高三数学一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (45).doc

2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (45)一、选择题1(2010陕西卷文)已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为()a.b1c2d4【答案】c【解析】抛物线y22px(p0)的准线为x，准线与圆相切，圆的方程为(x3)2y216，所以34，解得p2.故选择c.2直线yx3与抛物线y24x交于a、b两点，过a、b两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为p、q，则梯形apqb的面积为()a48 b56 c64 d72【答案】a【解析】如图所示由得x210x90，x11，x29.当x11时，y12.当x29时，y26.不妨令a(9,6)，b(1，2)焦点f(1,0)，由抛物线定义知|bf|bq|2，|af|ap|10，s梯形apqb(62)48.故选择a.3设f为抛物线y24x的焦点，a、b、c为该抛物线上三点，若0，则|()a9 b6 c4 d3【答案】b【解析】由于抛物线y24x的焦点坐标为f(1,0)，由0，可考虑(1,0)，此时，(1,0)，注意到对称性，得a、c.于是，可得|21516.故选择b.4已知抛物线y22px(p0)的焦点为f，点p1(x1，y1)、p2(x2，y2)、p3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3，则有()a|fp1|fp2|fp3|b|fp1|2|fp2|2|fp3|2c2|fp2|fp1|fp3|d|fp2|2|fp1|fp3|【答案】c【解析】抛物线的准线方程为x，由定义得|fp1|x1，|fp2|x2，|fp3|x3，则|fp1|fp3|x1x3x1x3p，2|fp2|2x2p，由2x2x1x3得2|fp2|fp1|fp3|.故选择c.5抛物线y24x上一点a到b(3,2)与到焦点的距离之和最小，则点a的坐标是()a(0,0) b(1,2)c(2,2) d(3,2)【答案】b【解析】设p为抛物线y24x上任一点，过p作抛物线准线l的垂线，垂足为d.连结pf(f为抛物线焦点)由抛物线定义知，|pf|pd|，|pb|pf|pb|pd|.过b作准线l的垂线，交抛物线于a，垂足为c.显然，直线bc之长小于折线bpd之长，因而所求的a点即为bc与抛物线的交点(如图所示)直线bc平行于x轴，且过b(3,2)，所以方程为y2，代入y24x，得x1.a(1,2)故应选b.二、填空题6已知p为抛物线y24x上的任意一点，记点p到y轴的距离为d，对于给定点a(4,5)，则|pa|d的最小值为.【答案】1【解析】设抛物线的焦点为f，则由抛物线的定义可得d|pf|1，|pa|d(|pa|pf|)1，如图所示，连结af，则af与抛物线的交点p即为使|pa|d取最小值时的位置(|pa|d)min|af|11.7探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，镜口直径为80cm，镜深为40cm，光源放在抛物线的焦点处，若镜口直径和镜深都增加10cm，则光源与反射镜顶点的距离增加了cm.【答案】0.125cm【解析】抛物线c1过点a(40,40)知c1：y240x，f1(10,0)抛物线c2过点b(50,45)知c2：y2x，f2.10(cm)8过抛物线x22py(p0)的焦点f作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于a、b两点(点a在y轴左侧)，则.【答案】【解析】如图，作aax轴，bbx轴，则aafobb，.又已知xa0，.直线ab方程为yxtan 30，即yx，与x22py联立得x2pxp20，xaxbp，xaxbp2，xaxbp22(xa2xb22xaxb)，3xa23xb22xaxb0，两边同除以xb2(xb20)得321030，3或.又xaxbp0，xaxb，1，.三、解答题9在直角坐标平面上给定一曲线y22x，(1)设点a的坐标为，求曲线上距点a最近的点p的坐标及相应的距离|pa|；(2)设点a的坐标为(a,0)，ar，求曲线上的点到点a距离的最小值d，并写出df(a)的函数表达式【解析】(1)设m(x，y)为曲线y22x上任意一点，则|ma|22y2x2x2，x0，)，当x0时，|ma|min22，即|ma|min.距点a最近的点p坐标为(0,0)，这时|pa|.(2)依题意得d2(xa)2y2x22axa22xx22(a1)xa2x(a1)2(2a1)x0，)，分a10和a10两种情况讨论当a1时，dmin22a1，即dmin，当a0，椭圆方程为1，抛物线方程为x28(yb)如图所示，过点f(0，b2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为g.已知抛物线在点g的切线经过椭圆的右焦点f1.(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；(2)设a，b分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点p，使得abp为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)【解析】(1)由x28(yb)得yx2b.当yb2时，x4，g点的坐标为(4，b2)，yx，y|x41. 过点g的切线方程为y(b2)x4，即yxb2，令y0得，x2b，f1点的坐标为 (2b,0)由椭圆方程得f1点的坐标为(b,0)，2bb，即 b1，因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为y21和x28(y1) (2)过a作x轴的垂线与抛物线只有一个交点p，以pab为直角的rtabp只有一个，同理以pba为直角的rtabp只有一个若以apb为直角， 设p点的坐标为，则a、b坐标分别为(，0)、(，0)由x2220，得x4x210，关于x2的一元二次方程只有一解，x有两解，即以apb为直角的rtabp有两个，因此抛物线上共存在4个点使abp为直角三角形11已知抛物线x24y的焦点为f，a、b是抛物线上的两动点，且(0)过a、b两点分别作抛物线的切线，设其交点为m.(1)证明：为定值；(2)设abm的面积为s，写出sf()的表达式，并求s的最小值【解析】(1)由已知条件，得f(0,1)，0.设a(x1，y1 )，b(x2，y2)由，即得(x1,1y1)(x2，y21)将式两边平方并把y1x12，y2x22代入得y12y2，解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24.抛物线方程为yx2.求导得yx.所以过抛物线上a、b两点的切线方程分别是yx1(xx1)y1，yx2(xx2)y2，即yx1xx12，yx2xx22.解出两条切线的交点m的坐标为.所以，(x2x1，y2y1)(x22x12)20.所以为定值，其值为0.(2)由(1)知在abm中，fmab，因而s|ab|fm|.|fm|.因为|af|、|bf|分别等于a、b到抛物线准线y1的距离，所以|ab|af|bf|y1y2222，于是s|ab|fm|3，由2，知s4，且当1时，s取得最小值4.12已知曲线c：yx2与直线l：xy20交于两点a(xa，ya)和b(xb，yb)，且xaxb.记曲线c在点a和点b之间那一段l与线段ab所围成的平面区域(含边界)为d.设点p(s，t)是l上的任一点，且点p与点a和点e均不重合(1)若点q是线段ab的中点，试求线段pq的中点m的轨迹方程；(2)若曲线g：x22axy24ya20与d有公共点，试求a的最小值【解析】(1)由解得a(1,1)，b(2,4)设点q，m的坐标分别为q(x1，y1)，m(x，y)，依题意得x1，y1.于是x，y.s，t，1s2，12，即x.又点p(s，t)在曲线c上，ts2.将代入得2，即y2x2x.(2)解法1：曲线g的方程可化为(xa)2(y2)2，这是一个圆心为n(a,2)，半径为的圆设圆g与直线l：xy20相切于点t(xt，yt)，则有，即a.过点n(a,2)与直线l垂直的直线l的方程是y21(xa)，即xy2a0.由解得xt，yt2.当a时，1xt2.1,2分别是d上的点的最小和最大横坐标