育出版社.2003. 五、作业与考核方式作 业：见复变函数论钟玉泉编（第三版）高等教育出版社.2003.考核方式：闭卷考试 六、推荐教材教学参考书：教 材：复变函数论钟玉泉编（第三版）高等教育出版社.2003.参考书：1、德C.Caratheodory著：复变函数论，第一卷(赵彦达译)，高等教育出版社1985.72、俄普里瓦洛夫复变函数引论，闵嗣鹤，程民德等译，人民教育出版社，1983.3.3、L.V.Ahlfors(阿尔福斯):复分析（张立、张靖译），上海科学技术出版社，1984.6.4、庄圻泰，张南岳著：复变函数，北京大学出版社，1984.45、华北师范大学：复变函数论，辽宁人民出版社，1983.11 6、余家荣，路见可主编：复变函