第16章 数的开方.doc

第16章 数的开方216.1 平方根与立方根21. 平方根22. 立方根4阅读材料7蚂蚁和大象一样重吗716.2 二次根式71.二次根式的概念72.二次根式的乘除法93.二次根式的加减法1116.3实数与数轴13阅读材料15为什么说不是有理数15的算法16小结17复习题17 第16章 数的开方要剪出一块面积为25 cm2的正文形纸片，纸片的边长应是多少？正方形面积为25 cm2，边长是多少？( ？)2=2516.1 平方根与立方根1. 平方根本章导图中提出的问题，就是已知正方形的面积为25 cm2，求这个正方形的边长容易知道，这个正方形的边长是5 cm这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25概 括如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（square root）在上述问题中，因为5225，所以5是25的一个平方根又因为（5）25225，所以5也是25的一个平方根这就是说，25的平方根有两个： 5与5根据平方根的意义，我们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根例1 求100的平方根解 因为102100，（10）2100，除了10和10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和10，也可以说，100的平方根是10试一试（1） 144的平方根是什么？（2） 0的平方根是什么？（3） 的平方根是什么？（4） 4有没有平方根？为什么？ 请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答概 括一个正数如果有平方根*，那么必定有两个，它们互为相反数显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立即可以得到它的另一个平方根 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作,读作“根号a”；的另一个（负的）平方根是它的相反数，即因此正数a的平方根可以记作为a称为被开方数因为0的平方等于0，而其他任何数的平方都不等于0，所以，0的平方根只有一个，就是0通常也说0思 考负数有平方根吗？求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根在例1中，100的算术平方根是10，100的平方根是10例2将下列各数开平方：（1） 49；（2） 1.69解（1） 因为7249，所以7，因此49的平方根为7；（2）.在例1、例2中，我们是通过观察，利用开方与平方的关系来开平方的如果被开方数比较复杂，我们常用计算器直接得出一个正数的算术平方根（有时得到的是近似值）现在我们将使用左图所示的一种两行显示的计算器，它是按数学的书写顺序输入的，可以显示计算式子，并可修改已输入的计算式子键 AC/ON 是开机（清除）键，要关机，则按键 OFF 例3用计算器求下列各数的算术平方根： （1） 529； （2） 1 225； （3） 44.81分析用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可 解 （1） 在计算器上依次键入，显示结果为23，所以，529的算术平方根为23 （2） 在计算器上依次键入， 显示结果为，所以，1 225的算术平方根为 （3） 在计算器上依次键入，显示结果为，如果要求精确到0.01，那么 练 习1. 说出下列各数的平方根；（1）64；（2）0.25；（3）2.用计算器计算：（1）；（2）；（3）（精确到0.01）3.下列说法正确吗？如果不正确，那么请你写出正确答案.(1)0.09的平方根是0.3；(2)52. 立方根问 题现有一只体积为216 cm3的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？思 考这个实际问题，在数学上提出怎样的一个计算问题？从这里可以抽象出一个什么数学概念？概 括上面所提出的问题，实质上就是要找一个数，这个数的立方等于216.容易验证，63216，所以正方体的棱长应为6 cm如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（cube root）试一试（1） 27的立方根是什么？（2） 27的立方根是什么？（3） 0的立方根是什么？请你自己也编三道求立方根的题目，并给出解答概 括任何数（正数、负数或零）的立方根如果存在的话，必定只有一个数a的立方根，记作，读作“三次根号a”.a称为被开方数，3称为根指数求一个数的立方根的运算，叫做开立方例4求下列各数的立方根：(1); (2)-125; (3)-0.008 解（1） 因为()3= ，所以=（2） 因为（5）3125，所以=5（3）_，_.例5用计算器求下列各数的立方根：（1） 1 331； （2） 343； （3） 9.263分析 用计算器求一个有理数的立方根，只需要直接按书写顺序按键若被开方数为负数，“”号的输入可以按，也可以按 解 （1） 在计算器上依次键入，显示结果为11，所以 11 （2） 在计算器上依次键入，显示结果为7，所以 7 （3） 在计算器上依次键入显示结果为_，如果要求精确到0.01，那么 _练 习1. 求下列各数的平方根：（1）216；（2） -0.027；（3） 2. 用计算器计算 （1） ；（2） 习题16.11. 求下列各数的平方根：（1） ；（2） 0.36；（3） 3242. 求下列各数的立方根：（1）0.125；（2） ；（3） 1 3313. 用计算器计算（精确到0.01）（1） ；（2） 4.（1） 在哪两个整数之间？（2）3.13.2正确吗？（3）下列四个结论中，正确的是（） A. 3.153.16B. 3.163.17 C. 3.173.18D. 3.183.195. 在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一量筒量得被铁块排开的水的体积为40.5立方厘米，小华又将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了0.62厘米请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？（用计算器计算，结果精确到0.1厘米）阅读材料蚂蚁和大象一样重吗同学们一定听过蚂蚁和大象进行举重比赛的故事吧！蚂蚁能举起比它的体重重许多倍的火柴棒，而大象举起的却是比自己体重轻许多倍的一截圆木，结果蚂蚁获得了举重冠军！我们这里谈论的话题是：蚂蚁和大象一样重吗？我们知道，即使是最大的蚂蚁与最小的大象，它们的重量明显不是一个数量级的.但是下面的推导却让你大吃一惊：蚂蚁和大象一样重！设蚂蚁重量为x克，大象的重量为y克，它们的重量和为2a克，则x+y=2a两边同乘以（x-y），得(x+y)(x-y)=2a(x-y),即 x2-y2=2ax-2ay可变形为 x2-2ax=y2-2ay两边都上a2，得 (x-a)2=(y-a)2两边开平方，得x-a=y-a所以 x=y这里竟然得出了蚂蚁和大象一样重，岂不荒唐！那么毛病究竟出在哪里呢？亲爱的同学，你能找出来吗？16.2 二次根式1.二次根式的概念上一节我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号回 顾 当a是正数时，表示a的算术平方根，即正数a的两个平方根中的一个正数； 当a是零时，表示零，也叫零的算术平方根概 括 总之，（a0）表示非负数a的算术平方根也就是说，（a0）是一个非负数，它的平方等于a即有如下基本性质：（1）0（a0）；（2）（）2=a（a0）形如（a0）的式子叫做二次根式注 意在二次根式中，字母a必须满足a0，即被开方数必须是非负数例1要使式子有意义，字母x的取值必须满足什么条件？ 解 由x10，得 x1思 考 等于什么？我们不妨取a为2，（2），3，（3），计算对应的的值，有=2；=2；=3；=3；概 括当a0时，_；当a0时，_也就是说_练 习1 计算：（1）（）2； （2）（）2；（3）； （4）2 要使下列式子有意义，字母x的取值必须满足什么条件：（1）； （2）3（）2与是一样的吗？说说你的理由，并与同学交流.2.二次根式的乘除法试一试计算：（1）与；（2）与.思 考对于与一般地，有=(a0,b0)例2计算：（1）； （2） 解 (1) = (2) =4上面得到的等式= ，也可以写成= (a0,b0)利用它可以进行二次根式的化简例如： = = =例3化简：(1)； (2) 解 （1） =2 （2） =2=2a做一做 计算下列各式，并将所得的结果化简：（1）； （2）讨 论 两个二次根式相除，怎样进行呢？试参考前面的研究，和同伴讨论，提出你的见解概 括 一般地，有=_(a0,b0)例4 计算：（1）； （2）解 （1）=（2）=_ 例5化简： （要求分母不带根号） 解 =做一做化简：（1）； （2）练 习1 计算：（1）； （2）； （3）； （4）2 计算：3.二次根式的加减法试一试计算：（1）32； （2）32概 括 类似于整式中的同类项，像3和2、3和2 这样的两个二次根式，称为同类二次根式二次根式的加减，与整式的加减相类似，只须对同类二次根式进行合并 例6计算：3+23 解 3+23=（32）+（3）=2思 考 计算： + + 分 析 先将各二次根式化简： =2，=_， _ 可以发现，有些二次根式是同类二次根式，而有些不是将同类二次根式合并，就可以得到最后的结果 例7计算： （1）+； （2）+ 解 （1）+=+= （2）+=_练 习1 化简下列各组二次根式，看看它们是不是同类二次根式：（1）2与； （2）与32 计算：（1）3-+-4； （2）5-；（3）习题16.21. 要使下列式子有意义，字母x的取值必须满足什么条件？（1）； （2）2. 化简:（1）； （2） ；（3） .3. 计算：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）4. 火箭、人造卫星要冲破地球的万有引力的束缚，围绕地球旋转，它们的速度都必须超过一定的数值，这个速度我们称之为第一宇宙速度计算这一速度的公式是v，其中g为重力加速度，通常取9.8米/秒2，R为地球半径，约为6 370千米试计算第一宇宙速度（用计算器计算，结果用科学记数法表示，并保留两个有效数字） 你知道吗？打开计算黑盒如图所示，某计算装置有一数据入口A和一运算结果的出口B，下表是小颖输入一些数后所得的结果：这个计算装置中究竟是怎样进行计算的呢？若小颖输入的数为28，输出的结果应为多少？若小颖输入的数为x，你能用x表示输出结果吗？16.3实数与数轴做一做（1）用计算器求；（2）利用平方关系验算所得的结果.这里，我们用计算器求得1.414 213 562，而再用计算器计算1.414 213 562的平方，结果是1.999 999 999，并不是2，只是接近于2这就是说，我们求得的的值，只是一个近似值 用计算机计算，你可能会大吃一惊：=1.4142135623730950488016887242096980785696 71875376948073176679737990732478462107038 85038753432764157273501384623091229702492 48360558507372126441214970999358314132226 659275055927557999505011527820605715 在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说，不是一个有理数 那么，是怎样的数呢? 我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一个分数写成小数的形式，必是有限小数或者无限循环小数，例如，不是一个有理数，实际上，它是一个无限不循环小数类似地，、圆周率等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数.无限不循环小数叫做无理数（irrational number）例如、 、等都是无理数 有理数与无理数统称为实数（Real numbers）试一试 你能在数轴上找到表示的点吗？ 如图16.3.1，将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为 这就是说，边长为1的正方形的对角线长是利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示的点，如图16.3.2所示概 括 数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数数学上可以说明，数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示换句话说，实数与数轴上的点一一对应 正实数的大小比较和运算，通常可取它们的近似值来进行 在第2章学过的有关有理数的相反数和绝对值等概念、大小比较、运算法则以及运算律，对于实数也适用 例1试估计与的大小关系 分析用计算器求得3.146 264 37，而3.141 592 654，这样，容易判断： 例2计算：（结果精确到0.01） 解 用计算器求得 0.778 539 072，于是0.778 539 072，所以 1.570 796 3270.778 539 0720.792 257 2550.79 例3计算（1）（）（）； （2） 解 （1）（）（）=2-1=1 （2）=_练 习1. 判断下列说法是否正确：（1）两个数相除，如果不管添多少位小数，永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数（2）任意一个无理数的绝对值是正数.2.计算：.（结果保留两位小数）3.比较下列各组数中两个实数的大小：（1）; （2）4.计算：（1）；（3）.阅读材料为什么说不是有理数我们可以用以下简单的推理来说明不是一个有理数.显然，不是整数.我们再证明不是一个分数.假设是一个分数，设（p与q互质，且均为正整数），由的意义，可知2即有故q2=2p2请注意，2p2必定是一个偶数，因而q 2也一定是一个偶数，进而q一定是偶数.于是，可设 q2k（k是正整数）.由上式，得，从而，所以必定是偶数，于是p也是偶数，这与p、q互质矛盾.这个矛盾表明我们的假设“是一个分数”不成立，所以，既不是整数，也不是分数，也就是说，不是一个有理数.的算法你知道有多大吗？它所对应的点究竟在数轴上哪个位置呢？让我们一起来找找看吧.由于22532，可以肯定23，也就是的位置应该在2与3之间.能不能再靠近一点呢？再尝试一下，你会发现2.2252.3 2，那么的位置就在2.2与2.3之间了.按照这个方法，继续试下去，有2.23252.24 2，2.232.24，2. 236252.237 2，2.2362.237，你看，我们离越来越近了，依据这样的想法，表明在数轴上，确实有那么一点，它所代表的数值就是.下面我们用计算器来算算的近似值.记x1，代入，得，再将3代入上式，得，继续上述过程，得，数学上可以说明，计算步骤越多，得到的数值就越靠近.如果要求精确到0.001，那么就得到2.236.如果你有计算器的话，你不妨按照下面的按键顺序试试看，后面的键按得越多，数值就越精确，到一定时候，由于计算器位数的限制，出现的数值就不再发生变化了：照这样的算法，你能得到的近似值吗？小结一、 知识结构二、 注意事项1. 掌握平方根和算术平方根、立方根的意义是学习本章的关键.在研究时要抓住平方根（立方根）与平方（立方）之间的关系，例如，可以通过平方（立方）运算来寻求平方根（立方根），并可以用来