3年高考（新课标）高考数学一轮复习 8.4垂直关系及空间角.doc

【3年高考】（新课标）2016版高考数学一轮复习 8.4垂直关系及空间角a组20122014年高考基础题组1.(2014广东,7,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是()a.l1l4 b.l1l4c.l1与l4既不垂直也不平行 d.l1与l4的位置关系不确定2.(2014四川,8,5分)如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,点o为线段bd的中点.设点p在线段cc1上,直线op与平面a1bd所成的角为,则sin 的取值范围是()a. b.c. d.3.(2014课标,11,5分)直三棱柱abc-a1b1c1中,bca=90,m,n分别是a1b1,a1c1的中点,bc=ca=cc1,则bm与an所成角的余弦值为()a. b. c. d.4.(2014陕西,17,12分)四面体abcd及其三视图如图所示,过棱ab的中点e作平行于ad,bc的平面分别交四面体的棱bd,dc,ca于点f,g,h.(1)证明:四边形efgh是矩形;(2)求直线ab与平面efgh夹角的正弦值.5.(2013江苏,16,14分)如图,在三棱锥s-abc中,平面sab平面sbc,abbc,as=ab.过a作afsb,垂足为f,点e,g分别是棱sa,sc的中点.求证:(1)平面efg平面abc;(2)bcsa.6.(2012湖南,18,12分)如图,在四棱锥p-abcd中,pa平面abcd,ab=4,bc=3,ad=5,dab=abc=90,e是cd的中点.(1)证明:cd平面pae;(2)若直线pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等,求四棱锥p-abcd的体积.7.(2013湖南,19,12分)如图,在直棱柱abcd-a1b1c1d1中,adbc,bad=90,acbd,bc=1,ad=aa1=3.(1)证明:acb1d;(2)求直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值.b组20122014年高考提升题组1.(2012浙江,10,5分)已知矩形abcd,ab=1,bc=,将abd沿矩形的对角线bd所在的直线进行翻折,在翻折过程中,()a.存在某个位置,使得直线ac与直线bd垂直b.存在某个位置,使得直线ab与直线cd垂直c.存在某个位置,使得直线ad与直线bc垂直d.对任意位置,三对直线“ac与bd”,“ab与cd”,“ad与bc”均不垂直2.(2013北京,14,5分)如图,在棱长为2的正方体abcd-a1b1c1d1中,e为bc的中点,点p在线段d1e上.点p到直线cc1的距离的最小值为.3.(2012大纲全国,16,5分)三棱柱abc-a1b1c1中,底面边长和侧棱长都相等,baa1=caa1=60,则异面直线ab1与bc1所成角的余弦值为.4.(2014辽宁,19,12分)如图,abc和bcd所在平面互相垂直,且ab=bc=bd=2,abc=dbc=120,e,f分别为ac,dc的中点.(1)求证:efbc;(2)求二面角e-bf-c的正弦值.5.(2013天津,17,13分)如图,四棱柱abcd-a1b1c1d1中,侧棱a1a底面abcd,abdc,abad,ad=cd=1,aa1=ab=2,e为棱aa1的中点.(1)证明b1c1ce;(2)求二面角b1-ce-c1的正弦值;(3)设点m在线段c1e上,且直线am与平面add1a1所成角的正弦值为,求线段am的长.6.(2013安徽,19,13分)如图,圆锥顶点为p,底面圆心为o,其母线与底面所成的角为22.5,ab和cd是底面圆o上的两条平行的弦,轴op与平面pcd所成的角为60.(1)证明:平面pab与平面pcd的交线平行于底面;(2)求coscod.a组20122014年高考基础题组1.d由l1l2,l2l3可知l1与l3的位置不确定,若l1l3,则结合l3l4,得l1l4,所以排除选项b、c,若l1l3,则结合l3l4,知l1与l4可能不垂直,所以排除选项a.故选d.2.b由正方体的性质易求得sinc1oa1=,sincoa1=,注意到c1oa1是锐角,coa1是钝角,且.故sin 的取值范围是.3.c解法一:取bc的中点q,连结qn,aq,易知bmqn,则anq即为所求,设bc=ca=cc1=2,则aq=,an=,qn=,cosanq=,故选c.解法二:以c1为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设bc=ca=cc1=2,则a(2,0,2),n(1,0,0),m(1,1,0),b(0,2,2),=(-1,0,-2),=(1,-1,-2),cos=,故选c.4.解析(1)证明:由该四面体的三视图可知,bddc,bdad,addc,bd=dc=2,ad=1.由于bc平面efgh,平面efgh平面bdc=fg,平面efgh平面abc=eh,bcfg,bceh,fgeh.同理efad,hgad,efhg,四边形efgh是平行四边形.又addc,adbd,ad平面bdc,adbc,effg,四边形efgh是矩形.(2)解法一:如图,以d为坐标原点建立空间直角坐标系,则d(0,0,0),a(0,0,1),b(2,0,0),c(0,2,0),=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,0,1).设平面efgh的法向量n=(x,y,z),efad,fgbc,n=0,n=0,得取n=(1,1,0),sin =|cos|=.解法二:如图,以d为坐标原点建立空间直角坐标系,则d(0,0,0),a(0,0,1),b(2,0,0),c(0,2,0),e是ab的中点,f,g分别为bd,dc的中点,得e,f(1,0,0),g(0,1,0).=,=(-1,1,0),=(-2,0,1).设平面efgh的法向量n=(x,y,z),则n=0,n=0,得取n=(1,1,0),sin =|cos|=.5.证明(1)因为as=ab,afsb,垂足为f,所以f是sb的中点.又因为e是sa的中点,所以efab.因为ef平面abc,ab平面abc,所以ef平面abc.同理eg平面abc.又efeg=e,所以平面efg平面abc.(2)因为平面sab平面sbc,且交线为sb,又af平面sab,afsb,所以af平面sbc,因为bc平面sbc,所以afbc.又因为abbc,afab=a,af,ab平面sab,所以bc平面sab.因为sa平面sab,所以bcsa.6.解析(1)证明:如图,连结ac.由ab=4,bc=3,abc=90,得ac=5.又ad=5,e是cd的中点,所以cdae.因为pa平面abcd,cd平面abcd,所以pacd.而pa,ae是平面pae内的两条相交直线,所以cd平面pae.(2)过点b作bgcd,分别与ae,ad相交于点f,g,连结pf.由(1)cd平面pae知,bg平面pae.于是bpf为直线pb与平面pae所成的角,且bgae.由pa平面abcd知,pba为直线pb与平面abcd所成的角.由题意pba=bpf,因为sinpba=,sinbpf=,所以pa=bf,由dab=abc=90知,adbc,又bgcd,所以四边形bcdg是平行四边形,故gd=bc=3,于是ag=2.在rtbag中,ab=4,ag=2,bgaf,所以bg=2,bf=.于是pa=bf=.又梯形abcd的面积为s=(5+3)4=16,所以四棱锥p-abcd的体积为v=spa=16=.7.解析(1)证明:如图,因为bb1平面abcd,ac平面abcd,所以acbb1.又acbd,所以ac平面bb1d,而b1d平面bb1d,所以acb1d.(2)因为b1c1ad,所以直线b1c1与平面acd1所成的角等于直线ad与平面acd1所成的角(记为).连结a1d.因为棱柱abcd-a1b1c1d1是直棱柱,且b1a1d1=bad=90,所以a1b1平面add1a1,从而a1b1ad1.又ad=aa1=3,所以四边形add1a1是正方形,于是a1dad1.故ad1平面a1b1d,于是ad1b1d.由(1)知,acb1d,所以b1d平面acd1,故adb1=90-.在直角梯形abcd中,因为acbd,所以bac=adb.从而rtabcrtdab,故=,即ab=.连结ab1.易知ab1d是直角三角形,且b1d2=b+bd2=b+ab2+ad2=21,即b1d=.在rtab1d中,cosadb1=,即cos(90-)=.从而sin =.即直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值为.b组20122014年高考提升题组1.b若存在某个位置,使得acbd,作aebd于e,则bd平面aec,所以bdec,在abd中,ab2=bebd,be=,而在bcd中,bc2=bebd,be=,两者矛盾.故a错误.若存在某个位置,使得abcd,又因为abad,则ab平面acd,所以abac,即ac=1,故b正确,d错误.若存在某个位置,使得adbc,又因为adab,则ad平面abc,所以adac,而斜边cd小于直角边ad,矛盾,故c错误.2.答案解析过e作ee1cc1交b1c1于点e1,则ee1面a1b1c1d1,垂足为e1,连结d1e1,过p作phee1交d1e1于点h,则ph面a1b1c1d1,连结c1h,则cc1c1h,且phcc1,所以c1h为点p到线段cc1的距离.因为点p在线段d1e上运动,所以当c1hd1e1时,c1h取得最小值,即点p到直线cc1的最小距离为.3.答案解析由baa1=caa1=60可得四边形bcc1b1为正方形.把底面abc补成菱形abcd、把底面a1b1c1补成菱形a1b1c1d1,即把三棱柱补成平行六面体abcd-a1b1c1d1,则b1ad1为异面直线ab1与bc1所成的角.不妨设棱长为2,则ad1=bc1=2,ab1=b1d1=2,由余弦定理可得cosb1ad1=.4.解析(1)证法一:过e作eobc,垂足为o,连of.图1由abcdbc可证出eocfoc.所以eoc=foc=,即fobc.又eobc,因此bc面efo.又ef面efo,所以efbc.证法二:以b为坐标原点,在平面dbc内过b且垂直bc的直线为x轴,bc所在直线为y轴,在平面abc内过b且垂直bc的直线为z轴,建立如图2所示空间直角坐标系,易得b(0,0,0),a(0,-1,),d(,-1,0),c(0,2,0),因而e,f,所以,=,=(0,2,0),因此=0.从而,所以efbc.图2(2)解法一:在图1中,过o作ogbf,垂足为g,连eg.由平面abc平面bdc,从而eo面bdc,又ogbf,由三垂线定理知egbf.因此ego为二面角e-bf-c的平面角.在eoc中,eo=ec=bccos 30=,由bgobfc知,og=fc=,因此tanego=2,从而sinego=,即二面角e-bf-c的正弦值为.解法二:在图2中,平面bfc的一个法向量为n1=(0,0,1).设平面bef的法向量为n2=(x,y,z),又=,=,由得其中一个n2=(1,-,1).设二面角e-bf-c的大小为,且由题意知为锐角,则cos =|cos|=,因此sin =,即所求二面角的正弦值为.5.解析(1)证明:因为侧棱cc1底面a1b1c1d1,b1c1平面a1b1c1d1,所以cc1b1c1.经计算可得b1e=,b1c1=,ec1=,从而b1e2=b1+e,所以在b1ec1中,b1c1c1e,又cc1,c1e平面cc1e,cc1c1e=c1,所以b1c1平面cc1e,又ce平面cc1e,故b1c1ce.(2)过b1作b1gce于点g,连结c1g.由(1),b1c1ce,故ce平面b1c1g,得cec1g,所以b1gc1为二面角b1-ce-c1的平面角.在cc1e中,由ce=c1e=,cc1=2,可得c1g=.在rtb1c1g中,b1g=,所以sinb1gc1=,即二面角b1-ce-c1的正弦值为.(3)连结d1e,过点m作mhed1于点h,可得mh平面add1a1,连结ah,am,则mah为直线am与平面add1a1所成的角.设am=x,从而在rtahm中,有mh=x,ah=x.在rtc1d1e中,c1d1=1,ed1=,得eh=mh=x.在aeh中,aeh=135,ae=1,由ah2=ae2+eh2-2aeehcos 135,得x2=1+x2+x,整理得5x2-2x-6=0,解得x=.所以线段am的长为.6.解析(1)证明:设面pab与面pcd的交线为l.因为abcd,ab不在面pcd内,所以ab面pcd.又因为ab面pab,面pab与面pcd的交线为l,所以abl.由直线ab在底面上而l在底面外可知,l与底面平行.(2)设cd的中点为f.连结of,pf.由圆