高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 19 利用导数研究函数的最(极)值课件 文.ppt

第三章导数及其应用 第19课利用导数研究函数的最 极 值 课前热身 激活思维 5 2 选修11p76练习2改编 已知函数f x x3 x2 x a 且f x 的极小值为1 则f x 的极大值为 4 选修22p34习题8改编 函数y x sinx x 0 2 的值域为 解析 因为y 1 cosx 0 所以函数y x sinx在 0 2 上是单调增函数 所以值域为 0 2 0 2 5 选修22p34习题7改编 若函数y 3x3 9x a有两个零点 则实数a 解析 由y 9x2 9 0 得x 1或x 1 所以当x 1时 y极小值 a 6 当x 1时 y极大值 a 6 所以a 6 0或a 6 0 所以a 6 6 1 函数的极值若在函数y f x 的定义域i内存在x0 使得在x0附近的所有点x 都有 则称函数y f x 在点x x0处取得极大值 记作 若在x0附近的所有点x 都有 则称函数y f x 在点x x0处取得极小值 记作 知识梳理 f x f x0 y极大值 f x0 f x f x0 y极小值 f x0 2 求函数极值的步骤 1 求导数f x 2 求方程f x 0的所有实数根 3 观察在每个根xn附近 从左到右 导函数f x 的符号如何变化 若f x 的符号由正变负 则f xn 是极大值 若由负变正 则f xn 是极小值 若f x 的符号在xn的两侧附近相同 则xn不是函数f x 的极值点 3 函数的最值若在函数f x 的定义域i内存在x0 使得对于任意的x i 都有 则称f x0 为函数的最大值 记作ymax 若在函数f x 的定义域i内存在x0 使得对于任意的x i 都有 则称f x0 为函数的最小值 记作ymin 4 求函数y f x 在区间 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在区间 a b 上的极值 2 将第一步中求得的极值与f a f b 比较 得到f x 在区间 a b 上的最大值与最小值 f x f x0 f x0 f x f x0 f x0 课堂导学 判断下列函数是否有极值 如果有极值 请求出其极值 如果没有极值 请说明理由 1 y 8x3 12x2 6x 1 思维引导 本题主要应用函数极值的概念和求函数极值的方法求极值 解决本题的关键是先求出导数为零的点 再判断函数在该点的左右邻域的单调性是否相反 利用导数研究函数的极值 例1 精要点评 判断一个函数是否有极值 不能只求解y 0 根据函数极值的定义 函数在某点处存在极值 则在该点的左右邻域应是单调的 并且单调性应相反 运用导数求可导函数y f x 的极值的步骤 1 先求函数的定义域 再求函数y f x 的导数f x 2 求方程f x 0的根 3 检查f x 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 变式1 已知函数f x x2 ax 2a2 3a ex x r 其中a r 1 当a 0时 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线的斜率 思维引导 1 求出x 1的导数值即可 2 利用导数的符号判断单调性 同时考虑极值点 变式2 解答 1 当a 0时 f x x2ex f x x2 2x ex 故f 1 3e 所以曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线的斜率为3e 2 f x x2 2 a x 2a2 4a ex 令f x 0 解得x 2a或x a 2 以下分两种情况讨论 所以f x 在 2a 和 a 2 上为增函数 在 2a a 2 上为减函数 函数f x 在x 2a处取得极大值f 2a 且f 2a 3ae 2a 函数f x 在x a 2处取得极小值f a 2 且f a 2 4 3a ea 2 所以f x 在 a 2 2a 上为增函数 在 a 2 2a 上为减函数 函数f x 在x 2a处取得极小值f 2a 且f 2a 3ae 2a 函数f x 在x a 2处取得极大值f a 2 且f a 2 4 3a ea 2 精要点评 第 2 问中导数符号的判断 关键是看前面二次函数的符号 通过讨论两根大小后 列表判断f x 的符号及f x 的单调性 进而判断出极值点 进而求出极值 利用导数研究函数的最值 例2 已知函数f x ax 2 g x a2x2 lnx 2 其中a r x 0 1 若a 2 求曲线y g x 在点 1 g 1 处的切线方程 2 是否存在负数a 使得f x g x 对一切正数x都成立 若存在 求出a的取值范围 若不存在 请说明理由 思维引导 1 求出切点坐标和在切点处的导数值即可 2 移项后构造新函数 利用导数求出其最大值 只要最大值小于等于0即可 最 极 值的综合应用 例3 精要点评 含参不等式恒成立问题常用分离参数法和函数法来处理 此题分离参数比较困难 所以利用函数的方法处理 利用函数处理时有时可以用数形结合的方法来解决 如二次函数等 2016 苏州 无锡 常州 镇江二调 设函数f x x 2ex k x 2lnx k为实常数 1 当k 1时 求函数f x 的最小值 2 若函数f x 在区间 0 4 内存在三个极值点 求k的取值范围 变式 当x 0时 ex x2 理由如下 要使x 0时 ex x2 只需x 2lnx 课堂评价 1 2015 哈尔滨三中模拟 已知x 2是函数f x x3 3ax 2的极小值点 那么函数f x 的极大值为 解析 因为x 2是函数f x x3 3ax 2的极小值点 即x 2是f x 3x2 3a 0的根 代入x 2 得a 4 所以函数解析式为f x x3 12x 2 则3x2 12 0 即x 2 故函数在 2 2 上是减函数 在 2 2 上是增函数 由此可知当x 2时 函数f x 取得极大值f 2 18 18 3 3 已知函数f x 的导数f x a x 1 x a 若f x 在x a处取到极大值 则实数a的取值范围是 解析 若a 1 易判断f x 在x a处取到极小值 若a 1 f x 在x a处不取极值 若a 1 由题意得 当 1 a 0时 f x 在x a处取得极大值 当a 0时 f x 在x a处取得极小值 综上 实数a的取值范围为 1 0 1 0 4 2016 苏北四市期中 已知函数f x cosx ax2 1 a r 1 求证 函数f x 是偶函数 2 当a 1时 求函数f x 在 上的最大值和最小值 解答 1 函数f x 的定义域为r 因为f x cos x a x 2 1 cosx ax2 1 f x 所以函数f x 是偶函数 2 当a 1时 f x cosx x2 1 则f x sinx 2x 令g x f x sinx 2x 则g x cosx 2 0 所以f x 是增函数 又f 0 0 所以f x 0 所以f x 在 0 上是增函数 又函数f x 是偶函数 故函数f x 在 上的最大值为 2 2 最小值为0 微探究4利用导数研究函数的最值 问题提出导数在研究函数的极值和最值方面的应用问题是高考的一个热点问题 它涉及内容广泛 可以多角度 多层次地考查学生分析问题和解决问题的能力 应用类问题中求最值的问题比较多 这与函数的极值联系紧密 利用导数求函数的最大 小 值 其解题流程是怎样的呢 典型示例已知函数f x x3 ax2 3x 1 若函数f x 在区间 2 上是增函数 求实数a的取值范围 2 若x 3是函数f x 的极值点 求f x 在 1 a 上的最大值和最小值 思维导图 精要点评 1 若函数y f x 在区间 a b 上单调递增 则f x 0 其逆命题不成立 因为f x 0包括f x 0与f x 0 当f x 0时 函数y f x 在区间 a b 上单调递增 当f x 0时 f x 在这个区间内为常函数 同理 若函数y f x 在区间 a b 上单调递减 则f x 0 其逆命题也不成立 2 使f x 0的离散的点不影响函数的单调性 总结归纳求函数f x 在区间 a b 上的最大值与最小值的步骤 求f x 在区间 a b 上的极值 将第一步中所求的极值与f a f b 比较 得到函数f x 在区间 a b 上的最大值与最小值 题组强化1 2015 江苏模拟 函数f x x3 3x2 2在区间 1 1 上的最大值是 解析 f x 3x2 6x 3x x 2 令f x 0 得x 0或x 2 舍去 当 1 x 0时 f x 0 当0 x 1时 f x 0 所以当x 0时 函数取得的极大值即为最大值 所以f x 的最大值为2