高考数学 第七章第7课时 知能演练轻松闯关 新人教A版(1).doc

2014年高考数学 第七章第7课时 知能演练轻松闯关 新人教a版一、选择题1在正方体abcda1b1c1d1中，若e为a1c1的中点，则直线ce垂直于()aacbbdca1d da1a解析：选b.以a为原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，则a(0,0,0)，c(1,1,0)，b(1,0,0)，d(0,1,0)，a1(0,0,1)，e(，1)，(，1)，(1,1,0)，(1,1,0)，(0,1，1)，(0,0，1)，显然00，即cebd.2.(2012高考陕西卷)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱abca1b1c1，cacc12cb，则直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为()a. b.c. d.解析：选a.不妨令cb1，则cacc12.可得o(0,0,0)，b(0,0,1)，c1(0,2,0)，a(2,0,0)，b1(0,2,1)，(0,2，1)，(2,2,1)，cos，0，与的夹角即为直线bc1与直线ab1的夹角，直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为.3已知正方体abcda1b1c1d1，则直线bc1与平面a1bd所成的角的正弦值是()a. b.c. d.解析：选c.建立空间直角坐标系如图所示设正方体的棱长为1，直线bc1与平面a1bd所成的角为，则d(0,0,0)，a(1,0,0)，a1(1,0,1)，b(1,1,0)，c1(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)设n(x，y，z)是平面a1bd的一个法向量，则，令z1，则x1，y1.n(1,1,1)，sin |cosn，|.4.(2013晋城调研)如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，棱长为a，m，n分别为a1b和ac上的点，a1mana，则mn与平面bb1c1c的位置关系是()a相交 b平行c垂直 d不能确定解析：选b.分别以c1b1，c1d1，c1c所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系a1mana，m(a，a，)，n(a，a，a)(，0，a)又c1(0,0,0)，d1(0，a,0)，(0，a,0)0，.是平面bb1c1c的一个法向量，且mn平面bb1c1c，mn平面bb1c1c.二、填空题5已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为_解析：cosm，n，m，n，两平面所成二面角的大小为或.答案：或6.如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，o是底面a1b1c1d1的中心，则点o到平面abc1d1的距离为_解析：以d为原点，da，dc，dd1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则a(1,0,0)，b(1,1,0)，d1(0,0,1)，c1(0,1,1)，o(，1)，设平面abc1d1的法向量n(x，y，z)，由，得，令x1，得n(1,0,1)又(，0)，o到平面abc1d1的距离d.答案：三、解答题7(2013宜昌模拟)已知四棱锥pabcd的直观图(如图)及侧视图(如图)，底面abcd是边长为2的正方形，平面pab平面abcd，papb.(1)求证：adpb；(2)求异面直线pd与ab所成角的余弦值；(3)求平面pab与平面pcd所成锐二面角的大小解：(1)证明：取ab的中点o，连接po，则poab，adpb.(2)过o作ad的平行线为x轴，ob，op所在直线分别为y，z轴，建立空间直角坐标系，则a(0，1,0)，d(2，1,0)，b(0,1,0)，c(2,1,0)由已知侧视图知po2，故p(0,0,2)(2，1，2)，(0,2,0)cos，即异面直线pd与ab所成角的余弦值为.(3)平面pab的一个法向量n(1,0,0)设平面pcd的一个法向量m(x，y，z)，则即xz.取m(，0，)，cosn，m，即所求锐二面角的大小为.8.如图所示，点p在正方体abcdabcd的对角线bd上，pda60.(1)求dp与cc所成角的大小；(2)求dp与平面aadd所成角的大小解：如图所示，以d为原点，da为单位长度建立空间直角坐标系dxyz.则(1,0,0)，(0,0,1)连接bd，bd.在平面bbdd中，延长dp交bd于h.设(m，m,1)(m0)，由已知，60，|cos，可得2m.解得m，所以.(1)因为cos，所以，45，即dp与cc所成的角为45.(2)平面aadd的一个法向量是(0,1,0)因为cos，所以，60.可得dp与平面aadd所成的角为30.9(2013山西省适应性训练)如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是边长为1的正方形，pa平面abcd，paab，m，n分别是线段pb，ac上的动点，且不与端点重合，pman.(1)求证：mn平面pad；(2)当mn的长最小时，求二面角amnb的余弦值解：(1)证明：过m作ba的平行线交pa于点e，过n作ba的平行线交ad于f点，连接ef，设pmana.因为menf，menfa，所以四边形mefn为平行四边形，所以mnef.又因为ef平面pad，mn平面pad，所以mn平面pad.(2)由(1)知mnef，在rteaf中，设afx，则可求得ea1x.所以mn2ef2af2ea2x2(1x)2，当且仅当x时取等号，此时mn的长最小，且m，n分别为pb，ac的中点如图，以a为坐标原点，射线ab为x轴的正半轴建立空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，m(，0，)，n(，0)，b(1,0,0)，所以(，0，)，(，0)，(，0，)，(，0)设平面amn的法向量为m(x，y，z)，则，即，令x1，可取m(1，1，1)设平面bmn的法向量为n(x1，y1，z1)，则，即，令x11，则可取n(1,1,1)所以cosm，n，故二面角amnb的余弦值为.1(2012高考湖南卷)如图所示，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，ab4，bc3，ad5，dababc90，e是cd的中点(1)证明：cd平面pae；(2)若直线pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等，求四棱锥pabcd的体积解：法一：(1)证明：如图，连接ac.由ab4，bc3，abc90得ac5.又ad5，e是cd的中点，所以cdae，因为pa平面abcd，cd平面abcd，所以pacd，而pa，ae是平面pae内的两条相交直线，所以cd平面pae.(2)过点b作bgcd，分别与ae，ad相交于点f，g，连接pf.由(1)cd平面pae知，bg平面pae.于是bpf为直线pb与平面pae所成的角，且bgae.由pa平面abcd知，pba为直线pb与平面abcd所成的角由题意pbabpf，因为sinpba，sinbpf，所以pabf.由dababc90知，adbc.又bgcd，所以四边形bcdg是平行四边形，故gdbc3.于是ag2.在rtbag中，ab4，ag2，bgaf，所以bg2，bf.于是pabf.又梯形abcd的面积为s(53)416，所以四棱锥pabcd的体积为vspa16.法二：如图，以a为坐标原点，ab，ad，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设pah，则相关各点的坐标为：a(0,0,0)，b(4,0,0)，c(4,3,0)，d(0，5,0)，e(2,4,0)，p(0,0，h)(1)易知(4,2,0)，(2,4,0)，(0,0，h)因为8800，0，所以cdae，cdap.而ap，ae是平面pae内的两条相交直线，所以cd平面pae.(2)由题设和(1)知，分别是平面pae，平面abcd的法向量而pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等，所以|cos，|cos，|，即.由(1)知，(4,2,0)，(0,0，h)又(4,0，h)，故，解得h.又梯形abcd的面积为s(53)416，所以四棱锥pabcd的体积为vspa16.2.(2012高考福建卷)如图，在长方体abcda1b1c1d1中，aa1ad1，e为cd的中点(1)求证：b1ead1；(2)在棱aa1上是否存在一点p，使得dp平面b1ae？若存在，求ap的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角ab1ea1的大小为30，求ab的长解：(1)证明：以a为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设aba，则a(0,0,0)，d(0，1,0)，d1(0,1,1)，e，b1(a,0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.011(1)10，b1ead1.(2)假设在棱aa1上存在一点p(0,0，z0)，使得dp平面b1ae.此时(0，1，z0)又设平面b1ae的法向量n(x，y，z)n平面b1ae，n，n，得取x1，得平面b1ae的一个法向量n.要使dp平面b1ae，只要n，有az00，解得z0.又dp平面b1ae，存在点p，满足dp平面b1ae，此时ap.(3)连接a1d，b1c，由长方体abcda1b1c1d1及aa1ad1，得ad1a1d.b1ca1d，ad1b1c.又由(1)知b1ead1，且b1cb1eb1，ad1平面dcb1a1，是平面a1b1e的一个法向量，此时(0,1,1)设与n所成的角为，则cos .二面角ab1ea1的大小为30，|cos |cos 30，即，解得a2，即ab的长为2.3如图，平面pac平面abc，abc是以ac为斜边的等腰直角三角形，e，f，o分别为pa，pb，ac的中点，ac16，papc10.(1)设g是oc的中点，证明：fg平面boe；(2)证明：在abo内存在一点m，使fm平面boe，并求点m到oa，ob的距离证明：(1)如图，连结op，以o为坐标原点，分别以ob，oc，op所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系oxyz，则o(0,0,0)，a(0，8,0)，b(8,0,0)，c(0,8,0)，p(0,0,6)，e(0，4,3)，f(4,0,3)，由题意得，g(0,4,0)，因(8,0,0)，(0，4,3)，因此平面boe的法向量为n(0,3,4)，(4,4，3)，n0.又直线fg不在平面boe内，因此有fg平面boe.(2)设点m的坐标为(x0，y0,0)，则(x04，y0，3)因为fm平面boe，所以有n，因此有x04，y0，即点m的坐标为.在平面直角坐标系xoy中，aob的内部区域满足不等式组，经检验，点m的坐标满足上述不等式组，所以在abo内存在一点m，使fm平面boe，由点m的坐标得点m到oa，ob的距离分别为4，.4如图，在长方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是棱bc，cc1上的点，cfab2ce，abadaa1124(1)求异面直线ef与a1d所成角的余弦值；(2)证明af平面a1ed；(3)求二面角a1edf的正弦值解：如图所示，建立空间直角坐标系，点a为