高三数学二轮复习 第一篇 专题通关攻略 专题二 函数、导数、不等式 1.2.3 不等式、线性规划课件 理 新人教版.ppt

第三讲不等式 线性规划 知识回顾 1 几个不等式 1 a2 b2 2ab 取等号的条件是当且仅当a b 2 ab a b r 3 a 0 b 0 4 2 a2 b2 a b 2 a b r 当a b时等号成立 2 重要性质及结论 1 ax2 bx c 0 a 0 恒成立的条件是 2 ax2 bx c 0 a 0 恒成立的条件是 易错提醒 1 忽略条件致误 应用基本不等式求最值时 要注意 一正 二定 三相等 三个条件缺一不可 否则会导致结论错误 2 忽视分母不等于零而致误 求解分式不等式时应注意正确进行同解变形 不能把 0直接转化为f x g x 0 而忽略g x 0 3 忽略等号成立的条件致误 在连续使用基本不等式求最值时 应特别注意检查等号是否同时成立 考题回访 1 2016 全国卷 若x y满足约束条件则z x 2y的最小值为 解题指南 画出约束条件表示的平面区域 利用图解法求解 解析 约束条件表示的平面区域如图所示 由则a 1 2 同理可求b 3 4 c 3 0 平移目标函数y 当目标函数经过点b 3 4 时 z取得最小值 最小值为zmin 3 2 4 5 答案 5 2 2016 全国卷 设x y满足约束条件则z 2x 3y 5的最小值为 解析 不等式组所表示的可行域如图阴影部分 平移直线l0 2x 3y 0 当直线过直线2x y 1 0和直线x 2y 1 0的交点时取到最小值 联立可得交点坐标为 1 1 所以z的最小值为z 2 1 3 1 5 10 答案 10 热点考向一不等式的性质及解法命题解读 主要考查利用不等式的性质判断命题的真假以及一元二次不等式的求解 有时会考查含参数不等式恒成立的求参数值 或范围 以选择题 填空题为主 典例1 1 已知实数x y满足axln y2 1 c sinx sinyd x3 y3 2 已知函数f x x 2 ax b 为偶函数 且在 0 单调递增 则f 2 x 0的解集为 a x x 2或x4 d x 0 x 4 解题导引 1 由条件ax ay 0 a 1 可确定x y之间的关系 然后对四个选项进行判断 2 分析题目信息可知 由f x 为偶函数容易得a与b的关系 再利用函数的单调性进行求解 规范解答 1 选d 根据指数函数的性质得x y 此时x2 y2的大小不确定 故选项a b中的不等式不恒成立 根据三角函数的性质 选项c中的不等式也不恒成立 根据不等式的性质知选项d中的不等式恒成立 2 选c 由题意可知f x f x 即 x 2 ax b x 2 ax b 2a b x 0恒成立 故2a b 0 即b 2a 则f x a x 2 x 2 又函数在 0 上单调递增 所以a 0 f 2 x 0即ax x 4 0 解得x4 规律方法 解不等式的策略 1 一元二次不等式 先化为一般形式ax2 bx c 0 a 0 再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集 2 含指数 对数的不等式 利用指数 对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解 题组过关 1 2016 蚌埠一模 若a ln2 b c xdx 则a b c的大小关系为 a a b cb b a cc b c ad c b a 解析 选c 因为ln a ln2 lne 所以a b c的大小关系为b c a 2 2016 武汉二模 已知f x g x x k x 1 若对任意的x1 x2 r 都有f x1 g x2 成立 则实数k的取值范围为 解题指南 求出函数的最值 将不等式f x1 g x2 恒成立等价为f x max g x min 求解即可 解析 选b 当x 1时 f x x2 x 当x 1时 f x log3x 0 则函数f x max g x x k x 1 k x x 1 k 1 若对任意的x1 x2 r 都有f x1 g x2 成立 加固训练 1 2016 广州二模 不等式组的解集记为d 若 a b d 则z 2a 3b的最大值是 a 1b 4c 1d 4 解析 选a 不等式组表示的平面区域的交点坐标分别为a 1 1 b 2 0 c 2 2 za 1 zb 4 zc 2 2 2016 惠州二模 已知集合a x y b x x2 2x 0 则a b a 0 2 b 0 2 c 2 d 2 解析 选b 因为a x y x x 2 b x x2 2x 0 x 0 x 2 则a b 0 2 热点考向二基本不等式的应用命题解读 主要考查利用基本不等式求最值 常与集合 函数等知识交汇命题 以选择题 填空题为主 典例2 1 2016 长沙一模 已知a 0 b 0 a b 的最小值为 a 4b 2c 8d 16 2 2016 开封一模 设a b 0 当a2 取得最小值时 函数f x bsin2x的最小值为 a 3b 2c 5d 4 解题导引 1 先求出ab的值 从而求出的最小值即可 2 根据基本不等式求出a b的值 再利用换元法 求出f x 的最小值即可 规范解答 1 选b 由a b 有ab 1 则 2 选a a2 a2 b2 ab b a b 因为b a b 当且仅当a 2b时取等号 所以当且仅当a2 4时 即a 2时取等号 此时b 1 所以f x 设sin2x t 则t 0 1 所以y t 因为y t在 0 1 上单调递减 所以ymin 1 3 规律方法 利用不等式求最值的解题技巧 1 凑项 通过调整项的符号 配凑项的系数 使其积或和为定值 2 凑系数 若无法直接运用基本不等式求解 可以通过凑系数后得到和或积为定值 从而可利用基本不等式求最值 3 换元 分式函数求最值 通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值 即化为y m bg x a 0 b 0 g x 恒正或恒负的形式 然后运用基本不等式来求最值 4 单调性 应用基本不等式求最值时 若遇等号取不到的情况 则应结合函数的单调性求解 题组过关 1 2016 桂林二模 已知m n为正实数 向量a m 1 b 1 n 1 若a b 则的最小值为 解析 由a b 得m n 1 当且仅当时取等号 即的最小值为3 2 答案 3 2 2 定义运算 x y x y r xy 0 当x 0 y 0时 x y 2y x的最小值为 解析 当x 0 y 0时 x y 2y x 所以所求的最小值为 答案 3 2016 黄冈一模 已知函数f x ln x 若正实数a b满足f 2a f b 1 0 则的最小值是 解析 因为f x ln x f x ln x 所以f x f x ln x x ln1 0 所以函数f x ln x 为r上的奇函数 又y x 在其定义域上是增函数 故f x ln x 在其定义域上是增函数 因为f 2a f b 1 0 所以2a b 1 0 故2a b 1 故 当且仅当时 等号成立 答案 2 3 加固训练 1 2016 莆田一模 已知函数f x 若不等式f x 1 0在x r上恒成立 则实数a的取值范围为 a 0 b 2 2 c 2 d 0 2 解析 选c 由f x 1在r上恒成立 可得当x 0时 2x 1 1 即2x 0显然成立 又x 0时 x2 ax 1 即为当且仅当x 1时 取得最小值2 可得a 2 综上可得a 2 2 设正实数x y z满足x2 3xy 4y2 z 0 则当取得最大值时 的最大值为 解析 当且仅当 即x 2y时 成立 此时z 2y2 故当有最大值1 答案 1 热点考向三线性规划问题命题解读 主要考查线性约束条件 可行域等概念 考查在约束条件下最值的求法 区域面积的求法 以及已知最优解或可行域的情况求参数的值或取值范围 一般为选择题 填空题 命题角度一已知约束条件 求目标函数最值 典例3 1 2015 全国卷 若x y满足约束条件则z x y的最大值为 2 2016 全国卷 某高科技企业生产产品a和产品b需要甲 乙两种新型材料 生产一件产品a需要甲材料1 5kg 乙材料1kg 用5个工时 生产一件产品b需要甲材料0 5kg 乙材料0 3kg 用3个工时 生产一件产品a的利润为2100元 生产一件产品b的利润为900元 该企业现有甲材料150kg 乙材料90kg 则在不超过600个工时的 条件下 生产产品a 产品b的利润之和的最大值为 元 解题导引 1 画出平面区域 平移直线 求出最值 2 可先将应用问题 转化为线性规划问题 再去求解 规范解答 1 画出可行域如图所示 目标函数y x z 当z取到最大值时 y x z的纵截距最大 故将直线移到点d时 zmax 答案 2 设生产a产品x件 b产品y件 根据所耗费的材料要求 工时要求等其他限制条件 构造线性规划约束条件为 目标函数z 2100 x 900y 作出可行域为图中的四边形 包括边界包含的整点 顶点为 60 100 0 200 0 0 90 0 可行域为 z在 60 100 处取得最大值 zmax 2100 60 900 100 216000 答案 216000 命题角度二解决参数问题 典例4 2016 太原一模 已知满足的实数x y所表示的平面区域为m 若函数y k x 1 1的图象经过区域m 则实数k的取值范围是 a 3 5 b 1 1 c 1 3 d 解题导引 由题意 作出不等式组对应的可行域 由于函数y k x 1 1的图象是过点a 1 1 斜率为k的直线l 故由图即可得出其范围 规范解答 选d 作出可行域 如图 因为函数y k x 1 1的图象是过点a 1 1 且斜率为k的直线l 由图知 当直线l过点m 0 2 时 k取最大值 当直线l过点n 1 0 时 k取最小值 故k 规律方法 1 平面区域的确定方法平面区域的确定方法是 直线定界 特殊点定域 二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的区域的交集 2 线性目标函数z ax by最值的确定方法 1 将目标函数z ax by化成直线的斜截式方程 z看成常数 2 根据的几何意义 确定的最值 3 得出z的最值 题组过关 1 2016 九江一模 如果实数x y满足不等式组目标函数z kx y的最大值为6 最小值为0 则实数k的值为 a 1b 2c 3d 4 解析 选b 作出其平面区域如图 a 1 2 b 1 1 c 3 0 因为目标函数z kx y的最小值为0 所以目标函数z kx y的最小值可能在a或b时取得 所以 若在a上取得 则k 2 0 则k 2 此时 z 2x y在c点有最大值 z 2 3 0 6 成立 若在b上取得 则k 1 0 则k 1 此时 z x y 在b点取得的值是最大值 故不成立 2 2015 全国卷 若x y满足约束条件则z