【志鸿全优设计】七年级数学上册 第3章3.3 整式例题与讲解 （新版）华东师大版.docVIP

3.3整式1单项式(1)单项式的概念像10a,0.8m，mn,2a2等，都是数与字母的积，这样的代数式叫单项式单独一个字母或单独一个数字也是单项式理解单项式的概念应注意以下几点：单项式定义中的“都是”是指代数式中所含有的运算都是数与字母的乘积运算(包括乘方)，如2xy就不是单项式，因为这个代数式中含有的运算不都是数与字母的乘积，还包括加法运算；定义中的“积”是对数字与字母而言，代数式中只能含有乘法或乘方运算，不能含有乘法和乘方以外的其他运算如3ab，xy2，都不是单项式，因为它们含有乘法和乘方以外的其他运算；定义中的“数”可以是任意形式的具体的数，可以是分数、小数或整数如0.5ab，xy，等都是单项式；注意单独一个数或单独一个字母也是单项式如b，0.6，等都是单项式(2)单项式的系数单项式的系数是指单项式中的数字因数对于单项式的系数应从以下几个方面理解：系数是单项式中所有数字因数的积，可以是整数，也可以是分数如，的系数是，而不是3或；的系数是，而不是1；的系数是，而不是或；单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包括它前面的性质符号如，3x2y2的系数是3，而不是3；看上去只含有字母因式的单项式，其系数是1或1,1往往省略不写，但不能认为系数是0.如，xy2的系数是1；xy3的系数是1.(3)单项式的次数一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数理解单项式的次数应注意以下几点计算单项式的次数时，应注意是所有字母指数的和，不要漏掉字母指数是1的指数如，单项式2x3y2z的次数是字母x，y，z的指数的和，即3216，而不是325，应注意z的指数是1，而不是0；单项式是单独一个字母时，它的指数是1，如，b的次数是1；单项式是单独一个常数时，它的指数看成0，如，5的次数是0；单项式的次数只和字母的指数有关，与系数的指数无关如，单项式34x2y2z3的次数是2237，而不是422311.谈重点 单项式的标志是代数式；不含加减运算；若含有分母，分母中不含字母【例1】 下列结论正确的是()a没有加减运算的代数式叫单项式b单项式a的指数是0，系数是0c2ab4是单项式d1是单项式解析：a错，要判断一个代数式是不是单项式，不能只看有没有加减运算，还要注意分母中不能含有字母如是单项式，而就不是单项式；b错，单项式a的系数和指数都是1，只是省略了没有写上；c错，因为2ab4不是代数式，而是等式，因而2ab4不是单项式；d正确，根据单项式的概念，单独的一个字母或数字也是单项式答案：d2.多项式(1)多项式的概念几个单项式的和叫做多项式如3x6，2a2b8ab3b23都是多项式(2)多项式中的项在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项说明多项式的项时，必须包括它前面的符号就多项式3x6而言，它的项是3x与6，常数项是6(不要写成6)；就多项式而言，它的项是与；就多项式2a2b8ab3b23而言，它的项是2a2b，8ab3，b2,3.(3)多项式的次数一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数一个多项式的次数是几，项数是几，就称为几次几项式如3x6是一次二项式，因为3x项的次数最高，是1；是一次二项式，因为项或项的次数最高，是1；2a2b8ab3b23是四次四项式，因为8ab3项的次数最高，为4.(4)整式单项式和多项式统称为整式事实上，单项式是不含加减运算的整式，多项式是含加减运算的整式整式的判别判别一个代数式是不是整式，应考虑这个代数式是不是单项式，或者是不是多项式如果它既不是单项式又不是多项式，那么一定不是整式单项式、多项式、整式三者之间的关系可用图表示如下【例2】 多项式26x2y3x8x2y225最高次项的系数是_，它是_次_项式解析：本题中的多项式共有四项，分别是26x2y，3x8，x2y2,25，其中最高次项为3x8(次数为8)，多项式的系数是由最高次单项式决定的，故本题中的最高次项的系数是3，是一个八次四项式答案：3八四解技巧 确定多项式的项和次数需注意的问题(1)找多项式中的项时，应把项前的符号看成性质符号；(2)多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，所以要确定多项式的次数要有一个分析比较的过程3升幂排列与降幂排列众所周知，书写一个多项式总得讲究一个顺序，这不仅有利于读与写，更重要的有利于今后进行多项式的运算这种书写的顺序就是我们整式中研究的多项式的升幂(降幂)排列，即将一个多项式按照某一个字母的指数从小到大(或从大到小)的顺序排列，就叫做对这个多项式按照这个字母的升幂(降幂)排列如，把多项式a2b2a3b23a4b3ab1按a的降幂排列为3a4b32a3b2a2bab1；把多项式a3b34a2b3ab2按b的升幂排列为a34a2b3ab2b3.由此，正确地进行多项式的降幂(升幂)排列必须明确三点：一是对于一个多项式的多个字母必须选定其中的一个字母；二是认定这个字母的指数大小顺序；三是在改变多项式中的单项式的位置时，一定要连同这个单项式前面的系数和符号，特别是负号谈重点 升幂(或降幂)排列都是针对同一字母升幂排列或降幂排列都是针对于某一字母来讲的，其理论依据是加法的交换律【例3】 把多项式x5y54x4y15x3y28x2y3重新排列：(1)按y的降幂排列；(2)按y的升幂排列分析：分3步思考：这个多项式共有五项，各项分别是x5，y5，4x4y，15x3y2，8x2y3(特别要注意每一项都包括它前面的符号)；每一项中字母y的指数分别是0,5,1,2,3(注意：x5不含y，它是y的0次项)；按照要求排列(在交换加数位置时每一项都包括它前面的符号)解：(1)y58x2y315x3y24x4yx5；(2)x54x4y15x3y28x2y3y5.释疑点 对多项式升幂(或降幂)排列需注意的问题(1)通过重新排列多项式，使多项式整齐、美观，也加深我们对项的特征的正确理解，移动某一项时，必须包括该项的系数，特别是符号，否则重新排列后的多项式与原来的多项式不等值；(2)在排列时，这个字母的指数，依次递增或递减时，可能有的项不存在，即缺少某些项，凡缺少的项的系数一定是0，反之，若使某项不存在，只要这项的系数等于0即可4单项式系数和次数的确定判断一个代数式是否是单项式，关键是看式子中的数与字母，字母与字母之间是否只有乘法运算和乘方运算，如果含加、减运算，那它就不是单项式；此外，有分母的分母中不能含有字母单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数单项式的系数：单项式中的数字因数求单项式的系数和次数时，要注意：(1)圆周率是常数，所以在求单项式的系数时，不要漏掉；(2)当单项式的系数是1，1时通常不写，如ab2，ax2等；(3)单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如2x2写成x2；(4)单项式的系数包括它前面的符号【例41】 找出下列代数式中的单项式，并指出它的系数和次数(1)；(2)r2；(3)a2bc；(4)；(5)a；(6)1.25103x2y；(7)；(8)1.分析：本题考查了单项式的系数和次数的概念，根据概念解答即可解：单项式有(2)，(3)，(5)，(6)，(7)，(8)；系数分别是，1,1.25103，1；次数分别是2,4,1,3，5,0.【例42】 如果(a3)mb1n是关于m，n的一个四次单项式，则a_，b_.解析：分两步思考：(1)由题意，a3是这个单项式的系数，如果a30，则整个单项式为0，就不是四次单项式了，所以a3；(2)根据单项式的次数的概念，有1(b1)4，求b即可答案：不等于3的数25.多项式项数和次数的确定几个单项式的和叫做多项式，多项式里要含有加减运算，而且多项式必须符合整式的标准，即分母里面不含有字母一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数判断一个多项式的次数，必须逐一计算多项式中各项的次数，再从中找出最高的次数作为多项式的次数多项式的项数是多项式中单项式的个数，带有分母的多项式的项数一般看分子有几项就是几项式例如多项式，它的分子有3项，次数最高项的次数是1，所以就是一个一次三项式【例51】 指出下列代数式中的多项式，并说明是几次几项式(1)abc；(2)xy；(3)3x24x2；(4)a2abb2；(5)；(6)a2b2ab.分析：多项式的识别关键：至少由两个或两个以上单项式的和构成，即从表面上看要含有“”号或“”号，另外要求每一项均是单项式解：多项式有(2)，(3)，(4)，(5)，(6)；它们分别是一次二项式，二次三项式，二次三项式，四次二项式，二次三项式【例52】 已知多项式2x2a1y2x3y3是7次多项式，则a_.解析：多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数，本题中，第二项和第三项的次数分别是6和5，因而只能考虑第一项的次数是7，从而有2a127，求a即可答案：26按规律排列单项式解决这类规律排列题时必须认真观察、分析、猜想，因为不同的单项式它们的系数以及字母的指数会有所不同，所以解决规律题，就要从单项式的系数和单项式所含字母的指数两方面来分析解题时，一方面要分析系数的规律；另一方面要分析字母指数的规律【例6