南通大学附属中学高二数学期中试卷.doc

南通大学附属中学20132014学年度第二学期期中考试高二数学试卷注意事项：本试卷分试题和答卷两部分，共160分，考试时间为120分钟一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答卷纸的相应位置上1抛物线的准线方程为 . 答案：2若函数，则 .答案：03已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦点坐标为 .答案：4已知物体运动方程为，则时的瞬时速度是 . 答案：8 5已知椭圆上一点到左准线的距离为，则它到右焦点的距离为 .答案：6 6曲线在处的切线方程为 .答案：7已知是双曲线的两个焦点，P为双曲线上一点，且满足， 则的面积为 . 答案：18函数的极大值为 .答案：9已知分别是椭圆的上、下顶点和右焦点，直线与椭圆的右准线交于点，若直线轴，则该椭圆的离心率是 .答案：10若函数恰有3个单调区间，则的取值范围是 .答案： 11已知椭圆方程为，左右焦点分别为，点A为椭圆上一点，且不可能为直角，则正数的取值范围是 . 答案：12设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 .答案： 13已知椭圆E：的右焦点为F（3,0），过点F的直线交椭圆于A、 B两点.若AB的中点坐标为（1，-1），则E的方程为 . 答案：14已知nN*，设函数fn(x)1x，xR，对于任意nN*，关于x 的方程fn(x)0在区间t+1，t2上有唯一实数解，则整数= .答案：0二、解答题：本大题共6小题，共计90分请把答案写在答题卡相应的位置上解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. (本题满分14分)(1)若双曲线的渐近线方程为，求该双曲线的离心率的值.(2)设P是抛物线上一点，若P点到抛物线准线的距离为，求P点的坐标.解：（1）由题意，所以，所以.（2）抛物线准线方程为，设P点的坐标为，则，解得，代入抛物线方程：，解得，所以P点的坐标为或.16. (本题满分14分)已知函数（其中是实数），且. （1）求的值及曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间.解：(1)f(x)3x2-2ax，由f(1)3-2a=2得a=.所以，.所以曲线在点处的切线方程为，即.(2)令f(x)3x2-x0，解得或；令f(x)3x2-x0，解得.所以的单调增区间为和；单调减区间为.17(本题满分14分) 已知f(x)xln x，g(x)x2ax3.（1）求函数f(x)的极值；（2）对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；解：(1)f(x)ln x1，令f(x)0解得.当x，f(x)0，f(x)单调递增所以处取极小值.(2)2xln xx2ax3，则a2ln xx，设h(x)2ln xx(x0)，则h(x)，x(0,1)，h(x)0，h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4.因为对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4.18(本题满分16分)已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，直线与椭圆C有公共点为M.（1）求点M的坐标（用字母，表示）；（2）设直线与轴、轴分别交于，且，证明：； （3）若，的周长为6，写出椭圆的方程.解：(1)联立方程组，消元得，化简得,解得，代入得，所以M.(2) 直线中令解得，即，令解得，即.由得，得，所以.（3）若，则，解得（负值舍去），即，又的周长为，所以，所以椭圆的方程为.19(本题满分16分)如图，已知椭圆的两个焦点F1、F2在y轴上，短轴长为2，离心率为，点P是椭圆上一点，且在第一象限内，1，过点P作关于直线PF1对称的两条直线PA、PB，分别交椭圆于A、B两点（1）求椭圆的标准方程.（2）求点P的坐标；（3）如果直线AB的斜率为，试问是否为定值？若是定值，请求出；若不是，请说明理由解：(1)设椭圆方程为1(ab0)因为椭圆的短轴长为2，离心率为，所以2b2，解得a2，b，c，所以椭圆的方程为1.（2） 所以F1(0，)，F2(0，)设P(x0，y0)(x00，y00)，则(x0，y0)， (x0，y0)，所以x(2y)1.又点P(x0，y0)在椭圆上，则1，所以x，从而(2y)1，解得y0或y0(舍去)，则点P的坐标为(1，) （3）证明：由(1)知PF1x轴，所以直线PA、PB的斜率互为相反数设直线PB的斜率 为k，不妨令k0，则直线PB的方程为yk(x1)，由得(2k2)x22k(k)x(k)240.设B(xB，yB)，则xB，同理可得xA.所以xAxB，yAyBk(xA1)k(xB1).所以直线AB的斜率kAB为定值20. (本题满分16分) 已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值（1）求实数的取值范围；（2）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；（3）对于（II）中的函数，对任意，求证：解：（I）由，因为当时取得极大值，所以，