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唐山五十四中中考专题第 12 页2020/1/13中 考 数 学 复 习 讲 座第三讲 不等式与不等式组知识要点1 利用不等式的性质解一元一次不等式和一元一次不等式组，并能借助数轴确定不等式（组）的解集。2 会求一元一次不等式（组）的整数解，非负整数解等问题。3 能够根据实际问题建立不等关系，解决应用问题4 能够将一些问题转化为解不等式或不等式组的问题例题分析例1（2002年四川眉山）解不等式：,并把它的解集在数轴上表示出来。分析：解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程相同，只需注意，不等式两边同乘以或除以一个负数时，要改变不等号的方向。解：去分母，得2（2x-1）6-3（2x+1）去括号，得4x-26-6x-3移项，得4x+6x6-3+2合并同类项，得10x5系数化为1，得x1/2x01这个不等式的解集在数轴上表示如右图：例2（2002年福州）解不等式组2（x-1）4-x 3(x+1)5x+7并把它的解集在数轴上表示出来。分析：先分别求出不等式组中各个不等式的解集，然后再确定它们的公共部分。解：解不等式，得x2解不等式，得，x-2原不等式组的解集是：-2x2x210-2在数轴上表示如右图：-1x+y=m+2例3（2002年河南）求使方程组 4x+5y=6m+3的解x、y都是正数的m的取值范围。分析：先用m表示x和y，再解关于m的不等式组 x+y=m+2x=m+7解：解方程组 可以得到 4x+5y=6m+3 y=2m-5由于x、y都是正数m+70m7所以有 解之有 即2.5m7 2m-50 m2.5答：m的取值范围是2.5m7例4（2002年南京）已知：关于x的方程x2-kx-2=0（1） 求证：方程有两个不相等的实数根；（2） 设方程的两根为x1、x2，如果2（x1+x2）x1x2,求k的取值范围分析：求根的差别式，并证明其比零大即可利用根与系数的关系，将x1+x2,x1x2用k表示，进而解关于k的不等式。证明：在方程x2-kx-2=0中，a=1,b=-k,c=-2=b2-4ac=(-k)2-41(-2)=k2+8无论k为何值，k20k2+80即0方程有两个不相等的实数根(2)解：x1+x2=k, x1x2=-2又2（x1+x2）x1x2 2k-2k-1例5（2002年广州）在车站开始检票时，有a(a0)名旅客在候车室排队等候检票进站。检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站。设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候的旅客全部检票完毕。如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？分析：用心体察题目中的情境，认识到已进站的人数原有的a 人+后增加的人数。解：设检票开始后，每分钟新增加的旅客为x人，检票的速度为每个检票口每分钟检y人，5分钟内检票完毕要同时开放n个检票口中？依题意，得a+30x=30y a+10x=210y a+5xn5y由和可以得到x=a/30, y=a/15将x=a/30, y=a/15代入得a+an5aaa0n=3.5答：至少要同时开放4个检票口。例6（2002年泰安）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，现计划用50节A、B两种型号的车厢将这批货物运至北京.已知每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元；甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B节货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，共有几种方案？请你设计出来,并说明哪种方案的运费最少？分析：A、B两种货厢所装的甲种货物和应不小于1530吨，所装的乙种货物和应不小于1150吨。解：设需要A型货厢x节，则需要B型货厢(50-x)节 35x+25(50-x)1530依题意得 15x+35(50-x)1150由得x28由得x3028x30x为整数，x取28，29，30。因此有三种方案。 A型车厢28节，B型车厢22节； A型车厢29节，B型车厢21节； A型车厢30节，B型车厢20节。由题意，当A型车厢为x节时，运费为y万元.则y=0.5x+0.8(50-x)=0.5x+40-0.8x=-0.3x+40显然，当x=30时，y最小，即方案的运费最少。最少运费是31万元。(见下页)第四讲 函数及其图像1直角坐标系及函数概念知识要点（1）会画直角坐标系，并能在直角坐标系中根据点找坐标，根据坐标找点。（2）能确定在实例中的变量、自变量与函数，并能确定简单函数解析式的自变量取值范围。（3）会画简单的函数图象。例题分析例1, (2002年 江西) 在平面直角坐标系中，点(-1，m2+1)一定在( )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限分析：只需判断m2+1的符号即可解：无论m取何值，m20,m2+10因此，点（-1，m2+1）一定在第二象限。例2，（2002年 徐州）点P（1，2）关于x轴对称的点的坐标是_。点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是 （ ）。分析：点P（a，b）关于x轴的对称点为P1（a，-b），关于y轴的对称点为P2（-a，b），关于原点的对称点为P3（-a，-b），据此可求解。解： 点P（1，2）关于x轴对称点的坐标是（1，-2）。点P（1，2）关于原点的对称点的坐标是（-1，-2）。例3（1）（2002年北京海淀） 在函数中，自变量x的取值范围是_.(2)（2002年济南）函数中，自变量x的取值范围是（ ）（）x（）x且x（）x且x（）x分析：求函数自变量的取值范围首先要根据函数解析式的形式，例如解析式中分式的分母不为，偶次根式被开方数不能为负，指数，负整指数的底数不为。其次还应考虑，若为实际应用题。自变量的取值范围除了保证解析式有意义外，还必须使实际问题有意义。解：（）x- x-0 解得x且x（） x01- 解得x且x例，（年呼和浩特）等腰三角形的周长为cm，底边长为ycm，腰长为xcm写出y关于x的函数关系式求x的取值范围求y的取值范围分析：这是一道实际问题，考虑自变量x的取值范围时，不仅看函数解析式的形式，还需考虑实际问题的意义。解：易求y-x（）一方面，x，y，所以x另一方面，由三角形三边关系知x+xy即xy为x-x所以.x（）0y一次函数知识要点掌握一次函数的定义、图象和性质，并能利用待定系数表法求一次函数的解析式例题分析例1,（年上海）m_时，函数ymx3m+5是正比例函数。分析：正比例函数是一次函数的特殊情况，按照正比例函数的定义，必须满足ykx的形式，并且k解：依题意有 mm+ ，解得，m例,（年贵阳）已知一次函数kx+，过点（-，）则_.分析：p在一次函数ykx上，故将p点坐标代入一次函数解析式上即可。解：依题意有2=k（1）5 所以，k=3.例（年，南京）声音在空气中传播的速度y（米秒）是气温x（）的一次函数，下表列出了一组不同气温时的音速：气温x()音速y(米/秒)（1）求y与x之间的函数关系式。（2）气温x时，某人看到烟花燃放秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距多远？分析：（）根据任意两组数值，即可确定一次函数的解析式。（）利用所求的解析式，可求出音速，进而求出相距多远?解（）设所求函数解析式为ykx+b(k0)依题意得 b=331所以 k=0.6 5k+b=334 b=331函数解析式为y.x+().当x时，y.+.+.（米秒）此时，人与燃放的烟花所在地约相距.（米）例,（年福州）某移动公司开设两种业务。“全球通”：先交元月租费，然后每通话一跳次，再付.元；“神州行”：不交月租费，每通话一跳次，付.元，若设一个月内通话x跳次，两种方式的费用分别为y1元和y2元。（跳次：1分钟为1跳次，不足1分钟按1跳次计算。如3.2分钟为4跳次）（1） 写出y1、y2与x之间的函数关系式；（2） 一个月内通话多少跳次时，两种费用相同？（3） 某人估计一个月内通话300跳次，应选择那种合算？分析：（1）显然y1是x的一次函数，而y2是x的正比例函数。（2）只需当y1=y2时，求x的值即可。（3）当x=300时，分别计算y1与y2的值，然后再进行大小比较。解：（1）显然y1=0.4x+50,而y2=0.6x(2)两种费用相同是，即y1=y2，有0.4x+50=0.6x 解得，x=250(3)当x=300时，有y1=0.4300+50=170（元）y2=0.6300=180(元)因为 y10时，开口向上，当a0时，开口向下；对称轴为直线X=-h;顶点坐标为（-h,k）解：在y=-2(X-3)2+5中,a=-20且b0 因此，抛物线y=aX2+bX+1的开口方向向上。因-b/2a0，所以对称轴在y轴的左侧。综上可知（A）满足要求。（2002年 呼和浩特）二次函数y=aX2+bX+c的图象如右所示， y则点M（b/c,a）在（ ）。A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 x 0分析：根据二次函数y=aX2+bX+c的图象，可得到a、b、c的符号，可确定M的位置。解：由于二次函数y=ax2+bx+c的开口向下。所以a0.因对称轴在y轴右侧，即-b/2a0，得b0.对于b/c而言，显然有b/c0.因此M（b/c,a）在第四象限。故选择（D）例5, （2002年 黑龙江）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（-4，0）,（2，6），则这个二次函数的解析式为 。分析：欲求y=aX2+bX+c的解析式，实际上就是求的值。根据所给的两个条件，很容易就能求得。解：因为y=aX2+bX+c 过（-4，0），（2，6）两点所以 （-4）2+（-4）b+c=022+2b+c=6 解得 b=3 c=-4所以，所求的二次函数的解析式为y=X2+3X-4.例6, （2002年 江西）已知抛物线y=-X2+bX+c与x轴的两个交点分别为A(m,o),B(n,o),且m+n=4 , m/n=1/3.求此抛物线的解析式设此抛物线与y轴的交点为C（如下图） y A B 0 x C过C作一条平行于X轴的直线交抛物线于另一点P求 ACP的面积SACP。分析：（1）利用m+n=4，m/n+1/3，求出m, n的值，进而求出A，B两 点坐标代入y=-X2+bX+c之中，即可求得b,c.先求得C点坐标，进而求出P点坐标，利用SACP=1/2CP OC，可求得 ACP的面积。解：（1）由 m+n=4m/n=1/3 解得 m=1 n=3将A（1，0），B（3，0）的坐标代入y=-X2+bX+c得 0=-12+1b+c 0=-32+3b+c 解得 b=4c=-3所以，此抛物线的解折式为y=-X2+4X-3.(2)抛物线y=-X2+4X-3.与y轴相交于点C(0,3),令y=-3,则有-3=-X2+4X-3解之 X1=0 X2=4所以点P的坐标为P（4，-3），CP=4所以SACP=CPOC= 43=6例7（2001年 山东菏泽）已知二次函数y=4X2+mX+m2+m,当m取任一实数值时，它的图象都是一条抛物线。甲同学说：当m取任何不同的数值时，所对应的这些抛物线都是完全相同的形状；乙同学说：m取不同的实数值时，所对应的抛物线的形状也不相同。你认为谁的说法正确，为什么？若m=-1,m=2时，所对应的抛物线的顶点分别为A,B，请你求出直线AB的解析式，并说明，无论m取任何实数值所对应的抛物线的顶点总在直线AB上；当y值增大于零时，试求m的取值范围。分析：（1）抛物线的形状只与二次项的系数有关。（2）求出直线AB的解析式后，只需将抛物线的顶点直接代入验证即可y值增大于零，只需抛物线开口向上且抛物线与x轴无交点。解：（1）因为抛物线的形状，只与二次项的系数有关，所以无论m取任何不同的实数值时，对应的抛物线都与抛物线y=4X2有完全相同的形状。因此，可断定甲同学的说法是正确的。（2）y=4x2+mx+m2+m=4(x+)2+m,顶点为（, m）当m=-1时得A(,-1/16) 当m=2时 得B（，）设直线AB为y=kx+b -=k+b =k+b所以 k=b=0直线AB为y=x把抛物线y=4x2+mx+m2+m的顶点（, m）的入y=x之中验证。完全合适。说明无论m取何值，所对应的抛物线的顶点总在直线AB上；（3）当y增大于零时，需抛物线开口向上，且与x轴无交点。抛物线y=4x2+mx+m2+m开口向上，因此只需抛物线与x轴无交点，即0，=m2+44(m2+m)=-m0.所以当m0时，y的值增大于零。4反比例函数知识要点掌握反比例函数的定义，图象及性质，并能利用特定系数法求反比例函数的解析式。例题分析例1，（2002年 南京）反比例函数y= (k 0)的图象的两个分支分别位于（）A 第一，二象限 B第一，三象限 C第二，四象限 D第一，四象限分析：对于反比例函数y=k/x(k0)而言，当k0时，图象的两个分支分别位于第一，三象限；当k0因此y=k2/x(k0)的图象的两个分支分别位于第一，三象限。故选（B）.例2 （2002年 浙江绍兴）已知点（1，3）是双曲线y=m/x与抛物线y=x2+(k+1)x+m的交点，则k的值等于 。分析：既然点（1，3）是双曲线y=m/x与抛物线y=x2+(k+1)x+m的交点，那么点（1，3）就在y=m/x上，并且也在y=x2+(k+1)x+m上。解： 依题意有 3=m/1 3=12+(k+1)1+m解之 m=3k=-2所以k的值等于-2例3， （2002年 青海）如图，过反比例函数y= (x0)的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是C、D,连结OA,OB,设AC与OB的交点为E，AOE与梯形ECDB的面积分别为S1,S2,比较它们的大小，可得（）A S1S2 B S1=S2 C S10)上，所以， 即有 。SAOC= OCAC= y SBOD= ODBD= ASAOC= SBOD E BSAOC-SOCE=SBOD-SOCE 0 C D xSAOE=梯形ECDB的面积 即S1=S2 故选（B） 例4，(2002年 湖南邵阳)在某电路中，电压保持不变，电流I（安培）与电阻R（欧姆）成反比例，当R=1