【优化探究】高考数学 38 正弦定理和余弦定理的应用提素能高效训练 新人教A版 理 (1).doc

【优化探究】2015高考数学 3-8 正弦定理和余弦定理的应用提素能高效训练 新人教a版 理 a组基础演练能力提升一、选择题1有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30，则坡底要延长()a5 mb10 mc10 m d10 m解析：如图，a点为坡顶，b点为原坡底设将坡底延长到b点时，倾斜角为30，在abb中，b30，bab753045，ab10 m，由正弦定理得bb10，故坡底延长10 m时，斜坡的倾斜角将变为30.答案：c2一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔p的南偏西75，距灯塔68海里的m处，下午2时到达这座灯塔的东南方向n处，则该船航行的速度为()a.海里/小时 b34海里/小时c.海里/小时 d34海里/小时解析：如图所示，在pmn中，pm68，pnm45，pmn15，故mpn120，由正弦定理可得，所以mn34 ，所以该船的航行速度为海里/小时答案：c3甲船在岛a的正南b处，以每小时4千米的速度向正北航行，ab10千米，同时乙船自岛a出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()a.分钟 b.小时c21.5分钟 d2.15小时解析：如图，设t小时后甲行驶到d处，则ad104t，乙行驶到c处，则ac6t.bac120，dc2ad2ac22adaccos 120(104t)2(6t)22(104t)6tcos 12028t220t100.当t时，dc2最小，dc最小，此时它们所航行的时间为60分钟答案：a4.(2014年泰安模拟)如图，设a，b两点在河的两岸，一测量者在a的同侧所在的河岸边选定一点c，测出ac的距离为50 m，acb45，cab105后，就可以计算出a，b两点间的距离为()a50 m b50 mc25 m d. m解析：由ac50(m)，acb45，cab105，所以cba30，在abc中，由正弦定理可得，即，所以ab50(m)，故选a.答案：a5地上画了一个角bda60，某人从角的顶点d出发，沿角的一边da行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达bda的另一边bd上的一点，我们将该点记为点n，则n与d之间的距离为()a14米b15米c16米d17米解析：如图，设dnx m，则142102x2210xcos 60，x210x960.(x16)(x6)0.x16或x6(舍)n与d之间的距离为16米答案：c6(2014年呼和浩特第二次统考)已知等腰三角形的面积为，顶角的正弦值是底角的正弦值的倍，则该三角形的一腰长为()a. b. c2 d.解析：设等腰三角形底角为，根据题意得sin(1802)sin ，化简得sin 22sin cos sin ，(0,180)，所以解得cos ，故30，即三角形顶角为120，设腰长为x，则x2sin 120x2，解得x.答案：a二、填空题7.如图，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬从a点出发沿正北方向行进x m到达b处发现生命迹象，然后向右转105，行进10 m到达c处发现另一生命迹象，这时它向右转135回到出发点，那么x_.解析：由题图知，abx，abc18010575，bca18013545.bc10，bac180754560，x.答案：8一船以每小时15 km的速度向东航行，船在a处看到一个灯塔m在北偏东60方向，行驶4 h后，船到b处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_km.解析：如图所示，依题意有ab15460，mab30，amb45，在amb中，由正弦定理得，解得bm30(km)答案：309一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点a测得水柱顶端的仰角为45，沿点a向北偏东30前进100 m到达点b，在b点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是_ m.解析：设水柱高度是h m，水柱底端为c，则在abc中，a60，ach，ab100，bch，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.答案：50三、解答题10如图，在某平原地区一条河的彼岸有一建筑物，现在需要测量其高度ab.由于雨季河宽水急不能涉水，只能在此岸测量现有的测量器材只有测角仪和皮尺现在选定了一条水平基线hg，使得h，g，b三点在同一条直线上请你设计一种测量方法测出建筑物的高度，并说明理由(测角仪的高为h)解析：如图，测出ace的度数，测出ade的度数，测量出hg的长度，即可计算出建筑物的高度ab.理由如下：设ace，ade，hgs.在adc中，由正弦定理得，所以ac.在直角三角形aec中，aeacsin .所以，建筑物的高abebaeh.11.如图，当甲船位于a处时获悉，在其正东方向相距20海里的b处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里的c处的乙船(1)求处于c处的乙船和遇险渔船间的距离；(2)设乙船沿直线cb方向前往b处救援，其方向向成角，求f(x)sin2sin xcos2cos x(xr)的值域解析：(1)连接bc，由余弦定理得bc220210222010cos 120700.bc10，即所求距离为10海里(2)，sin .是锐角，cos .f(x)sin2sin xcos2cos xsin xcos xsin，f(x)的值域为.12(能力提升)a，b，c是一条直线上的三个点，abbc1 km，从这三点分别遥望一座电视塔p，a处看塔，塔在东北方向，b处看塔，塔在正东方向，c处看塔，塔在南偏东60方向求塔到直线ac的距离解析：如图，过a点作东西方向的一条直线l，过c，b，p分别作cml，bnl，pql，垂足分别为m，n，q.设bnx，则pqx，pax.abbc，cm2bn2x.由正弦定理得，.又bcba，且cbpabp180，.pcx2x.在pac中，根据余弦定理知ac2pa2pc22papccos 75，即42x24x24x2，解得x2.过p作pdac，垂足为d，则线段pd的长即为塔到直线ac的距离在pac中，由acpdpapcsin 75，得pd，塔到直线ac的距离为 km.b组因材施教备选练习(2014年青岛调研)某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，设计一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示为充分利用现有材料，边bc，cd用一根长为5米的材料弯折而成，边ba，ad用一根长为9米的材料弯折而成，要求a和c互补，且abbc.(1)设abx米，cos af(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；(2)求四边形abcd面积的最大值解析：(1)在abd中，由余弦定理得bd2ab2ad22abadcos a.同理，在cbd中，bd2cb2cd22cbcdcos c.a和c互补，cos ccos a，ab2ad22abadcos acb2cd22cbcdcos a.即x2(9x)22x(9x)cos ax2(5x)22x(5x)cos a，解得cos a，又5x0,9x0，且cos a1，x(2,5)，即f(x)，其中x(2,5)(2)四边形abcd的面积为ssabdscbd(abadcbcd)sin ax(9x)x(5x)x(7x) .记g(x)(x24)(x214x49)，x(2,5)g(x)2x (