二次函数复习及习题讲解.doc

二次函数一、课标下复习指南1二次函数如果yax2bxc(a，b，c为常数，a0)，那么y叫做x的二次函数几种特殊的二次函数：yax2(a0)；yax2c(ac0)；yax2bx(ab0)；ya(xh)2(a0)2二次函数的图象二次函数yax2bxc的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线由yax2(a0)的图象，通过平移可得到ya(xh)2k(a0)的图象3二次函数的性质二次函数yax2bxc的性质对应在它的图象上，有如下性质：(1)抛物线yax2bxc的顶点是，对称轴是直线，顶点必在对称轴上；(2)若a0，抛物线yax2bxc的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点(x，y)，当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x，y有最小值；若a0，抛物线yax2bxc的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点(x，y)，当x，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当x时，y有最大值；(3)抛物线yax2bxc与y轴的交点为(0，c)；(4)在二次函数yax2bxc中，令y0可得到抛物线yax2bxc与x轴交点的情况：当Db24ac0，抛物线yax2bxc与x轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是和，这两点的距离为；当D0时，抛物线yax2bxc与x轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点；当D0时，抛物线yax2bxc与x轴没有公共点4抛物线的平移抛物线ya(xh)2k与yax2形状相同，位置不同把抛物线yax2向上(下)、向左(右)平移，可以得到抛物线ya(xh)2k平移的方向、距离要根据h、k的值来决定二、例题分析例1 用一根6米长的铁丝弯成一个矩形，设矩形一边长为x(米)，矩形面积为y(米2)，写出y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围，并画出函数图象解 矩形一边长x米，周长6米，矩形另一边长为(3x)米矩形面积y关于x的函数解析式为yx(3x)即yx23x(0x3)(函数图象如图81)图81注意 列表时，应在自变量取值范围内取点，并且尽量取关键点，如图象的端点、与坐标轴的交点、顶点等，以使图象尽量准确例2 已知二次函数yax2bxc符合下列条件，求它的解析式：(1)图象经过三点(1，4)，(1，1)，(2，1)；(2)顶点是(2，1)，并且经过点(3，)；(3)顶点在y轴上，最大值是4，并且经过点(1，3)；(4)顶点在x轴上，对称轴x1，并且经过点(2，2)；(5)对称轴是x2，并且经过点(0，3)，(3，0)；(6)与x轴的交点坐标为(1，0)，(2，0)，且经过点(3，6)；(7)图象经过点(1，8)，对称轴是直线x20，并且在x轴截得的线段长为6解 (1)解得说明 还可以由点的坐标之间的关系发现(1，1)与(2，1)两点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴方程是直线抛物线的对称性有时非常有用(2)设ya(x2)21(a0)抛物线经过点(3)由题意知顶点坐标为(0，4)设yax24(a0)抛物线经过点(1，3)，a1yx24(4)由题意知顶点坐标为(1，0)设ya(x1)2(a0)抛物线经过点(2，2)，a2y2x24x2(5)由抛物线的对称性可知它经过(1，0)点可设ya(x1)(x3)，由抛物线过(0，3)点得a1yx24x3(6)抛物线与x轴交于(1，0)，(2，0)两点，设ya(x1)(x2)(a0)由抛物线经过(3，6)点得到a3y3x29x6(7)抛物线与x轴的两交点关于对称轴x2对称，两交点分别为(5，0)，(1，0)设ya(x5)(x1)由抛物线过点(1，8)可得a1yx24x5说明 根据条件灵活选择抛物线的三种表达形式：一般式yax2bxc(a0)，顶点式ya(xm)2n(a0)，或双根式ya(xx1)(xx2)(a0)有助于简化计算过程例3 (1)已知函数yax2bxc的图象如图82所示，且P|abc|2ab|，Q|abc|2ab|，则P，Q的大小关系为_；图82(2)已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图83所示，有下列5个结论：图83abc0；bac；4a2bc0；2c3b；abm(amb)(m1)，其中正确的结论有( )A2个B3个C4个D5个解 (1)pQ由图82知a0，b0，c0，当x1时，yab0Pa2b，Q2baPQ(2)应选B由图83知a0，b0，c0，当x1时，yabc0，当x2时，y4a2bc0错误，正确abc0，又b2a，2c3b正确b2a，aba，m(amb)a(m22m)abm(amb)a(m1)2m1，a(m1)0正确说明 注意观察二次函数的图象可以得到隐含信息，如开口方向、对称轴顶点、与坐标轴的公共点以及所给出的特殊点与图象的关系等例4 若|x1|3，则关于yx22x1的最值说法正确的是( )A最大值是0，无最小值B最小值是9，最大值是0C无最大值，最小值是9D无最大值，也无最小值解 |x1|3，3x132x4yx22x1(x1)2，当x2时，y9，当x4时，y9由图84可知9y0图84应选B例5 若二次函数ykx27x7的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是( )AB且k0CD且k0解 令y0，则kx27x70由题意知一元二次方程kx27x70有实根且k0应选择D说明 抛物线与坐标轴的交点问题要注意：方程类型一元二次方程两根相等抛物线与x轴有一个公共点；一元二次方程两根不等抛物线与x轴有两个公共点；一元二次方程无实根抛物线与x轴无公共点例6 两个不同的二次函数yx2kx1与yx2xk的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k的值为( )A0B1C2D解 由题意知x2kx10与x2xk0有一个公共解，不妨设为a，则有整理得(k1)(a1)0k1，a1，k2应选择C例7 (1)已知抛物线y2x28x8，其顶点坐标为_，以其顶点为中心，旋转180所得抛物线的解析式是_，若继续上下平移，使它与直线y2x4相交于(0，a)，则a_，平移后，所得抛物线的解析式是_；(2)抛物线yax2bxc如图85所示图85它关于y轴对称的抛物线的解析式为_；它关于x轴对称的抛物线的解析式为_；它关于直线x4对称的抛物线的解析式为_；它关于直线y2对称的抛物线的解析式为_(1)(2，0)，y2x28x8，a4，y2x28x4；(2)可先求出图85中抛物线为yx24x3yx24x3；yx24x3；yx212x35；yx24x7说明 方法一：对于抛物线的图形变换基本方法是转化为关键点的变换，尤其是顶点、与坐标轴的交点；另外也可利用图形变换前后图形全等，因而|a|是不变的，来寻求解决方法方法二：若设所求抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，则它关于y轴的对称点为P1(x，y)，关于x轴的对称点为P2(x，y)，关于直线x4的对称点为P3(8x，y)，关于直线y2的对称点为P4(x，4y)，P1，P2，P3，P4分别在原抛物线上，将它们的坐标分别代入原抛物线的解析式，整理后得到所求抛物线的解析式例8 如图86，二次函数ym(m4)的图象与x轴相交于点A，B两点图86(1)求A，B两点的坐标(可用含字母m的代数式表示)；(2)如果这个二次函数的图象与反比例函数y的图象相交于点C，且BAC的正弦值为，求这个二次函数的解析式解 (1)令y0，则x2(m4)x4m0整理，得(xm)(x4)0解 得xm或4m4，m4点A在点B左侧，A(4，0)，B(m，0)(2)过C作CDx轴于D，则CDA90，设AC5k，则 CD3kAC2CD2AD2，AD4kA(4，0)，OA4，OD4k4C点在第一象限，C(4k4，3k)C点在双曲线上，3k(4k4)9或(k0，舍去)例9 已知二次函数yx2(2m2)x(m24m3)，m为不小于0的整数，它的图象与x轴交于A点和B点，点A在原点的左边，点B在原点的右边(1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数ykxb的图象经过点A，并与这个二次函数的图象交于点C，SABC10，求一次函数的解析式解 (1)抛物线与x轴交于A，B两点，令y0，则x2(2m2)x(m24m3)0此方程有两个不等实根，D8(m2)0，D0，m2又m是不小于0的整数，m0，1当m0时，yx22x3令y0，则x11，x23A在原点左侧，B在原点右侧，A(1，0)，B(3，0)当m1时，yx24x2令y0，则不符合题意，舍去yx22x3(2)过C作CDAB于D(见图87)图87A(1，0)，B(3，0)，AB4SABC10，CD5C点的纵坐标为5顶点(1，4)，C点的纵坐标为5当y5时，x22x35x12，x24C(2，5)，C(4，5)可得直线AC的解析式为y5x5或yx1思考 若过点A的直线与抛物线有且只有一个公共点，如何求直线解析式?解 见图88，情况当直线与x轴垂直时，为x1；图88情况当直线不与x轴垂直时，设直线的解析式为ykxbA(1，0)，kb0，kb，ykxkx2(k2)xk30当D0时，有一个公共点k4，y4x4综上所述，直线的解析式为x1或y4x4例10 已知抛物线yax2bxc与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)，C(5，0)两点(1)求此抛物线的解析式；(2)若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；(3)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上的某点(设点为F)，最后沿直线运动到点A求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长解 (1)抛物线与x轴分别交于(1，0)，(5，0)两点，可设抛物线解析式为ya(x1)(x5)(a0)又抛物线与y轴交于(0，3)点，(2)A(0，3)，OA3D是OA的一个三等分点，DO1或2D在y轴的正半轴上，D(0，1)或(0，2)当D(0，1)时，设CD的解析式为yk1xb1(k10)解得当D(0，2)时，同理可得综上所述，直线CD的解析式为或(3)如图89所示，图89作点M关于x轴的对称点M作A关于对称轴直线x3的对称点A连接AM交x轴于E，交直线x3于F，则E，F即为所求M，M关于x轴对称，MEME同理AFAFMEEFAFMEEFAFAMM是OA的中点，OA3，A(0，3)，A(6，3)由勾股定理得设直线AM的解析式为ykxb(k0)解得令y0，则x2，E(2，0)令x3，则综上所述，总路径最短为，此时E(2，0)，F三、课标下新题展示例11 (2009长沙)如图810，二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C连接AC，BC，A，C两点的坐标分别为A(3，0)，且当x4和x2时二次函数的值y相等图810(1)求实数a，b，c的值；(2)若点M，N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA，BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t秒时，连接MN，将BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；(3)在(2)的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与ABC相似?如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由解 (1)由题意，得解得(2)由(1)得当y0时，x3或1B(1，0)，A(3，0)，OA3，OB1，可得ABC为直角三角形，且ACB90，A30，B60又由BMBNPNPM知四边形PMBN为菱形PNAB即过点P作PEAB于E在RtPEM中，PMEB60，PM又，故OE1(3)由(1)、(2)知抛物线的对称轴为直线x1，且ACB90若BQN90，BN的中点到对称轴的距离大于1，而以BN为直径的圆不与对称轴相交，BQN90，即此时不存在符合条件的Q点若BNQ90，当NBQ60时，Q，E重合，此时BNQ90；当NBQ30时，Q，P重合，此时BNQ90即此时不存在符合条件的Q点若QBN90时，延长NM交对称轴于点Q，此时，Q为P关于x轴的对称点为所求例12 (2009广州)如图811，二次函数yx2pxq(p0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，1)，ABC的面积为图811(1)求该二次函数的解析式；(2)过y轴上的一点M(0，m)作y轴的垂线，若该垂线与ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；(3)在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由解 (1)设点A(x1，0)，B(x2，0)，其中x1x2抛物线yx2pxq过点C(0，1)，q1，yx2px1抛物线yx2px1与x轴交于A，B两点，令y0，设x1，x2是方程x2px10的两根，则又SABC解 得 (p0，舍去正值)(2)令，解得ACB90，ABC是直角三角形RtABC的外接圆的圆心是斜边AB的中点，且RtABC的外接圆的半径垂线与ABC的外接圆有公共点，(3)假设在二次函数y的图象上存在点D，使得四边形ACBD是直角梯形若ADBC，设点D的坐标为（1)，x00，过D作DEx轴，垂足为E，如图812所示图812在RtAED中，在RtBOC中，DAECBO，tanDAEtanCBO整理，得8x050解 得或x00，此时点D的坐标为而AD2AE2ED2BC2，因此当ADBC时，在抛物线上存在点D，使得四边形DACB是直角梯形若ACBD，设点D的坐标为(x0，x00过D作DFx轴，垂足为F，如图813所示图813在RtDFB中，在RtCOA中，DBFCAO，tanDBFtanCAO整理，得2x0100解 得或x02x00，此时点D的坐标为此时BDAC，因此当ACBD时，在抛物线上存在点D使得四边形DACB是直角梯形综上所述，在抛物线上存在点D，使得四边形DACB是直角梯形，并且点D的坐标为或四、课标考试达标题(一)选择题1二次函数yax2bxc的值如果总是负数，那么a，b，c满足( )Aa0，b24ac0Ba0，b24ac0Ca0，b24ac0Da0，b24ac02(2007济南)已知yax2bxc的图象如图814所示，则yaxb的图象一定经过( )图814A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第二、三、四象限D第一、三、四象限3(2007潜江)抛物线yx2bxc的部分图象如图815所示，则当y0时，x的取值范围是( )图815A4x1B3x1Cx4或x1Dx3或x14如图816是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象经过点A(3，0)，对称轴为x1给出四个结论：b24ac；2ab0；abc0；5ab其中正确结论是( )图816ABCD5如果函数yaxb(ab0)的图象不经过第一象限，则抛物线yax2bx的顶点一定在( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6根据下表中的二次函数yax2bxc的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴( )x1012y12A只有一个交点B有两个交点，且它们分别在y轴两侧C有两个交点，且它们均在y轴同侧D无交点7在平面直角坐标系中，先将抛物线yx2x2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )Ayx2x2Byx2x2Cyx2x2Dyx2x28已知二次函数yax2bxc的图象过(1，3)，(1，1)两点，且它与y轴交点的纵坐标大于0且小于1，则a的取值范围是( )A1a3B1a3C2a3D1a29某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则会少租出10张床位；若每床每晚收费再提高2元，则会再少租出10张床位以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( )A4元或6元B4元C6元D8元(二)填空题10抛物线yx22x8的对称轴方程为_，顶点为_，与x轴的交点为_，与y轴的交点为_11已知抛物线yx2pxq与x轴的交点为(3，0)和(5，0)，则该抛物线的对称轴是_12若二次函数yax2bxc的图象的顶点为(1，2)，与y轴的交点为(0，3)，则abc_13将抛物线y2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到图象的解析式为_14若抛物线yx2pxq与x轴的交点为(p，0)，(q，0)，则该抛物线的解析式为_15若抛物线yx2bx5的顶点在x轴上，则b的值为_(三)解答题16(2008茂名)我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销经过调查，得到如下数据：销售单价x(元/件)30405060每天销售量y(件)500400300200(1)把上表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在图817中的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；图817(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少?(利润销售总价成本总价)(3)当地物价部门规定，该工艺品销售单价