《应用多元统计分析》各章作业题及部分参考答案.pdf

1 应用多元统计分析 pofeel 各章作业题及部分参考答案各章作业题及部分参考答案 第第 2 章章 参数估计参数估计 1 设随机向量X的均值向量 协方差阵分别为 和 证明 E XX 2 设随机向量 p XN 又设 1r pr YAXb 证明 r YNAb A A 3 设 3 1 2 10 i XNi 则 10 1 ii i WXX 4 设 1 2 16 i X i 来自正态总体 p N X和L分别为该正态总体的样本均值和 样本离差阵 则 21 15 4 4 TXLX 5 设随机向量 123 Xx x x 且协差阵 443 492 3216 则它的相关阵 R 参考答案参考答案 1 因为 V XE XEXXEXE XXEXEXE XX 故 E XX 2 由题意可知 Y服从正态分布 E YE AXbAE XbAb V YV AXbAV X AA A 故 r YNAb A A 3 3 10 W 4 2 15 Tp或者 15 16 p F p np p 5 23 1 38 21 1 36 31 1 86 R 第三章第三章 假设检验假设检验 对某地区农村的 6 名 2 周岁男婴的身高 胸围 上半臂围进行测量 得到样本数据如下 表 根据以往资料 该地区城市 2 周岁男婴的这三项指标的均值 0 90 58 16 现欲在 多元正态性假定下检验该地区农村男婴是否与城市男婴有相同的均值 2 应用多元统计分析 pofeel 表 1 某地区农村男婴的体格测量数据 编号 身高 cm 胸围 cm 上半臂围 cm 1 2 3 4 5 6 78 76 92 81 81 84 60 6 58 1 63 2 59 0 60 8 59 5 16 5 12 5 14 5 14 0 15 5 14 0 解 作如下假设 0010 HH 经计算 求的样本均值向量 82 0 60 2 14 5 x 0 8 2 2 1 5 x 样本协差阵 31 68 040 500 8 043 1721 310 0 51 311 9 S 则 1 0 1863 0 6319 0 3866 0 6319 2 5840 1 6153 0 3866 1 6153 1 5383 S 故 21 00 670 07420 445Tn xSx 查 2 T分布表 得临界值 2 0 05 3 5 46 383T 所以在显著水平0 05 下 拒绝原假设 0 H 即认为农村与城市的 2 周岁男婴在上述指标的均值有显著差异 解法二 利用 F 统计量 查表得 0 05 3 3 9 28F 于是有 2 0 05 1 420 44584 089 3 3 9 28 1 5 np FTF np 所以在显著水平0 05 下 拒绝原假设 0 H 即认为农村与城市的 2 周岁男婴在上述指标 的均值有显著差异 第第 4 章章 叛变分析叛变分析 1 在企业的考核种 可以根据企业的生产经营情况把企业分为优秀企业和一般企业 考核 企业经营状况的指标有 资金利润率 利润总额 资金占用总额 劳动生产率 总产值 职工平 均人数 产品净值率 净产值 总产值 三个指标的均值向量和协方差矩阵如下 现有二个企业 观测值分别为 7 8 39 1 9 6 和 8 1 34 2 6 9 问这两个企业应该属于哪一类 变量 均值向量 协方差阵 优秀 一般 资金利润 13 5 5 4 68 39 40 24 21 41 劳动生产率 40 7 29 8 40 24 54 58 11 67 产品净值率 10 7 6 2 21 41 11 67 7 90 2 设 123 G GG三个组 欲判别某样品 0 x属于何组 已知 123 0 05 0 65 0 3 ppp 3 应用多元统计分析 pofeel 102030 0 10 0 63 2 4f xfxfx 假定误判代价矩阵为 3 设已知有两个正态总体 1 G和 2 G 且 1 2 6 2 4 2 12 11 19 而其 先验概率分别为 12 0 5qq 误判损失为 4 2 1 Ce 1 2 Ce 用 Bayes 判别法 确定样本 3 5 X 属于哪一个总体 参考答案参考答案 1 解 易得 1 0 1193370 027530 28276 0 027530 0331290 025659 0 282760 0256590 854988 12 8 1 10 9 4 5 12 9 45 235 25 8 45 判别函数为 1 12 W xX 9 450 1193370 027530 282768 1 35 25 0 027530 0331290 02565910 9 8 450 282760 0256590 8549884 5 X 将 12 7 88 1 39 134 2 9 66 9 XX 分别代入判别函数得 1 4 0883W X 属于第一类 2 2 2955W X 属于第二类 2 解 要判断 0 x属于哪个总体 只要前计算出 3 个按先验分布加权的误判平均损失 3 00 1 jii i hp C j i f xx 1 2 3j 有 10220330 1 2 1 3 51 39h xp fx Cp fx C 20110330 2 1 2 3 36 05h xp f x Cp fx C 判 别 为 真 实 组 1 G 2 G 3 G 1 G 1 1 0C 2 1 10C 3 1 200C 2 G 1 2 20C 2 2 0C 3 2 100C 3 G 1 3 60C 2 3 50C 3 3 0C 4 应用多元统计分析 pofeel 30110220 3 1 3 2 41 95h xp f x Cp fx C 由于 3 200 1 2 36 05 ii i hp Ci f xx最小 故将 0 x判给 2 G 3 由 Bayes 判别知 11 1212 2 exp exp 424 f x V xxxx fx 其中 12 3 42 1 91 1 118 12 2 4 32 1 1 2 2 1 q C de q C 则 3 ln3 4 W Xd 故 1 XG 第第 6 章章 主成分分析主成分分析 1 设随机向量 123 xx x x 的协方差矩阵为 120 250 002 试求x的主成分及主 成分对变量 i x的贡献率 i v 1 2 3i 2 设 12344 0 Xx xx xN 协差阵 1 1 1 1 01 1 试从 出发求出X的第一总体主成分 2 当 取多大时才能使第一主成分的贡献率达 95 以上 参考答案参考答案 1 解 的特征根分布为 1 5 83 2 2 00 3 0 17 相应的特征向量分别为 1 0 383 0 924 0 000 T 2 0 0 1 T 3 0 924 0 383 0 000 T 故主成分分别为 11223312 0 3830 924 0 9240 383yxxyxyxx 若只取一个主成分 则贡献率 为 5 83 72 875 5 832 000 17 下面求出 3 个主成分对 1 2 3 i x i 的贡献率 i i x与 1 y的相关系数 平方 i x与 2 y的相关系数平方 贡献率 1 0 925 0 855 0 0 0 855 2 0 998 0 996 0 0 0 996 3 0 0 1 1 1 5 应用多元统计分析 pofeel 由此可见 1 y对第三个变量的贡献率为 0 这是因为 3 x与 1 x和 2 x都是线性无关的 在 1 y中没 有包含 3 x的信息 这是只取一个主成分就显得不够了 故应再取 2 y 此时累计贡献率可得 98 875 注 表格中 2 111 111 5 830 38310 925t 2 121 212 2 0 924 50 998t 13 0 2 解 1 由 1 1 0 1 1 得 特 征 根 1 13 234 1 解 1 所对应的方程 1 2 3 4 1 1 0 1 1 x x x x 得 1 对 应 的 特 征 向 量 为 1 1 1 1 1 t 标 准 化 后 得 1 1 2 1 2 1 2 1 2 T 故 第 一 主 成 分 为 11234 1111 2222 yT Xxxxx 2 第一主成分的贡献率为 1 1234 13 95 4 得0 933 第 7 章 因子分析 第 7 章 因子分析 1 设 123 xx x x 的相关系数矩阵通过因子分析分解为 12 1 33 0 93400 128 0 9340 417 0 835 1 100 417 0 8940 027 00 8940 4473 0 8350 4470 103 2 01 3 R 则 1 x的 共同度 2 1 h 1 x的特殊度 2 1 公因子 1 f对x的方差贡献 2 1 g 1 x的方差 11 6 应用多元统计分析 pofeel 2 设标准化变量 123 x xx的协差阵 即为相关阵 为 1 000 630 45 0 631 000 35 0 450 351 00 R 1 计算因子载荷阵A 并建立因子模型 2 计算公因子 j f的方差贡献 2 1 2 3 j gj 并说明其统计意义 第第 9 章章 典型相关分析典型相关分析 设 12 XX X 12 Y Y Y是来自正态总体中的随机向量 已知 X Z Y 的协差阵 1211 2512 1123 1235 1112 2122 试求X Y的第一对典型相关变量和相应的典型相关 系数 解 52 21 1 11 53 32 1 22 则 5211531152 2112321221 1 1 111122221 M 5311521172 3212211241 1 1 2