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6.9 直线的相交(2) 教学设计余姚市世南中学 郑桦枫一、教材分析1、 教学内容：本节课题是浙教版义务教育教科书数学七年级上册6.9 直线的相交（2），主要内容有垂直、垂线、垂足、垂线段、点到直线的距离等，还涉及到几何中的重要结论“在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线”，“垂线段最短”等。2、 地位和作用：本节课既是小学所学垂直知识的回顾，也是相交线知识的延伸和拓展，为学生以后进一步学习三角形、特殊三角形、四边形打好基础。二、学情分析“垂直”是学生在小学四年级学过的知识，虽然有了一定的感性认识，但对于用几何语言表述，是一种全新的认识，要引导学生通过实践积累数学活动经验，逐步掌握学习几何的方法。三、教学模式与教法、学法本课采用“探究引导发现”教学模式，教师的教法突出活动的安排和问题的引导，学生的学法突出动手操作、探究发现。根据七年级学生的认知特点，以动手操作为纽带，通过学生作图，折纸等活动，体会同一平面内两直线垂直的位置关系以及垂线的性质，提高学生的抽象能力，培养学生的问题意识。以几何画板为工具，精心设计一个个带有操作性、启发性的问题，引导学生动手、思考问题，展现知识的形成过程，让学生既知其然，又知其所以然。四、教学过程1、创设情境，感受垂直（如图1，图2）师：如果将老师手上的两条铁丝，看成两条相交直线，现在老师把其中一条保持不动，另一条绕着交点转动，在转动过程中，你能发现这两条直线有特殊的位置存在吗？ 图 1 图 2【设计说明】 这里采用两条相交直线通过旋转产生“垂直”的方式引入课题：先回忆平面内两条直线的位置关系：平行和相交；接着，回顾相交线中的对顶角和邻补角，用研究夹角的方式来研究两直线的位置关系；然后，再让学生了解到垂直是相交中的一种特殊情形，知识的衔接自然，体现了数学上的逻辑联系。2、 观察思考，理解概念2.1 识“垂线”（如图3）师：这种特殊位置，如果从两直线夹角的角度看，夹角有何特殊性？师：那么我们就把这种特殊位置的情形叫做两直线互相垂直师：请你用自己的话来概括一下：满足什么条件的两条直线是互相垂直的？师生活动：学生尝试定义垂直概念，教师板书定义，然后，进行垂直符号、垂线、垂足等相关概念的教学。 图3 图4【设计说明】由于小学已初步了解过垂直，但学生没有接触过符号的表示，着重引导学生从垂直的图形语言抽象出符号语言，并学会对定义性质和判定两方面的理解，提升学生从感性到理性的认识，发展学生的抽象思维能力。2.2 说“垂线”师：你能举出身边，如教室里垂直的例子吗？【设计说明】通过寻找身边垂直的例子，让学生感受数学与生活密切相关，让学生能体会到数学知识的应用价值。2.3 找“垂线”（如图4）师：既然身边有这么多垂线的例子，可见垂线与我们息息相关，那么就让我们一起来找一找图形中的垂线吧？【设计说明】学生先寻找角中的垂线和直角三角形中的垂线，然后，拖动几何画板进行图形变式，发现刚才的几组垂线仍然不变，这样，通过角、直角三角形中垂线的识别，让学生学会在基本图形中识别垂线的能力，并感受图形位置变化带来的结论不变性。3、 动手操作、探究性质（如图5，图6）3.1 用作图工具作出两条互相垂直的直线师：刚才我们找出了垂线，同学们都表现的很棒，那么你会画“垂线”吗？接下来，我们一起来尝试一下吧，请完成任务单中的任务一。师生活动：学生在任务纸中任意作出互相垂直的两条直线；作出已知直线AB的垂线；过一点P作已知直线AB的垂线。教师边巡视、边个别辅导，同时，在实物投影处展示3位学生的作品，并可以让其中12人，上台介绍作垂线的方法（图7）。 图7【设计说明】学生经过充分的动手操作，基本了解到垂线的作法，并让学生自己用语言概括归纳垂线的作法；同时，点P可能在直线上，也可能在直线外，体会分类思想的运用。3.2 方格纸中作垂线师：刚才我们用三角尺等作图工具作出了垂线，现在，我们只能用直尺，你能在方格纸中，尽量多的作出不同的垂线吗？师生活动：学生作图时，采用了多种方法：有的直接利用方格纸中的横线和竖线，有的利用了正方形的对角线，有的利用了类似于画正方形的方法作出了垂线，等等，教师要引导学生用规范的数学语言阐述自己的作图方法，提高学生几何语言的表达能力。【设计说明】方格纸是常用的一种工具，让学利用方格纸自身的特点进行作图，可以强化学生对垂直定义的理解。3.3 折纸活动师：同学们，这次我们不用工具了，仅用手中的A4纸，你能做出互相垂直的直线吗？并说明它们垂直的理由。师生活动：学生也用多种方法折出了垂线，同样教师在给予肯定的同时，引导学生用规范的数学语言进行表述。【设计说明】经过三次操作，从用三角尺作垂线，到仅用直尺作垂线，最后到不用工具折垂线，逐步深入探究，让垂线的性质也自然水到渠成。 图 5 图64、 例题精讲（如图8）师：同学们，我们发现两条直线垂直会产生角，这样就可以计算其它的角度了，下面请你试着算一算的度数。师生活动：完成教材170页例题3 图8【设计说明】把所学的知识进行应用，学会垂直符号的运用，并继续注重几何书写过程的规范，做到步步有据。5、 回归实际、应用性质5.1跳远中的数学问题（如图9）师：同学们，现在我们轻松一下，看一下，我班郑景丹同学在校运会上的表现。那么，跳远时，裁判员是如何测量跳远成绩的呢？量的是哪一段的长度？师生活动：从问题入手，让学生思考如何测量，为什么这样测量的理由，从而让学生发现问题，垂直的线段是最短的，如何比较线段的长短，回忆度量法和叠合法，最后，用几何画板的测量功能，当线段最短时，此时正好,两直线是垂直的，也就是，通过对角的定量研究，达到了对线位置的研究，体现了“化线为角”的几何图形的研究方法。 图 9【设计说明】 测量跳远问题，学生比较熟悉，通过对此问题的数学层面的思考：为什么测量垂线段？因为这样的垂线段只有一条，是唯一的。师：那么，我们说郑景丹同学的成绩显示出来是什么？师：所以说点到直线的距离指的就是垂线段的长度，也就是点到垂足的距离。师生活动：让学生通过比较，明确垂线、垂线段、点到直线距离的联系和区别。【设计说明】让学生经历点到直线的距离转化为点到点的距离的过程，体会转化的思想。5.2 拓展应用（如图10）师：如图，直线表示一条公路，直线上的点B表示车站，直线外的点A表示村庄， 问题一：从A到B修一条路，应按怎样的路线修，路程最短？并说明理由； 问题二：从A到公路修一条路，应按怎样的路线修，路程最短？并说明理由； 图10 图11 【设计说明】 让学生体会“两点之间线段最短”，“垂线段最短”这两个性质的区别。6、 总结回顾，提升认识（如图11）师生活动：说说这节课的收获和体验：我学到了 我知道了 7、 布置作业：7.1 教材171页作业题4,67.2请你用三角板、量角器、圆规等作图工具设计一个垂直的图案，并附上100字左右的说明。【设计说明】 作业的布置，既是课内知识的延伸，也可以激发学生的兴趣，让不同的学生得到不同的发展。五、教学反思一、成功之处：1、情境的创设：数学知识具有其本身的逻辑连贯性，“学生已有的知识经验对新知识的学习至关重要”，而且，前一节课，研究了平面上两条直线的位置关系：平行和相交，所以首先把两条铁丝看成两条直线，在回顾上一节课相交线内容的同时，引出本节课的课题：继续研究两条直线相交的情形垂直。使用学具，吸引了学生的注意力，也激发了学生的学习兴趣。2、层次清晰本节课中从问题的引出：“识垂线”“找垂线”“画垂线”“用垂线”， 徐徐展开，步步为营，逐层深入，体现了数学知识的完整的学习过程，让学生感受了数学知识的产生、发展、变化和应用，各个环节，清楚明确，学生一目了然，学生学的是清清楚楚的数学。3、数学是一种活动数学课程标准（2011版）指出：学生的学习活动，是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要形式，学生应有足够的时间和空间经历观察、猜测、计算、推理等活动过程。本节课在课堂任务单中安排了三个环节：用作图工具画垂线、用方形网格画垂线、用纸直接折出垂线；同时在第一个环节又安排了：任意画相交的两条垂线、作已知直线的垂线、过一点画已知直线的垂线。这样，经过这几个环节的以后，学生对垂线的感受、理解逐步得到深化，垂线的性质也呼之欲出了。4、几何画板和板书相结合 由于几何研究的图形的数量关系和位置关系，而几何画板对图形的数量关系和位置关系都能很好的刻画，而且几何画板又有它特有的动态变化功能，可以探究图形的位置变化带来的结论不变形，对发展学生破除几何图形的思维定势很有帮助。所以本节课采用几何画板制作课件。第一、在“找垂线”环节：寻找母子直角三角形中的垂线，然后，拖动点C位置，变换到在直线AB下方，学生发现刚才的两条垂下仍然是垂直的。第二、在跳远中的数学环节：利用画板的度量功能，测量出6条线段的长度，从而直观的比较出了那条线段的距离最短，而此时，又可利用画板的度量功能，测量出，再次体现了“化线为角”的研究方法。二、不足之处及改进意见： 1、本章是初中几何内容教学的起始章节，所以特别要做好几何推理的教学，尤其是几何符号书写的示范教学。虽然在课件中有对例题的书写示范，但是编书作者在本节课安排这样一个例题的教学，应该是用心良苦：虽然本节课，有很多的概念教学，但还是要在本课中扎扎实实地搞好几何符号的书写示范，所以，还是应该进行板演示范。虽然到了信息化的时代，但是黑板还是有它不可替代的作用，（1）黑板具有展示过程思路和板演的功能，（2）黑板上的内容，可以一直保留，学生可以随时通过看黑板的板书，回忆刚才的内容。 2、任务单的运用，从用作图工具画垂线到用方形网格画垂线直接折纸找垂线，学生经过三个环节后，确实对垂线的认识提升了很多。但是，在时间上，是否可以考虑，能更加精简，教师可以对三个学生活动的流程再做适当的优化调整，使得效率更高，从而也为例题的板书赢得时间；或者，可以让学生自己独立写出例题的推理过程，然后，再进行投影，师生共同点评，可能对学生的示范、借鉴作用会更大。 3、课堂中，对“垂线段最短”“点到直线的距离”教学的环节安排是否可以作改进：问题一：跳远时，裁判测的是哪一条线段的长度？为什么这么测量？问题二：为什么图中线段最短？我们学过比较线段的哪两种方法？问题三：发现当时，最短，此时直线和直线是什么位置关系？【设计说明】通过三个问题，引出垂线段性质：“连结直线外一点和直线上所有各点的连线中，垂线段最短。”问题四：那么我们说裁判测量的是应该是线段的什么？问题五：这里垂线段的两个端点是哪两个点？点也叫什么？【设计说明】通过二个问题，引导学生得出：一、垂线