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重心

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第十讲重心和形心 目的要求：掌握平面组合图形形心的计算。 教学重点：分割法和负面积法计算形心。 教学难点：对计算形心公式的理解。 教学内容： 3-4 重心和形心 一、重心的概念： 1、重心的有关知识，在工程实践中是很有用的，必须要加以掌握。 2、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。 3、物体的重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。 无论物体怎样放置，重心总是一个确定点，重心的位置保持不变。 二、 重心座标的公式： (1)、重心座标的公式 三、物体质心的坐标公式 在重心坐标公式中，若将G=mg，Gi＝mig代入并消去g，可得物体的质心坐 标公式如下： 四、均质物体的形心坐标公式 若物体为均质的，设其密度为ρ，总体积为V,微元的体积为Vi，则G=ρgV,Gi＝ρgVi，代入重心坐标公式，即可得到均质物体的形心坐标公式如下： 式中V=∑Vi。在均质重力场中，均质物体的重心、质心和形心的位置重合。 五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式： 令式中的∑Ai.xi＝A.xc＝Sy； ∑Ai.yi＝A.yc＝Sx 则Sy、Sx分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一次矩。 六、物体重心位置的求法 工程中，几种常见的求物体重心的方法简介如下： 1、对称法 凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心一定在它的对称面、对称轴和对称中心上。对称法求重心的应用见下图。 2、试验法对于形状复杂，不便于利用公式计算的物体，常用试验法确定其 重心位置，常用的试验法有悬挂法和称重法。 （1）、悬挂法 利用二力平衡公理，将物体用绳悬挂两次，重心必定在两次绳延长线的交点上。 悬挂法确定物体的重心方法见图 (2）、称重法 对于体积庞大或形状复杂的零件以及由许多构件所组成的机械，常用称重法来测定其重心的位置。 例如，用称重法来测定连杆重心位置。如图。 　 设连杆的重力为G ,重心 C点与连杆左端的点相距为Xc，量出两支点的距离L，由磅秤读出B端的约束力FB, 则由 ∑MA(F)=0 FB.L－G.xc＝0 xc＝FB.L/G (3)、分割法： 工程中的零部件往往是由几个简单基本图形组合而成的，在计算它们的形心时，可先将其分割为几块基本图形，利用查表法查出每块图形的形心位置与面积，然后利用形心计算公式求出整体的形心位置。此法称为分割法。 下面是平面图形的形心坐标公式： (4)、负面积法： 仍然用分割法的公式，只不过去掉部分的面积用负值。 3、查表法在工程手册中，可以查出常用的基本几何形体的形心位置计算公式。 下面列出了几个常用的图形的形心位置计算公式和面积公式。 　 四、求平面图形的形心举例 例1 热轧不等边角钢的横截面近似简化图形如图所示，求该截面形心的位置。 解: 方法一（分割法）： 根据图形的组合情况，可将该截面分割成 两个矩形Ⅰ，Ⅱ，C1和C2分别为两个矩形 的形心。取坐标系Oxy如图所示，则矩形Ⅰ， Ⅱ的面积和形心坐标分别为 A1=120mm12mm＝1440mm2 x1＝6mm y1＝60mm A2＝（80-12）mm12mm＝816mm2 x2＝12mm＋（80-12）/20=46mm y2＝6mm 即所求截面形心C点的坐标为（20.5mm，40.5mm） 　 方法二(负面积法)： 用负面积法求形心。计算简图如图。 A1＝80mm120mm＝9600mm2 x1＝40mm y1＝60mm A2=－108mm68mm＝－7344mm2 x1＝12mm＋（80－12)mm/2=46mm y1＝12mm＋（120－12)mm/2=66mm 由于将去掉部分的面积作为负值，方法二又称为负面积法。 例2 试求如图所示图形的形心。已知R＝100mm，r2＝30mm，r3＝17mm。 解:由于图形有对称轴，形心必在对称轴上，建立坐标系Oxy如图所示，只须求出xc，将图形看成由三部分组成，各自的面积及形心坐标分别为 （1）、半径为R的半圆面： A1＝πR2/2＝π(100mm)2/2＝15700mm2 y1＝4R/(3π)＝4100mm/(3π)＝42.4mm (2）、半径为r2的半圆面 A2＝π(r2)2/2＝π(30mm)2/2＝1400mm2 y2＝－4r2/(3π)＝－430mm/(3π)＝－12.7mm （3）、被挖掉的半径为r3的圆面： A3＝－π(r3)2＝－π(17mm)2＝910mm2 y3＝0 (4）、求图形的形心坐标。由式形心公式可求得 即所求截面形心C点的坐标为（0mm，40mm）

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