高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 理.ppt

7 3二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 一般地 二元一次不等式ax by c 0在平面直角坐标系中表示直线ax by c 0某一侧所有点组成的 我们把直线画成虚线以表示区域边界直线 当我们在坐标系中画不等式ax by c 0所表示的平面区域时 此区域应边界直线 则把边界直线画成 2 由于对直线ax by c 0同一侧的所有点 x y 把它的坐标 x y 代入ax by c 所得的符号都 所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点 x0 y0 作为测试点 由ax0 by0 c的即可判断ax by c 0表示的直线是ax by c 0哪一侧的平面区域 1 二元一次不等式表示的平面区域 知识梳理 平面区域 不包括 实线 包括 符号 相同 2 线性规划相关概念 一次 最大值 最小值 一次 线性约束条件 可行解 最大值 最小值 最大值 最小值 画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界 特殊点定域 1 直线定界 不等式中无等号时直线画成虚线 有等号时直线画成实线 2 特殊点定域 若直线不过原点 特殊点常选原点 若直线过原点 则特殊点常选取 0 1 或 1 0 来验证 3 重要结论 1 利用 同号上 异号下 判断二元一次不等式表示的平面区域对于ax by c 0或ax by c0时 区域为直线ax by c 0的上方 2 当b ax by c 0时 区域为直线ax by c 0的下方 2 最优解和可行解的关系最优解必定是可行解 但可行解不一定是最优解 最优解不一定唯一 有时唯一 有时有多个 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集 2 不等式ax by c 0表示的平面区域一定在直线ax by c 0的上方 3 点 x1 y1 x2 y2 在直线ax by c 0同侧的充要条件是 ax1 by1 c ax2 by2 c 0 异侧的充要条件是 ax1 by1 c ax2 by2 c 0 4 第二 四象限表示的平面区域可以用不等式xy 0表示 5 线性目标函数的最优解是唯一的 6 最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解 7 目标函数z ax by b 0 中 z的几何意义是直线ax by z 0在y轴上的截距 1 下列各点中 不在x y 1 0表示的平面区域内的是a 0 0 b 1 1 c 1 3 d 2 3 考点自测 答案 解析 答案 解析 a 0b 3c 4d 5 答案 解析 几何画板展示 答案 解析 0 几何画板展示 5 教材改编 投资生产a产品时 每生产100吨需要资金200万元 需场地200平方米 投资生产b产品时 每生产100吨需要资金300万元 需场地100平方米 现某单位可使用资金1400万元 场地900平方米 则上述要求可用不等式组表示为 用x y分别表示生产a b产品的吨数 x和y的单位是百吨 答案 解析 用表格列出各数据 所以不难看出 x 0 y 0 200 x 300y 1400 200 x 100y 900 题型分类深度剖析 例1 1 不等式 x 2y 1 x y 3 0在坐标平面内表示的区域 用阴影部分表示 应是下列图形中的 题型一二元一次不等式 组 表示的平面区域 命题点1不含参数的平面区域问题 答案 解析 答案 解析 命题点2含参数的平面区域问题 答案 解析 又 当m 3时 不满足题意 应舍去 m 1 答案 解析 几何画板展示 不等式组表示的平面区域如图所示 思维升华 1 求平面区域的面积 首先画出不等式组表示的平面区域 若不能直接画出 应利用题目的已知条件转化为不等式组问题 从而再作出平面区域 对平面区域进行分析 若为三角形应确定底与高 若为规则的四边形 如平行四边形或梯形 可利用面积公式直接求解 若为不规则四边形 可分割成几个三角形分别求解再求和即可 2 利用几何意义求解的平面区域问题 也应作出平面图形 利用数形结合的方法去求解 答案 解析 几何画板展示 由图可知 当m 1时 函数y 2x的图象上存在点 x y 满足约束条件 故m的最大值为1 a 1b 1c 0d 2 答案 解析 题型二求目标函数的最值问题 命题点1求线性目标函数的最值 答案 解析 命题点2求非线性目标函数的最值 解答 几何画板展示 如图中阴影部分所示 z的取值范围是 2 2 若z x2 y2 求z的最大值与最小值 并求z的取值范围 解答 z x2 y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方 因此x2 y2的最小值为oa2 最大值为ob2 z的取值范围是 1 5 引申探究 解答 2 若z x2 y2 2x 2y 3 求z的最大值 最小值 解答 命题点3求参数值或取值范围 5 答案 解析 显然 当m 2时 不等式组表示的平面区域是空集 当m 2时 不等式组表示的平面区域只包含一个点a 1 1 此时zmin 1 1 0 1 显然都不符合题意 平面区域为一个三角形区域 由图可知 当直线y x z经过点c时 z取得最小值 答案 解析 作出不等式组表示的可行域 如图 阴影部分 思维升华 1 先准确作出可行域 再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值 2 当目标函数是非线性的函数时 常利用目标函数的几何意义来解题 3 当目标函数中含有参数时 要根据临界位置确定参数所满足的条件 答案 解析 a 2b 1c 1d 2 对于选项a 当m 2时 可行域如图 直线y 2x z的截距可以无限小 z不存在最大值 不符合题意 故a不正确 对于选项b 当m 1时 mx y 0等同于x y 0 可行域如图 直线y 2x z的截距可以无限小 z不存在最大值 不符合题意 故b不正确 对于选项c 当m 1时 可行域如图 当直线y 2x z过点a 2 2 时截距最小 z最大为2 满足题意 故c正确 对于选项d 当m 2时 可行域如图 直线y 2x z与直线ob平行 截距最小值为0 z最大为0 不符合题意 故d不正确 答案 解析 题型三线性规划的实际应用问题 例6某玩具生产公司每天计划生产卫兵 骑兵 伞兵这三种玩具共100个 生产一个卫兵需5分钟 生产一个骑兵需7分钟 生产一个伞兵需4分钟 已知总生产时间不超过10小时 若生产一个卫兵可获利润5元 生产一个骑兵可获利润6元 生产一个伞兵可获利润3元 1 试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润 元 解答 2 怎样分配生产任务才能使每天的利润最大 最大利润是多少 解答 目标函数为 2x 3y 300 作出可行域 如图所示 作初始直线l0 2x 3y 0 平移l0 当l0经过点a时 有最大值 最优解为a 50 50 此时 max 550元 故每天生产卫兵50个 骑兵50个 伞兵0个时利润最大 且最大利润为550元 思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤 1 审题 仔细阅读材料 抓住关键 准确理解题意 明确有哪些限制条件 借助表格或图形理清变量之间的关系 2 设元 设问题中起关键作用 或关联较多 的量为未知量x y 并列出相应的不等式组和目标函数 3 作图 准确作出可行域 平移找点 最优解 4 求解 代入目标函数求解 最大值或最小值 5 检验 根据结果 检验反馈 跟踪训练3某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机 每台a型或b型电视机所得利润分别为6和4个单位 而生产一台a型和b型电视机所耗原料分别为2和3个单位 所需工时分别为4和2个单位 如果允许使用的原料为100个单位 工时为120个单位 且a型和b型电视机产量分别不低于5台和10台 应当生产每种类型电视机多少台 才能使利润最大 解答 设生产a型电视机x台 b型电视机y台 线性目标函数为z 6x 4y 根据约束条件作出可行域如图中阴影部分整点所示 作直线l0 3x 2y 0 当直线l0平移至点a时 z取最大值 所以生产两种类型电视机各20台时 所获利润最大 含参数的线性规划问题 现场纠错系列8 1 含参数的平面区域问题 要结合直线的各种情况进行分析 不能凭直觉解答 2 目标函数含参的线性规划问题 要根据z的几何意义确定最优解 切忌搞错符号 错解展示 典例 1 在直角坐标系xoy中 若不等式组表示一个三角形区域 则实数k的取值范围是 2 已知x y满足约束条件若z ax y的最大值为4 则a 现场纠错 纠错心得 解析 1 如图 直线y k x 1 1过点 1 1 作出直线y 2x 当k2时 不等式组表示一个三角形区域 2 由不等式组表示的可行域 可知z ax y在点a 1 1 处取到最大值4 a 1 4 a 3 答案 1 1 0 2 2 2 3 返回 解析 1 直线y k x 1 1过定点 1 1 当这条直线的斜率为负值时 该直线与y轴的交点必须在坐标原点上方 即直线的斜率为 1 只有此时可构成三角形区域 2 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示 z ax y等价于y ax z 因为z的最大值为4 即直线y ax z的纵截距最大为4 若z ax y在a 1 1 处取得最大值 则纵截距必小于2 故只有直线y ax z过点 2 0 且 a 0时符合题意 4 a 2 0 即a 2 答案 1 1 2 2 返回 课时作业 1 若点 m 1 在不等式2x 3y 5 0所表示的平面区域内 则m的取值范围是a m 1b m 1c m1 答案 解析 由2m 3 5 0 得m 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 直线2x y 10 0与不等式组表示的平面区域的公共点有 答案 解析 a 0个b 1个c 2个d 无数个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由不等式组画出可行域的平面区域如图 阴影部分 直线2x y 10 0恰过点a 5 0 且其斜率k 2 kab 即直线2x y 10 0与平面区域仅有一个公共点a 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 求a b两点的坐标分别为和 1 0 若原不等式组表示的平面区域是一个三角形 则a的取值范围是0 a 1或a 不等式组表示的平面区域如图 阴影部分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 2016 天津 设变量x y满足约束条件则目标函数z 2x 5y的最小值为 答案 解析 a 4b 6c 10d 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由约束条件作出可行域如图所示 平移该直线 易知经过点a时z最小 又知点a的坐标为 3 0 zmin 2 3 5 0 6 故选b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 设x y满足约束条件则z 2x y的最大值为 答案 解析 a 10b 8c 3d 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 画出可行域如图所示 由z 2x y 得y 2x z 欲求z的最大值 可将直线y 2x向下平移 当经过区域内的点 且满足在y轴上的截距 z最小时 即得z的最大值 如图 可知当过点a时z最大 即a 5 2 则zmax 2 5 2 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 某公司生产甲 乙两种桶装产品 已知生产甲产品1桶需耗a原料1千克 b原料2千克 生产乙产品1桶需耗a原料2千克 b原料1千克 每桶甲产品的利润是300元 每桶乙产品的利润是400元 公司在生产这两种产品的计划中 要求每天消耗a b原料都不超过12千克 通过合理安排生产计划 从每天生产的甲 乙两种产品中 公司共可获得的最大利润是a 1800元b 2400元c 2800元d 3100元 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设每天生产甲种产品x桶 乙种产品y桶 则根据题意得x y满足的约束条件为 设获利z元 则z 300 x 400y 画出可行域如图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 画出直线l 300 x 400y 0 即3x 4y 0 平移直线l 从图中可知 当直线过点m时 目标函数取得最大值 即m的坐标为 4 4 zmax 300 4 400 4 2800 元 故选c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a 2b 2c 1d 1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 作出不等式组对应的平面区域如图 由图象可知当p位于点d 1 0 时 直线ap的斜率最小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 作出可行域 如图所示 则目标函数z x 2y在点 1 0 处取得最大值1 在点 1 1 处取得最小值 3 a 1 b 3 从而可知方程x2 kx 1 0在区间 3 1 上有两个不同实数解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 令f x x2 kx 1 10 若关于x y的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形 则其表示的区域面积为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 直线kx y 1 0过点 0 1 要使不等式组表示的区域为直角三角形 只有直线kx y 1 0垂直于y轴 如图 1 或与直线x y 0垂直 如图 2 时才符合题意 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 已知变量x y满足约束条件若目标函数z ax y 其中a 0 仅在点 3 0 处取得最大值 则a的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 11 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设z 则z 的几何意义为动点p x y 到定点d 1 1 的斜率 画出可行域如图阴影部分所示 则易得z kda kdb 易得z 1 5 z 1 2 z 3 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 已知