2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案第41讲 解不等式.doc

第一讲 解不等式本节主要内容为高次不等、分式不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式、含绝对值的不等式的解法解不等式的根据是不等式的性质和不等式的同解原理解不等式与解方程以及寒暑地图象、性质有着较为密切的联系，它们互相转化、相互渗透，又有所区别A类例题例1 解不等式解：对任意x，因此该式可省略，再把6x变为x6，不等号方向作相应改变，即原不等式与不等式同解用数轴标根法1046原不等式的解集为说明：高于二次的不等式称为高次不等式解高次不等式一般都将多项式尽可能地分解，使每个因式成为一次或二次式，而且各因式中x的最高次数的那一项的系数应为正数链接：早年，人们解高次不等式都要列表，过程有点繁1977年美国人普鲁特和莫里（M.H.protter, C.B.Morrey）将列表法简化为数轴上直接表示的方法，既快捷又方便，答案在数轴上一目了然例2 解不等式解：（1）当x0时，原不等式化为；（2）当x0，解关于x的不等式3. 设函数，其中a0，解不等式 （2000年全国高考题.理科）B类例题例4 解不等式分析：这是一个指数不等式注意到其底数4、6、9有如下关系，因此类似于解指数方程，可以将不等式两边同除以解：原不等式化为令，则 ，则有原不等式的解为说明：为减函数，疏忽了这一点，解的最后一步就会出错解指数不等式一般应先解出的范围，进而再求x的范围例5 若，解不等式解：令，由对数换底公式，原不等式化为由数轴标根法得：302，注意到说明：由，得，注意到中，因此这部分的结果应是如仅写成那就不正确了例6 使成立的x的取值范围是_ （2003年全国高考题.理科）分析：不等式的左边是含x的对数式，右边是x的一次式，这种不等式用通常的推理方法是无法求解的，因此考虑图象法解：如下图，在同一坐标系内分别作出函数与的图象（它们的共同定义域为）从图象上看出，当且仅当时，的图象在图象的上方，因此x的取值范围为0xyy=log2(x)y= x1(x0)例7 解不等式 1. 2. （2004年全国联赛四川省初赛） 3. 解：1. 原不等式化为 （1） 或 （2）对于（1）解得，对于（2）解得取其并集，因此原不等式解集为2. 原不等式化为，因此，原不等式解集为3. 分析：则，则数1和2将数轴分为三段，依据绝对值的定义，通过分段讨论把绝对值的不等式化为不含绝对值的不等式解法一 划分区间分类讨论：时，原不等式化为时，原不等式化为时，原不等式化为综上，原不等式解集为解法二 构造函数，画图象：令，可得，在同一坐标系内作出和的图象，可求得A（0，3），B（6，9）因为，所以原不等式解集为 0xyy=g (x)y=f(x)AB 说明：本例三个小题的解法在对待含绝对值的不等式上，具有普遍意义，是通法链接：一般地，与或同解，与同解有些不等式用图象法既准确又直观，在特定条件下这种做法别的方法不能取代例8 设实数a，b满足不等式，试确定a，b的正、负解：由已知得，由于，因此立得，约去-a得，a为负数且b为正数链接：如a，b是实数，则这是去掉绝对值的又一途径情景再现4. 不等式的解是_ （2003年上海高中数学奥林匹克）5. 设 （，），求使y为负值的x的取值范围 （上海1998年高考题）6. 求函数的定义域 （上海1989年高考题）7. 1）不等式的解集是_ （2003年全国联赛题） 2）不等式组的解集为_ （1997年全国高考题） 3）的解集为_C类例题例9 若关于x的不等式的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和不小于4，则实数a的取值范围为_ （2001年上海高中数学奥林匹克）分析：区间的长度取决于数轴上点与点的距离因此本题应从整体着眼研究根的分布，应用韦达定理如果求一个个根的数值势必会陷入繁冗的计算之中，解题效率极低解：，令，则方程及都各有两个实根，容易判断这两个方程的根有两正两负，而且互不相等设的根为，不妨设又设的根为，则，令，由韦达定理，所以我们证明反证：设，又 （），这样便有，此与已有事实矛盾，故再由及，得因此有原不等式等价于，由数轴标根法，得原不等式解为，区间长度之和为x10x2x3x4由题设，这就是a的取值范围说明：以上过程稍长，主要是对根的分布情况作了严格论证，解填空题，只要关键之处能把握得准，中间过程可大大压缩例10 设为常数，对任意的正整数，且有，求的取值范围 （据2003年全国高考天津卷试题改编）解：由的表达式，对于任意正整数，等价于 （1）i） 当时，（1）式即为，为单调增，因此此时应小于的最小值（）时，得ii） 当时，（1）式即为，此时应大于的最大值（）时，即对取奇数或偶数时，总有，那么说明：由于与的差式中含有，而的符号不确定，因此对分奇数和偶数讨论就是顺理成章的事，当然也是解这道题的必经之路例11 解不等式解：原不等式化为 一、 或 二、不等式组一化为不等式组二化为1）时，即，解集为2）时，原不等式二化为，由于 （时取等号），因此不等式解为3）时，原不等式二化为，由于 （时），因此不等式解为将不等式组一、二并便得原不等式解为：时，时，时，说明：对含参数的不等式，除去原有的基本解法之外，还要学会讨论，讨论要把握住时机和线索本题就是以的取值为线索，条理清楚有分有合，不重复不遗漏，步步紧扣，一气呵成善于讨论是学好数学的必备基本功例12 1. 设，证明 2. 解不等式1. 证明：，因此40uy=log5(1+u)y=log4uy2. 分析：原不等式等价于不等式，直觉告诉我们时，令 （），画个图象试试： 据图象猜测时，解：1）时，据本题1所证，因此是原不等式的解2）时，3）时，据本题1，时，可得综合1），2），3）知，原不等式的解是情景再现8. 解不等式 （） （1999年全国高考试题）9. 已知，设 P：函数在R上单调递减Q：不等式的解集为R如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围 （2003年全国高考试题）10. 已知数列的首项，且 （），求使不等式成立的最小正整数 （2005年上海TI杯高二年级数学奥林匹克）习题一A类1. 解不等式2. 设集合，若，求实数的取值范围 （1999年上海高考试题）3. 解不等式B类4. 已知，试求使方程有解的的取值范围（1989年全国高考试题）5. 解不等式6. 设，其中是实数，是任意给定的自然数，且如果当时有意义，求的取值范围（1990年全国高考试题）7. 已知对实数a，b，不等式无解，求证8. ，解不等式 （2000年莫斯科大学数力系入学试题）9. 解不等式C类10. 解不等式11. 已知总满足关于的不等式，求实数的取值范围12. 关于的不等式 （）在上恒成立，求实数的取值范围本节情景再现解答1. 原不等式化为021 原不等式解集为2. 原不等式化为 （1）或 （2），对于（1）解得，对于（2）解得，因此原不等式解集为3. ，由此得（已知常数），所以原不等式等价于，所以当时，所给不等式的解集为；当时，所给不等式的解集为4. 原不等式化为，当时，所以不是不等式的解时，因此也不是不等式的解时，也就是，因此原不等式的解为5. 据已知 当时，解为 当时，解为 当时，解为6. 原问题化为解不等式组，所以函数的定义域为7. 1），由原不等式分解可得，由此得所求不等式解集为 2）原不等式化为，此即原不等式的解 3）原不等式化为，因此原不等式的解集为8. 原不等式等价于当时，得所求解是当时，得所求解是9. 函数单调减，不等式的解集为函数在R上恒大于1因为，所以，于是应有如果P正确，且Q不正确，则如果P不正确，且Q正确，则所以的取值范围是，本题也可以使用图象法10. 容易求得该数列的通项公式为，所以所求最小正整数本节习题解答1. 原不等式等价于，得2. 由得，所以，由得， ，因为，所以，于是3. 图象法，及0xy130xy130xy130xy130xy13时，无解 时，解为 时，解为时，解为 时，无解4. 原方程的解应满足，由（1）得，时无解时，解为，将此代入（2）得，即当在集合内取值时，原方程有解5. 解法一：原不等式化为1）如，则有2）如，则有或，得综合1），2）得原不等式的解为解法二：三角代换，令，原不等式化为， ，即6. 当时有意义的条件是，即，在上都是增函数，从而它在时取得最大值，因此就是的取值范围7. 依题意，对任意实数均有，取特殊值，依次有，相加得，即8. 原不等式化为 （1）或 （2）不等式