【导与练】高中数学 综合检测试题 新人教版A版必修5.doc

综合检测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.若abc,则下列结论中正确的是(c)(a)a|c|b|c|(b)abac(c)a-c1b1c解析:选项a中c=0时不成立,选项b中a0时不成立,选项d中取a=-2,b=-1,c=1验证,不成立,故选c.2.(2013福州高二检测)在abc中,已知a2=b2+c2-bc,则角a等于(a)(a)60(b)45(c)120(d)30解析:a2=b2+c2-bc,bc=b2+c2-a2,cos a=b2+c2-a22bc=bc2bc=12.又0a180,a=60.故选a.3.(2013金乡一中高二检测)等差数列中,若a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=420,则a2+a10等于(b)(a)100(b)120(c)140(d)160解析:a3+a9=a4+a8=a5+a7=2a6,a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=7a6=420,a6=60,a2+a10=2a6=120.故选b.4.(2013潮州市高二检测)在abc中,已知角b=45,c=22,b=433,则角a的值是(d)(a)15(b)75(c)105(d)75或15解析:由正弦定理,bsinb=csinc,得sin c=csinbb=2222433=32,c=60或120,a=180-45-60=75或a=180-120-45=15.故选d.5.(2014南阳高二期末)已知数列an满足(n+2)an+1=(n+1)an,且a2=13,则an等于(a)(a)1n+1(b)12n-1(c)n-12n-1(d)n-1n+1解析:(n+2)an+1=(n+1)an,an+1an=n+1n+2,又a2=13,a1=12,a3=14,经验证只有选项a符合.故选a.6.(2014宣城高二期末)设变量x,y满足约束条件x-y+20,x+y-70,x1则yx的最大值为(a)(a)6(b)3(c)95(d)1解析:不等式组表示的可行域如图阴影部分所示,a(1,6),yxkoa=6,故选a.7.(2014桂林高二期末)已知abc中,三内角a、b、c成等差数列,边a、b、c依次成等比数列,则abc是(b)(a)直角三角形(b)等边三角形(c)锐角三角形(d)钝角三角形解析:由a、b、c成等差数列,可得b=60,不妨设a=60-,c=60+(060),由a,b,c成等比数列,得b2=ac,由正弦定理得sin2b=sin asin c,34=sin(60-)sin(60+),34=(sin 60cos )2-(cos 60sin )2,34=34cos2-14sin2,34(1-cos2)=-14sin2,sin2=0,=0,a=b=c,故选b.8.(2014新余高二期末)在abc中,三边a,b,c成等差数列,b=30,且abc的面积为12,则b的值是(d)(a)1+3(b)2+3(c)3+3(d)3+33解析:a,b,c成等差数列,b=a+c2,又12acsin b=12,ac=2,又b2=a2+c2-2accos b=(a+c)2-2ac-3ac,3b2=4+23,b2=4+233,b=3+33.故选d.9.(2014济南历城高二期末)在abc中,角a、b、c所对的边为a,b,c,若a,b,c成等差数列,则角b的范围是(b)(a)0b4(b)0b3(c)3b2(d)2b解析:a,b,c成等差数列,b=a+c2ac,cos b=a2+c2-b22ac=(a+c)2-2ac-b22ac=3b2-2ac2ac=3b22ac-13ac2ac-1=12,又0b,0b3,故选b.10.(2013福建师大附中高二检测)已知a、b为正实数,且1a+2b=2,若a+b-c0对于满足条件的a,b恒成立,则c的取值范围为(a)(a)(-,32+2(b)(-,3(c)(-,6(d)(-,3+22解析:a+b-c0恒成立ca+b恒成立,a+b=12(1a+2b)(a+b)=12(3+ba+2ab)12(3+2ba2ab)=32+2,(当且仅当ba=2ab且1a+2b=2,即a=2+12,b=1+22时取“=”)c(a+b)min=32+2.故选a.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)11.(2013年高考安徽卷)设abc的内角a,b,c所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sin a=5sin b,则角c等于.解析:由3sin a=5sin b得a=53b,又因b+c=2a,得c=2a-b=103b-b=73b,所以cos c=a2+b2-c22ab=259b2+b2-499b2253bb=-159103=-12,则c=23.答案:2312.(2013厦门六中高二期中)已知数列an:12,13+23,14+24+34,15+25+35+45,那么数列1anan+1的前n项和为.解析:观察数列an可知,an=1n+1+2n+1+nn+1=1+2+3+nn+1=n2,1anan+1=4n(n+1)=4(1n-1n+1),1anan+1的前n项和为:4(1-12)+4(12-13)+4(1n-1n+1)=4(1-12+12-13+1n-1n+1)=4(1-1n+1)=4nn+1.答案:4nn+113.已知abc的面积为12,且sin a=14,则1b+2c的最小值为.解析:依题意12bcsin a=12,bc=4,于是1b+2c=2b+cbc=14(2b+c)1422bc=2,当且仅当b=2,c=22时取等号.即1b+2c的最小值是2.答案:214.不等式组x0,y0,kx-y-2k+10(k0)表示的区域的面积记为f(k),则f(k)的最小值为.解析:不等式组x0,y0,kx-y-2k+10(k0)表示的区域是一个直角三角形,如图所示.对于直线方程kx-y-2k+1=0,令x=0,得y=1-2k,令y=0,得x=2-1k,则区域的面积为f(k)=12(2-1k)(1-2k)=124+(-1k-4k)124+2(-1k)(-4k)=4(k0).(当且仅当-1k=-4k即k=-12时等号成立)答案:4三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(本小题满分13分)(2014日照高二期末)公差不为零的等差数列an中,a3=7,且a2,a4,a9成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=2an,求数列bn的前n项和sn.解:(1)由数列an为公差不为零的等差数列,设其公差为d,且d0.a2,a4,a9成等比数列,a42=a2a9,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d),整理得d2=3a1d.d0,d=3a1.a3=7,a1+2d=7. 由解得a1=1,d=3,an=1+(n-1)3=3n-2.故数列an的通项公式是an=3n-2.(2)由(1)知bn=23n-2,bn+1bn=23(n+1)-223n-2=8,bn是等比数列,且公比为8,首项b1=2,sn=2(1-8n)1-8=2(8n-1)7.16.(本小题满分13分)(2014德州联考)abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知a=bsin c+ccos b.(1)求角c;(2)若c=4,求abc面积的最大值.解:(1)由已知及正弦定理得sin a=sin bsin c+sin ccos b. 又sin a=sin(b+c)=sin bcos c+cos bsin c.由,得sin c=cos c.因为c(0,),所以c=4.(2)由已知及余弦定理得16=a2+b2-2abcos c=a2+b2-2ab(2-2)ab.(当且仅当a=b时取等号)故ab162-2=8(2+2).sabc=12absin c=24ab248(2+2)=4(2+1).即abc面积的最大值为4(2+1).17.(本小题满分13分)已知函数f(x)=x2-2x-8,g(x)=2x2-4x-16,(1)求不等式g(x)2,均有f(x)(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围.解:(1)g(x)=2x2-4x-160,(2x+4)(x-4)0,-2x4,不等式g(x)0的解集为x|-2x2时,f(x)(m+2)x-m-15恒成立,x2-2x-8(m+2)x-m-15,即x2-4x+7m(x-1).对一切x2,均有不等式x2-4x+7x-1m成立.而x2-4x+7x-1=(x-1)+4x-1-22(x-1)4x-1-2=2.(当且仅当x-1=4x-1即x=3时等号成立)实数m的取值范围是(-,2.18.(本小题满分13分)(2014马鞍山质检)已知函数f(x)=23sin xcos x-3sin2x-cos2x+2.(1)求f(x)的最大值;(2)若abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,且满足ba=3,sin(2a+c)sina=2+2cos(a+c),求f(b)的值.解:(1)f(x)=3sin 2x-3sin2x-cos2x+2(sin2x+cos2x)=3sin 2x+cos2x-sin2x=3sin 2x+cos 2x=2sin(2x+6).f(x)的最大值是2.(2)由条件得sin(2a+c)=2sin a+2sin acos(a+c),sin acos (a+c)+cos asin(a+c)=2sin a+2sin acos (a+c)化简得sin c=2sin a,由正弦定理得c=2a.又b=3a,由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccos a=3a2+4a2-4a2cos acos a=32a=6,b=3,c=2,f(b)=f(3)=2sin 56=1.19.(本小题满分14分)(2014日照高二期末)小王在年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x年年底出售,其销售价格为25-x万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?(利润=累计收入+销售收入-总支出)解:(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元,则y=25x-6x+x(x-1)22-50,(0x10,xn),即y=-x2+20x-50,(00,解得10-52x10+52,而210-523,故从第3年开始运输累计收入超过总支出.(2)因为利润=累计收入+销售收入-总支出,所以销售二手货车后,小王的年平均利润为y=1xy+(25-x)=1x(-x2+19x-25)=19-(x+25x),而19-(x+25x)19-2x25x=9,当且仅当x=5时取得等号.即小王应当在第5年底将大货车出售,才能使年平均利润最大.20.(本小题满分14分)(2014淄博高二期末)数列an的前n项和为sn,a1=2,sn=12an+1-1(nn*)(1)求a2,a3;(2)求数列an的通项an;(3)求数列nan的前n项和tn.解:(1)n=1,s1=12a2-1=a1a2=6,n=2,s2=12a3-1=a1+a2a3=18.(2)n