《13.4课题学习最短路径问题的探究》牡丹江市十七中学关继茹.doc

教学设计13.4 课题学习最短路径问题（第1课时） 教学目标： 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想 教学重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题 教学难点： 如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 教材分析:本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题 引入新知: 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题” 探索新知: 问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？追问1 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？ BAl追问2这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 师生活动： 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线 追问3你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 师生活动：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和； （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图） 师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，相互补充. 设计意图：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.分析：求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求学生叙述，教师板书，并画出图形，同时学生在自己的练习本上画图.如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CACB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B，则点C是直线l与AB的交点为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C，连接AC，BC，BC，证明ACCBACCB.如下：师生共同分析，然后学生说明证明过程，教师板书：证明：由作图可知，点B和B关于直线l对称，所以直线l是线段BB的垂直平分线因为点C与C在直线l上，所以BCBC，BCBC.在ABC中，ABACBC，所以ACBCACBC，所以ACBCACCB.问题2对于问题1，如何将点B“移”到l 的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等？ 分析：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CACB最短，这时点C是直线l与AB的交点追问1你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B吗？ 作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B；（2）连接AB，与直线l 相交于点C则点C 即为所求 设计意图：通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架”，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想.追问2你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC由轴对称的性质知， BC =BC ，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB，AC+BC = AC+BC 追问3证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），证明AC +BC AC+BC？这里的“C”的作用是什么？ 师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l 上任意一点（与点C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC +BC 最小设计意图：让学生进一步体会做法的正确性，提高逻辑思维能力. 追问4回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？师生活动：学生回答，并相互补充.设计意图：让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验. 【例1】 在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B；(2)连接AB交直线l于点M. (3)则点M即为所求的点点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题. 运用新知：练习如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径师生活动：学生分析解题思路，并相互补充，然后独立完成画图.基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小” 设计意图：让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法. 归纳小结：1最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求2. 运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题 设计意图：引导学生把握研究问题的基本策略、基本思路和基本方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值. 布置作业：教科书复习题13第15题. 板书设计：13.4 课题学习最短路径问题（第1课时）问题1 问题2 证明：由作图可知，点B和B关于直线l对称，所以直线l是线段BB的垂直平分线因为点C与C在直线l上，所以BCBC，BCBC.在ABC中，ABACBC，所以ACBCACBC，所以ACBCACCB. 教学反思：教学反思本节课，是我参加 “英特尔未来教育”项目培训后回来上的一节实践课。主要是运用问题教学，将问题抛给学生，展开活动，学生小组探究完成，并且展示自己的成果，通过评价量规反应学生的学习情况。第一次上这样的课，没有什么经验，教师的引导作用没有体现出来。参加这样的培训和学习，为了开阔教师的眼界，进行理论知识的学习，更重要的是，这些接受了培训的教师回到自己的岗位后，在自己的教学中如何利用现代信息技术组织学生开展研究性学习，实现现代信息技术与学科教学的整合，进而掀起利用现代信息技术组织学生开展研究性学习的高潮，推动学校教学模式的改变，适应新课改以对教师教学的要求。如何才能使“英特尔未来教育”的教育理念、教学模式在学校领导、教师中深入人心，开花结果，这正是我们所思考的问题，也是我们需要迫切解决的教学反思本节课，是我参加 “英特尔未来教育”项目培训后回来上的一节实践课。主要是运用问题教学，将问题抛给学生，展开活动，学生小组探究完成，并且展示自己的成果，通过评价量规反应学生的学习情况。第一次上这样的课，没有什么经验，教师的引导作用没有体现出来。参加这样的培训和学习，为了开阔教师的眼界，进行理论知识的学习，更重要的是，这些接受了培训的教师回到自己的岗位后，在自己的教学中如何利用现代信息技术组织学生开展研究性学习，实现现代信息技术与学科教学的整合，进而掀起利用现代信息技术组织学生开展研究性学习的高潮，推动学校教学模式的改变，适应新课改以对教师教学的要求。如何才能使“英特尔未来教育”的教育理念、教学模式在学校领导、教师中深入人心，开花结果，这正是我们所思考的问题，也是我们需要迫切解决的现在的数学教学遵循标准的理念，以“生活数学”, “活动思考”为主线展开课程内容，注重体现生活与数学的联系，其中最短路径问题就是这一方面知识与能力的综合运用，其原型来自于“饮马问题”、“造桥选址问题”，出题背景有角、三角形、平行四边形、坐标轴、抛物线等。本节课，主要是运用问题教学，数学知识解决最短路径问题.教师将问题抛给学生，展开活