湖南省株洲二中高三数学七模试题 文（含解析）新人教A版.doc

2015年湖南省株洲二中高考数学七模试卷（文科） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1（5分）若复数（i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a等于（） a 1 b 1 c d 【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出【解析】： 解：复数=的实部与虚部相等，解得a=1故选：b【点评】： 本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，属于基础题2（5分） “m=1”是“直线mx+（2m1）y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的（） a 充分而不必要条件 b 必要而不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 直线与圆【分析】： 由题设条件，可分两步研究本题，先探究m=0时直线mx+（2m1）y+2=0与直线3x+my+3=0互相垂直是否成立，再探究直线mx+（2m1）y+2=0与直线3x+my+3=0互相垂直时m的可能取值，再依据充分条件必要条件做出判断，得出答案【解析】： 解：若两直线垂直，则当m=0时，两直线为y=2与x=1，此时两直线垂直当2m1=0，即m=时，两直线为x=4与3x+y+3=0，此时两直线相交不垂直当m0且m时，两直线的斜截式方程为y=x与y=两直线的斜率为与，所以由得m=1，所以m=1是两直线垂直的充分不必要条件，故选a【点评】： 本题考查充分条件必要条件的判断及两直线垂直的条件，解题的关键是理解充分条件与必要条件的定义及两直线垂直的条件，本题的难点是由两直线垂直得出参数m的取值，此处也是一易错点，易忘记验证斜率不存在的情况，导致判断失误3（5分）已知x，y如下表所示，若x和y线性相关，x 1 2 3 4 5y 2.9 3.7 4.5 5.3 6.1且线性回归直线方程是，则b=（） a 0.7 b 0.8 c 0.9 d 1【考点】： 线性回归方程【专题】： 计算题；概率与统计【分析】： 根据所给的数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到b的值【解析】： 解：根据所给的数据，得到=3，=4.5，这组数据的样本中心点是（3，4.5）线性回归直线的方程一定过样本中心点，4.5=3b+2.4，b=0.7，故选：a【点评】： 本题考查线性回归方程，考查数据的样本中心点，考查样本中心点和线性回归直线的关系，本题是一个基础题4（5分） 某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积是（） a b c 2 d 2【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 常规题型【分析】： 由三视图还原可知，这是一个正三棱柱，然后用体积公式求解【解析】： 解：这是一个正三棱柱，则v=故选：b【点评】： 本题考查了三视图的基本认识，要注意量之间的关系和三个图间的相等关系；属于基础题5（5分） 函数f（x）=x+sinx（xr）（） a 是偶函数且为减函数 b 是偶函数且为增函数 c 是奇函数且为减函数 d 是奇函数且为增函数【考点】： 利用导数研究函数的单调性【专题】： 函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】： 根据函数奇偶性的定义，以及导数和函数单调性的关系即可得到结论【解析】： 解：f（x）=x+sinx，f（x）=xsinx=f（x），则函数f（x）是奇函数函数的导数f（x）=1+cosx0，则函数f（x）单调递增，为增函数故选：d【点评】： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用导数和单调性之间的关系是解决本题的关键6（5分） 已知单位向量的夹角为，在abc中，d是边bc的中点，则等于（） a 12 b c 4 d 2【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 计算题；平面向量及应用【分析】： 由向量的数量积的定义和性质可得，|，|和，再由中点的向量表示可得=（+），再由向量的平方即为模的平方，代入计算即可得到【解析】： 解：由=11cos=，|2=（2+）2=4+4=4+1+4=7，则|=，|2=（25）2=4+2520=4+2520=19，即有|=，又=（2+）（25）=458=458=5，由于d是边bc的中点，则=（+），|2=（+2）=（7+1925）=4，即|=2故选d【点评】： 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题7（5分） 已知双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线均和圆c：x2+y26x+5=0相切，则该双曲线离心率等于（） a b c d 【考点】： 圆与圆锥曲线的综合【专题】： 综合题【分析】： 先将圆的方程化为标准方程，再根据双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线均和圆c：x2+y26x+5=0相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可建立几何量之间的关系，从而可求双曲线离心率【解析】： 解：双曲线=1（a0，b0）的渐近线方程为y=，即bxay=0圆c：x2+y26x+5=0化为标准方程（x3）2+y2=4c（3，0），半径为2双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线均和圆c：x2+y26x+5=0相切9b2=4b2+4a25b2=4a2b2=c2a25（c2a2）=4a29a2=5c2=双曲线离心率等于故选：a【点评】： 本题以双曲线方程与圆的方程为载体，考查直线与圆相切，考查双曲线的几何性质，解题的关键是利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径8（5分） 已知定义在r上的函数f（x）满足（x+2）f（x）0，设，c=f（ln3），则a，b，c的大小关系为（） a abc b cba c cab d acb【考点】： 利用导数研究函数的单调性；导数的运算【专题】： 导数的概念及应用【分析】： 先确定函数的自变量的范围和大小关系，再根据导数的符号确定函数的单调性，进一步进行判定函数值的大小即可【解析】： 解：2=101ln3而（x+2）f（x）0，若x+20时，则f（x）0所以函数f（x）在（2，+）上是单调减函数，f（ln3）f（）f（），cba，故选：b【点评】： 本题主要考查了函数的单调性与导数的关系、对数值大小的比较等基础知识，考查运算求解能力属于基础题9（5分） 已知abc的内角a，c满足=cos（a+c），则tanc的最大值为（） a b c d 【考点】： 正弦定理；两角和与差的余弦函数【专题】： 计算题；解三角形【分析】： 由已知可得sinc=sin（a+b）=sinacosb+cosasinb=sinacosb，从而化简得tanb=2tana，由tanc=tan（a+b）=，根据不等式，即可解得tanc的最大值【解析】： 解：由=cos（a+c）=cosb，所以：sinc=sin（a+b）=sinacosb+cosasinb=sinacosb，所以：cosasinb=2sinacosb，所以：tanb=2tana，因为：tanc=tan（a+b）=，因为，所以tanc所以最大值是故选：d【点评】： 本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式、正弦函数公式、正切函数公式的应用，考查了基本不等式的应用，属于基本知识的考查10（5分） 已知函数f（x）=和函数，若存在x1，x20，1使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（） a （0，1 b 1，2 c （0，2 d 2，+）【考点】： 分段函数的应用【专题】： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】： 分别确定f（x），g（x）的范围，利用存在x1，x20，1，使得f（x1）=g（x2）成立，建立不等式组，即可求得实数a的取值范围【解析】： 解：当x0，时，f（x）=x0，当x（，1时，f（x）=3x23x+1=3（x）2+（，1，则当x0，1时，f（x）的值域为0，1；又当x0，1时，x+，有0cos（x+），因a0，有1ag（x）1，若存在x1，x20，1使得f（x1）=g（x2），则有解得，即为1a2故选b【点评】： 本题考查函数最值的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定f（x），g（x）的范围是关键二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11（5分） 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值为0；【考点】： 程序框图【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的s，i的值，当i=5时，满足条件i4，退出循环，输出s的值为0【解析】： 解：模拟执行程序，可得s=1，i=1s=3，i=2，不满足条件i4，s=4，i=3不满足条件i4，s=1，i=4不满足条件i4，s=0，i=5满足条件i4，退出循环，输出s的值为0故答案为：0【点评】： 本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的s，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查12（5分） 已知曲线与y轴的交点为a，则曲线在点a处切线的倾斜角大小为【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】： 计算题；导数的概念及应用；直线与圆【分析】： 求出a的坐标，求出函数的导数，可得曲线在x=0处的切线斜率，再由斜率公式，计算即可得到【解析】： 解：曲线与y轴的交点为a（0，2），的导数为y=，则曲线在x=0处的切线斜率为=1即tan=1，由于倾斜角的范围为0，），则曲线在点a处切线的倾斜角大小为故答案为：【点评】： 本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，主要考查直线的倾斜角的求法，正确求出导数是解题的关键13（5分） 已知直线与圆，那么圆o上的点到直线的距离的最小值为【考点】： 参数方程化成普通方程【专题】： 坐标系和参数方程【分析】： 首先，将给定的直线和圆的参数方程化为普通方程，然后根据圆心到直线的距离，然后，结合距离和半径的和差求解其距离的最小值【解析】： 解：根据直线，得2xy+5=0，根据圆，得x2+y2=1，圆o的圆心到直线的距离为：d=，圆o上的点到直线的距离的最小值故答案为：【点评】： 本题重点考查了直线和圆的参数方程和普通方程的互化，点到直线的距离等知识，属于中档题14（5分） 若在不等式组所确定的平面区域内任取一点p（x，y），则点p的坐标满足x2+y22的概率是【考点】： 几何概型【专题】： 概率与统计【分析】： 组成不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式即可得到结论【解析】： 解：不等式组对应的平面区域为三角形oab对应的面积为，x2+y22表示的区域为半径为的圆在三角形oab内部的部分，对应的面积为，根据几何概型的概率公式，得到所求对应概率公式为故答案为：【点评】： 本题主要考查几何概型的概率公式，利用二元一次不等式组表示平面区域求出对应的面积是解决本题的关键15（5分） 定义函数f（x）=m*x，其中（1）若，函数y=f（x）a在区间1，2内存在零点，则实数a的取值范围是，1；（2）设，则m，n的大小关系是mn【考点】： 函数零点的判定定理【专题】： 函数的性质及应用【分析】： （1）直接根据所给的函数进行处理，结合指数函数的图象进行求解，（2）则结合基本不等式求解【解析】： 解：（1）因为，令函数y=f（x）a=0，得到f（x）=a，x1，2，f（x），1，a，1（2），当a，b0时，m=n，当a，b0时，mn，故mn故答案为：（1），1；（2）mn【点评】： 本题重点考查了指数函数的图象与性质、基本不等式等知识属于中档题三、简答题（本大题共6小题，共75分，简答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（12分） 已知数列an的前n项和为sn=2n1，nn*（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn=，试求数列bn的前n项和tn【考点】： 数列的求和；数列递推式【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （1）由于数列an的前n项和为sn=2n1，nn*利用“当n2时，an=snsn1，当n=1时，a1=s1”即可得出2）bn=，利用“裂项求和”即可得出【解析】： 解：（1）数列an的前n项和为sn=2n1，nn*当n2时，an=snsn1=（2n1）（2n11）=2n1当n=1时，a1=s1=21=1，上式也满足an=2n1（2）bn=，则数列bn的前n项和tn=+=1=【点评】： 本题考查了递推式的应用、对数的运算性质、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17（12分） 如图所示，已知直角梯形acde所在的平面垂直于平面abc，bac=acd=90，ab=ac=ae=2ed=2a，f是bc的中点（1）求证：df平面eab；（2）设动点p从f出发，沿棱bc，cd按照fcd的线路运动到点d，求这一运动过程中形成的三棱锥peab体积的最小值【考点】： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】： 空间位置关系与距离；空间角【分析】： （1）取ab的中点n，连接df、nf、en，则fnac，nf=ac，取ac的中点m，连接em、ec，由已知得四边形emcd为矩形，四边形enfd是平行四边形，由此能证明df平面eab（2）当p在cd上时，vpeab=vepab=，当p在fc上时，vpeab=vepab=由此能求出三棱锥peab体积的最小值【解析】： （1）证明：取ab的中点n，连接df、nf、en，则fnac，nf=ac，取ac的中点m，连接em、ec，ae=ac且eac=60，eac是正三角形，emac四边形emcd为矩形，ed=mc=ac又edac，ednf且ed=nf，四边形enfd是平行四边形dfen，而en平面eab，df平面eab，df平面eab（2）解：过b作ac的平行线l，过c作l的垂线交l于g，连接dg，edac，edl，l是平面ebd与平面abc所成二面角的棱平面eac平面abc，dcac，dc平面abc，又l平面abc，l平面dgc，ldg，当p在cd上时，vpeab=vepab=，当p在fc上时，vpeab=vepab=三棱锥peab体积的最小值为【点评】： 本题考查直线与平面的平行、线面所成角、探索性问题等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题18（12分） 某学习小组共9人，在如图所示的方格中选择一个座位，根据以往的学习经验，学习互助伙伴越多，学习成绩越好（互助伙伴指两个学生座位是前后或左右关系且相邻），每个学生期末成绩x与互助伙伴数n之间的关系如下表所示：n 2 3 4x 85 90 95（1）完成下表，并求出该小组期末考试成绩的平均值；x 85 90 95频数 （2）若规定当期末成绩x90考核为优秀组员，现从优秀组员中任意选取2人，则这2人不是互助伙伴的概率是多少？【考点】： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表【专题】： 概率与统计【分析】： （1）由题意，可知互助伙伴数为2的有4人，互助伙伴数为3的有4人，互助伙伴数为4的有1人，列表即可，并根据平均数的定义求出平均数；（2）一一列举出，现从优秀组员中任意选取2人，共10种基本事件，其中满足条件的有4种，根据概率公式计算即可【解析】： 解：（1）座位如图所示： 由题意和座位表可知互助伙伴数为2的有4人，互助伙伴数为3的有4人，互助伙伴数为4的有1人，表格如下，x 85 90 95频数 4 4 1=（854+904+95）88.3分，（2）规定当期末成绩x90考核为优秀组员共5人，现从优秀组员中任意选取2人，共有10种，分别如下，其中不是互助伙伴的有，4种，故这2人不是互助伙伴的概率p=【点评】： 本题考查了平均数的定义以及频数分布表们以及古典概型概率问题，属于基础题19（13分） 如图，某市准备在道路ef的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段fbc，该曲线段是函数（a0，0），x4，0时的图象，且图象的最高点为b（1，2）赛道的中间部分为长千米的直线跑道cd，且cdef赛道的后一部分是以o为圆心的一段圆弧（1）求的值和doe的大小；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ode区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路ef上，一个顶点在半径od上，另外一个顶点p在圆弧上，且poe=，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值【考点】： 已知三角函数模型的应用问题；三角函数的最值【专题】： 计算题【分析】： （1）依题意，得a=2，根据周期公式t=可得，把b的坐标代入结合已知可得，从而可求doe的大小；（2）由（1）可知od=op，矩形草坪的面积s关于的函数，有，结合正弦函数的性质可求s取得最大值【解析】： 解：（1）由条件，得a=2，（2分），（4分）曲线段fbc的解析式为当x=0时，又cd=，（7分）（2）由（1），可知又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点p在弧de上，故（8分）设poe=，“矩形草坪”的面积为=（13分），故取得最大值（15分）【点评】： 本题主要考查了在实际问题中，由y=asin（x+）的部分图象确定函数的解析式，一般步骤是：由函数的最值确定a的值，由函数所过的特殊点确定周期t，利用周期公式求，再把函数所给的点（一般用最值点）的坐标代入求，从而求出函数的解析式；还考查了实际问题中的最值的求解关键是要把实际问题转化为数学问题来求解20（13分） 已知椭圆c：=1（ab0）上任意一点到两个焦点的距离之和为4，且离心率为（1）求椭圆c的方程；（2）设椭圆的右焦点为f，是否存在直线l，使得直线l与椭圆c相交于a，b两点，满足两个条件：线段ab的中点p在直线x+2y=0上；fab的面积有最大值如果存在，请求出面积的最大值；如果不存在，请说明理由【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （1）通过椭圆c：=1（ab0）上任意一点到两个焦点的距离之和为4，即得a=2，再利用离心率及a2b2=c2，计算可得椭圆c的方程；（2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时，直线l：y=kx+m与椭圆联立，利用线段ab中点在直线x+2y=0上求得k的值，求出|ab|，及点f（，0）到直线ab的距离d=，表示出三角形的面积，利用求导数的方法，即可确定fab的面积的最大值【解析】： 解：（1）椭圆c：=1（ab0）上任意一点到两个焦点的距离之和为4，2a=4，即a=2，离心率为，又a2b2=c2，a2=4，b2=2，椭圆c的方程为：；（2）结论：存在满足条件的直线l：y=x+，sfab最大为理由如下：由（1）知f（，0），分两种情况讨论：当直线l的斜率不存在时，此时方程为：x=t，又线段ab的中点p在直线x+2y=0上，直线l：x=0，此时a（0，），b（0，），此时sfab=2；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，a（x1，y1），b（x2，y2），p（x0，y0），联立直线l与椭圆方程，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m24=0，=16k2m24（1+2k2）（2m22）=8（6m2）0，由韦达定理，得x0=，y0=kx0+m=，线段ab的中点p在直线x+2y=0上，k=1，|ab|=，又点f（，0）到直线ab的距离d=，sfab= （，m0），设u（m）= （，m0），则令u（m）=0，可得m=或m=或m=，（）当m时，u（m）0；（）当m时，u（m）0；（）当m时，u（m）0；（）当m时，u（m）0；又u（）=，u（