三角函数是中学数学重要内容.doc

三角函数是高中数学教学内容的一个重要部分,此内容既有先前函数知识的延伸,又有三角知识的扩展,无论是教师的教,还是学生的学,都有难度。不同的数学教材对三角函数的概念有不同的描述和要求,有的使用终边定义法,有的使用单位圆定义法,这种差异已经在教师中产生一些争论,那么这种差异会对学生的学习产生什么影响呢,是我们需要研究的问题。基于以上现实,本文主要阐述的研究问题是：(1)学生是怎样理解三角函数的,学生能否运用他们对三角函数的理解来解释三角函数的性质；(2)用单位圆定义三角函数,是否更有助于学生对三角函数的理解；(3)学生对三角函数的理解与历史上数学家对三角函数的理解是否具有历史相似性；(4)学生在解决三角函数问题时会出现哪些类型的错误。本研究分别以浙江台州中学和青浦高级中学的高一和高三学生共238人为样本,采用测试法和访谈法进行调查研究。研究发现：(1)学生普遍不理解三角函数的概念,不清楚三角函数的对应关系,但是学生能够利用三角函数的图像解决一些简单问题,得到三角函数的某些性质。(2)单位圆定义法更有助于学生对三角函数概念的理解。(3)学生对三角函数概念的认识与历史上数学家对此的认识不具有历史相似性。(4)学生对三角函数概念理解方面的错误归纳为八个类型,对三角函数性质理解方面的错误归纳为八个类型,对三角函数线理解的错误主要有四个类型。(5)不同学校和年级的学生对三角函数概念的理解差异明显。摘要三角函数是高中数学教学内容的一个重要部分，此内容既有先前函数知识的延伸，又有三角知识的扩展，无论是教师的教，还是学生的学，都有难度。不同的数学教材对三角函数的概念有不同的描述和要求，有的使用终边定义法，有的使用单位圆定义法，这种差异已经在教师中产生一些争论，那么这种差异会对学生的学习产生什么影响呢，是我们需要研究的问题。基于以上现实，本文主要阐述的研究问题是:(1)学生是怎样理解三角函数的，学生能否运用他们对三角函数的理解来解释三角函数的性质;(2)用单位圆定义三角函数，是否更有助于学生对三角函数的理解;(3)学生对三角函数的理解与历史上数学家对三角函数的理解是否具有历史相似性;(4)学生在解决三角函数问题时会出现哪些类型的错误。三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中。本文叙述了任意角的概念、任意角的三角函数概念以及同角三角函数的基本关系式、正弦和余弦的诱导公式三角函数是中学数学重要内容之一.但是由于内容繁杂,公式多且性质灵活,在解题中如何把握好变换的方向,有目的地进行三角恒等变换是学好三角的关键.解题时稍有不慎,就会忽视题中的隐含条件导致错解.本文列举几种常见的情况,以提高学生分析问题和解决问题的能力.本研究分别以浙江台州中学和青浦高级中学的高一和高三学生共238人为样本，采用测试法和访谈法进行调查研究。研究发现:(1)学生普遍不理解三角函数的概念，不清楚三角函数的对应关系，但是学生能够利用三角函数的图像解决一些简单问题，得到三角函数的某些性质。(2)单位圆定义法更有助于学生对三角函数概念的理解。(3)学生对三角函数概念的认识与历史上数学家对此的认识不具有历史相似性。(4)学生对三角函数概念理解方面的错误归纳为八个类型，对三角函数性质理解方面的错误归纳为八个类型，对三角函数线理解的错误主要有四个类型。(5)不同学校和年级的学生对三角函数概念的理解差异明显。21毛艳青2008.三角函数最值的几种解法.齐齐哈尔师范高等专科学校学报，5:15122倪敬标2009.任意角三角函数中的几个“陷阱”.中学生数理化高一版，4:12一1423聂勇文，张攀权2009.例谈导数法解三角问题.教育科研(数学教研)，4:6724潘图佳2009.三角函数解题中隐含信息的挖掘.黔南民族师范学院学报，3:91一9425齐相国2008.三角函数典型错误例析.中学生数学(高中)，349:6一8【26上海市教育委员会2004.上海市中小学数学课程标准(试行稿).上海教育出版社27上海市中小学(幼儿园)课程改革委员会2006.高级中学课本数学(高中一年级第二学期试用本).上海:上海教育出版社28J石瑛2009.九年级学生对锐角三角函数的认知.华东师范大学专业硕士学位论文291司友毓，翟志伟2008.任意角的三角函数问题分类解析.中学生数理化高一版，2:8一1030宋希辉2009.三角函数最值问题的几种基本型及解法.数理化学习(高中版)，一2一13【31苏文旭2009.三角函数线的应用.数学教学研究，7:42一4332谭晓勇2009.浅谈化“异”为“同”法在三角教学中的运用.实战案例交流平台，3:125一126【33王爱红2008.关于三角函数类高考试题的研究、预测及对策.数学教学科教文汇，4:83一8434汪晓勤，韩祥临2002.中学数学中的数学史.科学出版社.【35王秀芹20的.三角函数线在解题中的应用.中学生数学，371:10一936王雪婷2009.高中生对反三角函数的理解.华东师范大学学士学位论文37王新星2009.常见三角函数最值问题的求解策略.高一语数外数学，2:2638卫福山2009.三角函数解题中不可忽略隐含条件.数学教学，2:23一24【39吴卫阳2003.“三角函数线”在教学中的运用.安庆师范学院学报，3:116一118【5J陈汉裕2007.关于“任意角的三角函数的定义”的教学.科技信息教学研究，14:178一179【6高启存，万玉岱2007.任意角的三角函数.数学通讯，14:36一397J郭味纯，吕丹霞2004.三角函数线在解题中的应用.中学生数学，9:5一48高令乐2007.中美高中数学教材中三角函数内容的比较研究.华东师范大学专业硕士学位论文【9J何子尧2009.基于任意角的三角函数研究.太原城市职业技术学院学报，4:102一104L10胡慧敏2009.关于高一学生三角函数概念学习的研究.华东师范大学专业硕士学位论文【川胡慧敏2008.HPM角度下的弧度制概念教学.数学教学， 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2:140一141错误。(3)受到初中学习的锐角三角比(概念原型)的负迁移的影响，学生总是喜欢用直角三角形来解决问题。(4)容易忽略任意角的特点及三角函数的符号，不考虑三角函数周期性的性质。(5)学生比较重视三角函数的图像，却忽略了三角函数本身的性质，不理解三角函数的本质。学生能够利用三角函数的图像解决一些简单问题，得到三角函数的某些性质。比如，学生可以通过画图像得到三角函数的单调区间，可以通过图像得到对应的角及角的范围或是确定角的终边位置。5.1.2单位团定义法更有助于学生对三场备数机含的理哪通过本研究，可以看到，台州中学学生对三角函数的理解明显好于青浦高级中学学生。尤其是台州高三学生对单位圆的应用非常熟练，对三角函数的理解比较全面，相比之下，青浦高级中学高三学生对三角函数的理解就大相径庭了。比如从测试题各题的得分率上来看，除了第4、6、7题台州高一学生的得分率最低外，其他题目台州中学学生的得分率都高于青浦高级中学。测试题中凡是能用单位圆及三角函数线解决的题目，台州中学学生应用的比例都比青浦高级中学学生高出很多，而且台州中学学生的准确率也较高。相反，但凡能用“终边定义法”解决的题目，青浦高级中学学生应用的比例不但没有明显高于台州中学，甚至低于台州中学学生。这更说明“单位圆定义法”更有助于学生对三角函数的理解。可见，学生从“单位圆定义法”开始学习三角函数，并比较系统地学习三角函数线，把单位圆与三角函数密切联系起来，贯穿于三角函数学习过程的始终，这样的学习过程对学生更好地理解三角函数有决定性的帮助。另外，台州高三学生应用单位圆及三角函数线的情况好于高一学生，这说明“单位圆定义法”及三角函数线对学生的影响是比较深入的，学生不容易忘记。而且随着时间的推移，学生能够把单位圆和三角函数看作一个整体，提到单位圆就能想到三角函数，提到三角函数就能想到单位圆，学生应用单位圆的程度更高。在学习三角函数的过程中，引入“单位圆定义法”，充分重视三角函数线的教学，对学生理解三角函数有更好的促进作用。虽然台州中学学生与青浦高级中学学生相比，应用单位圆及三角函数线的比解题过程中用单位圆解决问题的能力还是有一定的局限性。不得不承认，学生对单位圆及三角函数线的掌握还是有一定的难度的，正如访谈中有些教师所担心的，学生要想把单位圆及三角函数线学好是需要花很多时间和精力的。但是，从测试效果看，为了学生更好地理解三角函数，在单位圆和三角函数线这里多花些时间和精力是值得的，可以起到事半功倍的作用。5.1.3学生对三角备数的认识不兵有厉史相似性在现实教学环境下，学生虽然知道三角函数线，但是学生并不认为三角函数是线。无论是在“单位圆定义法”还是在“终边定义法”的教学方式下，绝大多数学生认为三角函数是比值，不是线段。甚至有学生感觉这个问题有错误，“三角函数怎么会是线段呢?从来没有这种说法嘛!”可见，学生对三角函数的认识与历史上数学家对三角函数的认识不具有历史相似性。5.1.4学生在解决三活击救问翅时出现的错误类型学生在解决三角函数的相关问题时，会出现很多类型的错误，归纳如下:学生在三角函数概念的理解上主要有八类错误:(l)三角函数表达式错误;(2)三角函数的自变量和因变量颠倒;(3)用余弦定理、同角的平方关系等公式代替三角函数的定义;(4)对角的认识有局限;(5)把正弦和余弦函数混淆;(6)忽略三角比的符号;(7)混淆了终边定义法和单位圆定义法;(8)记错了终边定义法的公式。学生在三角函数性质的理解上主要有八类错误:(l)对性质尤其是单调性认识不清;(2)死记硬背的机械记忆，不辨别条件的变化;(3)不清楚弧度的意义;64性;(5)将正弦、余弦、正切函数的周期混淆一记错;(6)解决正切函数时，漏解情况突出;(7)不能准确画出三角函数的图像;(8)记不住特殊角的三角比的值。学生在三角函数线的理解上主要有四类错误:(l)对三角函数线的方向判断模糊;(2)对三角函数线的认识有局限;(3)不会恰当的应用三角函数线来解决问题;(4)不能准确判断三角函数线的位置。5.1.5不同学枚及年毅的学生对三角西获机杏的理解有显著性差井台州中学学生和青浦高中学生总得分的平均值存在显著性差异。台州中学学生对三角函数概念的理解比青浦高级中学学生更好。台州中学的高一学生和高三学生总得分的平均值存在显著性差异。台州高三学生的学习情况明显好于高一学生。5.2教学启示5.2.1教学过程中应注重初高中三角西数机含之间的关系对于三角函数概念的教学，首先要明确函数的对应关系，强调三角函数既有函数的共性，又有三角函数的特性。让学生理解并明确三角函数的自变量与函数_的对应关系。在讲三角函数时，教师要注意到三角函数本身是函数，就可以从函数的几个维度去考虑，比如定义域、值域、单调性、奇偶性、最值等。虽然它有那么多特别的地方，但它始终是可以从函数的角度去分析的。其次，三角函数具有其他函数所没有的特点:周期性。教师如何让学生对周期性有充分的认识，还要回到任意角的概念、单位圆、任意角的三角比等方面，使学生真正明白三角函数与众不同。此外，要做好讲三角函数的准备工作，在此之前的弧度制要讲透，让学生明确弧度的意义，为三角函数的教学扫除障碍。学生对三角函数的认识多半停留在初中阶段，很多学生习惯在直角三角形中考虑问题，这对三角函数的学习有很大的负迁移的作用，教师在教学过程中，要655.1研究结论根据前面的统计和分析，我们得到如下结论。5.1.1学生香连不理解三角备毅棍含从学生对余弦函数的认识可以看出，学生普遍不理解三角函数的概念。学生不清楚三角函数的对应关系，搞不清楚自变量和函数。学生对角的理解有困难，对角度制和弧度制的理解不准确，从而导致学生对三角函数自变量的理解的偏差。从初中到高中，学生学过的三角函数概念有三种:锐角三角函数、“单位圆定义法”、“终边定义法”。这三个概念之间的关系，有的学生搞不懂，把他们混为一谈。当提到三角函数的概念时，学生脑海中会跳出哪种概念呢?有的学生对初中的概念印象深刻，有的学生只一记住了“单位圆定义法”，还有的学生会把三种定义全都准确写出来等等。对于很多学生来说，这三种概念是独立的，不知道他们之间的内在关系，至于一个概念会有三种说法，学生们就更搞不清楚了。由于三角函数包括正弦、余弦等六个函数，各有不同的解析式、性质和图像，而其他函数只有一种形式，三角函数是学生所学函数中最特别的，所以学生搞不清楚这六个函数之间的关系。此外，三角部分还有解三角形的内容，所以很多学生把三角部分所学内容混为一谈，比如:有学生认为余弦定理是余弦函数;翎玄函数的对应关系是正弦函数等。学生只知道学过很多三角的相关内容，却不知道其中的联系和区别。学生对正切函数的理解最薄弱，学生对正弦、余弦函数的理解明显好于对正切函数的理解，在第9题(l)的测试中，238个被试中只有4人作对，可见学生对正切函数的理解存在很大的问题。学生在学习三角函数时受到诸多因素的影响，学习上存在很大困难。(l)对角度制、弧度制的理解有困难，无论在表述还是书写上都存在错误。(2)对三角角形只适合于锐角三角函数的相关问题的解决，而高中阶段所研究的角是任意角，要用任意角的三角函数来解决相关问题。此外，二者的起源各不相同，初中锐角三角函数源于解三角形和三角的相关计算，任意角的三角函数是由于研究圆周运动的需要而产生的。台州中学学生在说明三角函数值是比值的理由时，有34人是利用直角三角形来说明的，占39.08%。这个比例很高，教学中务必要把既往知识与现学知识的关系处理好，搞清楚他们之间的区别和联系，尽量避免概念原型负迁移的影响。三角函数章节内容很多，涉及到多方面的内容，但是贯穿始终的应该是三角函数的概念和性质。教学中要抓住三角函数的概念，教师讲透，学生学透，在整个内容的学习过程中不断提到、用到三角函数的概念，使学生巩固对其的理解和应用。比如在讲诱导公式时，可以再次巩固三角函数的定义，用定义来推导证明诱导公式。另外，台州中学高三学生对三角函数的概念、单位圆及三角函数线的理解和应用都要好于高一学生，这说明学生对三角函数这一复杂内容的理解不是一墩而就的，经过一段时间的沉淀和内化，学生对复杂问题的理解更深刻。所以，在教学中教师也要宽容一些，允许学生出现错误，给学生一些吸收、比较、内化的时间，让学生把知识慢慢理顺、慢慢掌握。5.2.2教学中引入“单位国定义法”，重视单位团及三角番数残的教学通过研究发现，“单位圆定义法”更有助于学生对三角函数的理解。教学中，可以用“单位圆定义法”作为三角函数的定义。高中所学的三角函数是在任意角的前提下研究的，三角函数有了显著的周期性的特征，与圆周运动有着密切的关系。比如，正弦、余弦函数就是一组起源于圆周运动、密切配合着的的周期函数，它们是解析几何学和周期函数的分析学中最为基本和重要的函数，而正弦、余弦函数的基本性质就是圆的对称性的几何性质的直接反映。所以，任意角的三角函数是圆的函数，那么从单位圆中定义三角函数就顺理成章了。初中锐角三角函数主要还是在三角形和三角的相关计算中体现出来。数的根本区别。学内容的混淆，那么，在单位圆中定义三角函数，这也是高中与初中所学三角函也可以避免学生对两个阶段所避免三角函数概念原型对现学内容的负迁移的影响。中的学习一直围绕单位圆，无论是诱导公式还是三角函数的图像性质，都可以通过单位圆和三角函数线来解释和解决。这样，学生对这一内容的学习就非常顺利。有的高中教材中，是用“终边定义法”给出任意角的三角比的，但是在后面还是要提到单位圆，还是要说三角函数线，教学过程中就感到很突兀，衔接有困难。那么，干脆从一开始就用单位圆，一直延续到最后，这样就很自然了。事实表明，“单位圆定义法”有助于学生对三角函数的概念和性质的理解，而且学生学会了不容易忘记，这不是死一记硬背的东西。虽然在三角函数线的教学过程中会有难度，但是在此多花一两节课的时间是值得的，这会使后续学习更轻松、更容易。5.2.3将三角备数发展的厉史触入教学过程中三角函数的发展历经漫长的岁月，从生活实际中来，在观天的学问中逐渐发展、成熟。刚开始的三角函数是在三角形中研究的，随着天文学的发展