山东省济宁市高三数学一轮复习 专项训练 平面向量应用（含解析）.doc

平面向量应用1、(1)(2013新课标全国卷)已知正方形abcd的边长为2，e为cd的中点，则_.(2)(2013天津卷)在平行四边形abcd中，ad1，bad60，e为cd的中点若1，则ab的长为_解析(1)以a为原点建立平面直角坐标系(如图)则a(0,0)，b(2,0)，c(2,2)，d(0,2)，e(1,2)(1,2)，(2,2)从而(1,2)(2,2)1(2)222.(2)由题意可知，.因为1，所以()1，即221.因为|1，bad60，所以|，因此式可化为1|21，解得|0(舍去)或，所以ab的长为.答案(1)2(2)2、在边长为1的菱形abcd中，bad60，e是bc的中点，则()a. b. c. d.(2)在abc所在平面上有一点p，满足，则pab与abc的面积之比值是()a. b. c. d.解析(1)建立如图平面直角坐标系，则a，c，b.e点坐标为，(，0)，.(2)由已知可得2，p是线段ac的三等分点(靠近点a)，易知spabsabc，即spabsabc13.答案(1)d(2)a3、(2013湖南卷)已知平面上一定点c(2,0)和直线l：x8，p为该平面上一动点，作pql，垂足为q，且0.(1)求动点p的轨迹方程；(2)若ef为圆n：x2(y1)21的任一条直径，求的最值解(1)设p(x，y)，则q(8，y)由()()0，得|2|20，即(x2)2y2(x8)20，化简得1.所以点p在椭圆上，其方程为1.(2)因()()()()()2221，p是椭圆1上的任一点，设p(x0，y0)，则有1，即x16，又n(0,1)，所以2x(y01)2y2y017(y03)220.因y02，2，所以当y03时，2取得最大值20，故的最大值为19；当y02时，2取得最小值为134(此时x00)，故的最小值为124.3、已知点p(0，3)，点a在x轴上，点q在y轴的正半轴上，点m满足0，当点a在x轴上移动时，求动点m的轨迹方程解设m(x，y)为所求轨迹上任一点，设a(a,0)，q(0，b)(b0)，则(a,3)，(xa，y)，(x，by)，由0，得a(xa)3y0.由，得(xa，y)(x，by)，把a代入，得3y0，整理得yx2(x0)所以动点m的轨迹方程为yx2(x0)4、已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为_解析建立如图所示的直角坐标系，由题意知ab，且a与b是单位向量，可设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)cab(x1，y1)，|cab|1，(x1)2(y1)21，即点c(x，y)的轨迹是以m(1,1)为圆心，1为半径的圆而|c|，|c|的最大值为|om|1，即|c|max1.答案15abc外接圆的半径为1，圆心为o，且2 0，|，则()a. b. c3 d2解析由2 0，得2 0，即，即o，b，c三点共线，bc为abc外接圆的直径，故bac90.又|，得b60，所以c30，且|(如图所示)所以|cos 3023.答案c6给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点c在以o为圆心的圆弧上运动若x y ，其中x，yr，则xy的最大值是_解析：以o为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则a(1,0)，b，设aoc，则c(cos ，sin )，由x y ，得所以xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin，又，所以当时，xy取得最大值2.7已知a(1，sin2x)，b(2，sin 2x)，其中x(0，)若|ab|a|b|，则tan x的值等于()a1 b1 c. d.解析由|ab|a|b|知，ab.所以sin 2x2sin2x，即2sin xcos x2sin2x，而x(0，)，所以sin xcos x，即x，故tan x1.答案a8若|a|2sin 15，|b|4cos 15，a与b的夹角为30，则ab的值是()a. b. c2 d.解析ab|a|b|cos 308sin 15cos 154sin 30.答案b9已知|a|2|b|，|b|0且关于x的方程x2|a|xab0有两相等实根，则向量a与b的夹角是()a b c. d.解析由已知可得|a|24ab0，即4|b|242|b|2cos 0，cos ，又0，.答案d10在abc中，a，b，c分别为角a，b，c所对应的三角形的边长，若4a2bc3c0，则cos b()a b. c. d解析由4a2bc3c0，得4a3c2bc2b()2b2b，所以4a3c2b.由余弦定理得cos b.答案a11在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若1，那么c_.解析由题意知2，即()22c|.答案12在abc中，若ab1，ac，|，则_.解析易知满足|的a，b，c构成直角三角形的三个顶点，且a为直角，于是|cosabc1cos 60.答案13设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若(3bc)cos aacos c，sabc，则_.解析依题意得(3sin bsin c)cos asin acos c，即3sin bcos asin acos csin ccos asin(ac)sin b0，于是有cos a，sin a，又sabcbcsin abc，所以bc3，bccos(a)bccos a31.答案114已知圆c：(x3)2(y3)24及点a(1,1)，m是圆c上的任意一点，点n在线段ma的延长线上，且2，求点n的轨迹方程解设m(x0，y0)，n(x，y)由2，得(1x0,1y0)2(x1，y1)，点m(x0，y0)在圆c上，(x03)2(y03)24，即(32x3)2(32y3)24.x2y21.所求点n的轨迹方程是x2y21.15已知abd是等边三角形，且，|，那么四边形abcd的面积为()a. b. c3 d. 解析如图所示，22，即322，|，|2|cos 603，|2.又，|1，|2|2|2，bccd.s四边形abcdsabdsbcd22sin 601 ，故选b.答案b16.已知向量m，n.(1)若mn1，求cos的值；(2)记f(x)mn，在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cos bbcos c，求函数f(a)的取值范围解(1)mnsin cos cos2sin sin，mn1，sin.cos12sin2，coscos.(2)(2ac)cos bbcos c，由正弦定理得(2sin asin c)cos bsin bcos c，2sin acos bsin ccos bsin bcos c.2sin acos bsin(bc)abc，sin(bc)sin a0.cos b，0b，b，0a.，sin.又f(x)sin，f(a)sin.故函数f(a)的取值范围是.17已知向量a(m2,4)，b(1,1)，则“m2”是“ab”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析依题意，当m2时，a(4,4)，b(1,1)，所以a4b，即ab，即由m2可以推出ab；当ab时，m24，得，m2，所以不能推得m2，即“m2”是“ab”的充分不必要条件答案a18(2013德州一模)已知向量a(2,3)，b(k,1)，若a2b与ab平行，则k的值是()a6 b c. d14解析由题意得a2b(22k,5)，且ab(2k,2)，又因为a2b和ab平行，则2(22k)5(2k)0，解得k.答案c19已知|a|b|a2b|1，则|a2b|()a9 b3 c1 d2解析由|a|b|a2b|1，得a24ab4b21，4ab4，|a2b|2a24ab4b2549，|a2b|3.答案b20已知平面向量a(2，m)，b(1，)，且(ab)b，则实数m的值为()a2 b2 c4 d6解析因为(ab)b，所以(ab)babb20，即2m40，解得m2.答案b21已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量a与b的夹角为()a. b. c. d.解析a(ba)aba22，所以ab3，所以cos.所以.答案b22.已知向量a(1，cos )，b(1,2cos )且ab，则cos 2等于()a1 b0 c. d.解析abab0，即12cos20，cos 20.答案b23(2014成都期末测试)已知o是abc所在平面内一点，d为bc边中点，且20，则有()a.2 b.c.3 d2解析由20，得22，即22，所以，即o为ad的中点答案b24平面上有四个互异点a，b，c，d，已知(2)()0，则abc的形状是()a直角三角形 b等腰三角形c等腰直角三角形 d无法确定解析由(2)()0，得()()()0，所以()()0.所以|2|20，|，故abc是等腰三角形答案b25已知正方形abcd(字母顺序是abcd)的边长为1，点e是ab边上的动点(可以与a或b重合)，则的最大值是()a1 b. c0 d1解析建立直角坐标系如图所示，设e(x,0)，x0,1，则d(0,1)，c(1,1)，b(1,0)，所以(x，1)(1,0)x，当x0时取得最大值0.答案c26若a(1，2)，b(x,1)，且ab，则x_.解析由ab，得abx20，x2.答案227已知向量a(1,1)，b(2,0)，则向量a，b的夹角为_解析a(1,1)，b(2,0)，|a|，|b|2，cos，.答案28在rtabc中，c90，a30，bc1，d为斜边ab的中点，则_.解析()212cos 301.答案129在平面直角坐标系中，o为坐标原点，已知向量a(2,1)，a(1,0)，b(cos ，t)(1)若a，且|，求向量的坐标；(2)若a，求ycos2cos t2的最小值解(1)(cos 1，t)，又a，2tcos 10.cos 12t.又|，(cos 1)2t25.由得，5t25，t21.t1.当t1时，cos 3(舍去)，当t1时，cos 1，b(1，1)，(1，1)(2)由(1)可知t，ycos2cos cos2cos 2，当cos 时，ymin.30设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值解(1)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2 x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得4sin2 x1.又x，从而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2 xsin 2xcos 2xsin，当x时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.31.已知点g是abo的重心，m是ab边的中点(1)求；(2)若pq过abo的重心g，且a，b，ma，nb，求证：3.(1)解2，又2，0.(2)证明显然(ab)因为g是abo的重心，所以(ab)由p，g，q三点共线，得，所以，有且只有一个实数，使.而(ab)maab，nb(ab)ab，所以ab.又因为a，b不共线，所以消去，整理得3mnmn，故3.32.已知f(x)ab，其中a(2cos x，sin 2x)，b(cos x,1)(xr)(1)求f(x)的周期和单调递减区间；(2)在abc