带滤频的逆迭代法.doc

带滤频的逆迭代法结构动力分析时常需要求解体系的主振型和频率，当动力自由度较多时，需要采用迭代法进行电算分析。由不考虑阻尼的自由振动方程可得： （4-91）这在数学上称为广义特征值问题，两边前乘或，可以得到标准特征值问题： （4-92）或 （4-93）迭代法先通过假设一个初始的振动形状，然后通过逐步调整振动形状，直到前后两个振动形状充分接近时为止，这样可以得到主振型，再由主振型获得对应的频率。采用（4-92）式进行迭代求解的方法称为逆幂迭代（或逆迭代），采用（4-93）式进行迭代求解的方法称为幂迭代。逆幂迭代是求解特征向量和特征值问题的很有效的方法。1计算过程（1）求第一频率和主振型在（4-92）式中，记、=，称为动力矩阵，于是（4-92）式成为求的特征值问题：= （4-94）当矩阵阶数较高时，不易求，可改用柔度矩阵，其系数可用单位力法求得，系数表示仅在i层（质点）作用一单位力时在第j层（质点）产生的位移，如在第n层作用单位力，则=,=+=+。先假定一初始振型向量，如全为1的向量=1 1 1T，按下式得到一个新的向量：= （4-95）同时将标准化：= （4-96）标准化的方法可规定某个元素为1（如顶层为1），其余取与该元素的比值；或按下式进行：= （4-97）再以为主振型的第二次近似值，前乘动力矩阵，得到： （4-98）重复上述过程，到第k次迭代： （4-99）比较与，如果二者很接近，则迭代结束，得到第一主振型和第一频率（2）求高阶频率和振型采用迭代法求解高阶振型和频率在于在迭代过程中消除前面低阶的振型成分，这个过程称为滤型或滤频。任一向量可按主振型展开：，两边同乘以： （4-100）由振型正交性原理得到： （4-101）式中，为广义质量。从中滤去第一主振型成分，余下的振型向量为： （4-102）令，称为一阶滤型矩阵，（4-102）式成为： （4-103）此时，中已不包含一阶主振型分量。将代入（4-94）式右端，得到： （4-104）式中的就是迭代求解第二阶振型所用的动力矩阵： （4-105）类似地，可得到阶滤频后的动力矩阵： （4-106）迭代过程为：l 设初始向量=1 1 1T或其它值l 求广义质量l 求第阶滤频后的动力矩阵l当与很接近时，迭代结束，得到第阶振型和第阶频率2.分析示例三层刚架结构的13层的集中质量分别为360、270和180t，侧移刚度分别为294103、196103和98103kN/m。求结构的振动频率和振型。质量矩阵为：刚度矩阵为：柔度矩阵为： （m/kN）（1）求第一阶频率和振型设初始向量=1 1 1T第1次迭代：=6.886=第2次迭代：=5.539=第3次迭代：=5.294=第4次迭代：=5.238=/第5次迭代：=5.227=如果振型精度为，则迭代可以结束，第一振型，第一频率。（2）求第二阶频率和振型设初始向量=1 1 1T求广义质量求第2阶滤频后的动力矩阵：-=x10-3第1次迭代：=-0.535=第2次迭代：=1.196=第6次迭代：=1.144=第二阶振型，第二阶频率。第9次迭代得到振型为，频率为29.57。（3）求第三阶频率和振型设初始向量=1 1 1T求广义质量求第3阶滤频后的动力矩阵：=-2.566*10-6=第1次迭代：=-