高考数学真题汇编10 圆锥曲线 理（ 解析版）.doc

2012高考真题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【2012高考真题浙江理8】如图，f1,f2分别是双曲线c：（a,b0）的左、右焦点，b是虚轴的端点，直线f1b与c的两条渐近线分别交于p,q两点，线段pq的垂直平分线与x轴交与点m，若|mf2|=|f1f2|,则c的离心率是a. b。 c. d. 【答案】b【解析】由题意知直线的方程为：，联立方程组得点q，联立方程组得点p，所以pq的中点坐标为，所以pq的垂直平分线方程为：，令，得，所以，所以，即，所以。故选b2.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ ） 【答案】c【解析】设等轴双曲线方程为，抛物线的准线为，由,则,把坐标代入双曲线方程得，所以双曲线方程为，即，所以，所以实轴长，选c.3.【2012高考真题新课标理4】设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ） 【答案】c【解析】因为是底角为的等腰三角形，则有,，因为，所以,，所以，即，所以，即，所以椭圆的离心率为，选c.4.【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）a、 b、 c、 d、 【答案】b【解析】设抛物线方程为，则点焦点，点到该抛物线焦点的距离为， ， 解得，所以.5.【2012高考真题山东理10】已知椭圆的离心学率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（a） （b） （c） （d）【答案】d【解析】因为椭圆的离心率为，所以，所以，即，双曲线的渐近线为，代入椭圆得，即，所以，则第一象限的交点坐标为，所以四边形的面积为，所以，所以椭圆方程为，选d.6.【2012高考真题湖南理5】已知双曲线c ：-=1的焦距为10 ，点p （2,1）在c 的渐近线上，则c的方程为a-=1 b.-=1 c.-=1 d.-=1【答案】a【解析】设双曲线c ：-=1的半焦距为，则.又c 的渐近线为，点p （2,1）在c 的渐近线上，即.又，c的方程为-=1.【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.7.【2012高考真题福建理8】已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于a. b. c.3 d.5【答案】 【解析】由抛物线方程易知其焦点坐标为，又根据双曲线的几何性质可知，所以，从而可得渐进线方程为，即，所以，故选8.【2012高考真题安徽理9】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则的面积为（ ） 【答案】c【命题立意】本题考查等直线与抛物线相交问题的运算。【解析】设及；则点到准线的距离为，得： 又，的面积为。9.【2012高考真题全国卷理3】 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为a +=1 b +=1c +=1 d +=1【答案】c【解析】椭圆的焦距为4，所以因为准线为，所以椭圆的焦点在轴上，且，所以，所以椭圆的方程为，选c.10.【2012高考真题全国卷理8】已知f1、f2为双曲线c：x-y=2的左、右焦点，点p在c上，|pf1|=|2pf2|，则cosf1pf2=(a) （b） (c) (d)【答案】c【解析】双曲线的方程为，所以，因为|pf1|=|2pf2|，所以点p在双曲线的右支上，则有|pf1|-|pf2|=2a=,所以解得|pf2|=，|pf1|=，所以根据余弦定理得,选c.11.【2012高考真题北京理12】在直角坐标系xoy中，直线l过抛物线=4x的焦点f.且与该撇物线相交于a、b两点.其中点a在x轴上方。若直线l的倾斜角为60.则oaf的面积为 【答案】【解析】由可求得焦点坐标f(1,0)，因为倾斜角为，所以直线的斜率为，利用点斜式，直线方程为，将直线和曲线联立，因此二、填空题12.【2012高考真题湖北理14】如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则（）双曲线的离心率 ；（）菱形的面积与矩形的面积的比值 .【答案】 【解析】（）由于以为直径的圆内切于菱形，因此点到直线的距离为，又由于虚轴两端点为，因此的长为，那么在中，由三角形的面积公式知，又由双曲线中存在关系联立可得出，根据解出（）设,很显然知道,因此.在中求得故；菱形的面积，再根据第一问中求得的值可以解出.13.【2012高考真题四川理15】椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是_。【答案】3【命题立意】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、，考查推理论证能力、基本运算能力，以及数形结合思想，难度适中.【解析】当直线过右焦点时的周长最大，；将带入解得；所以.14.【2012高考真题陕西理13】右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.【答案】.【解析】设水面与桥的一个交点为a，如图建立直角坐标系则，a的坐标为（2，-2）.设抛物线方程为，带入点a得，设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为，则，所以水面宽度为.15.【2012高考真题重庆理14】过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则= . 【答案】【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设a,b的坐标分别为的，则，设，则，所以有，解得或，所以.16.【2012高考真题辽宁理15】已知p，q为抛物线上两点，点p，q的横坐标分别为4，2，过p、q分别作抛物线的切线，两切线交于a，则点a的纵坐标为_。【答案】4【解析】因为点p，q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得p，q的纵坐标分别为8,2.由所以过点p，q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点p，q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点a的纵坐标为4【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。17.【2012高考真题江西理13】椭圆 的左、右顶点分别是a,b,左、右焦点分别是f1，f2。若，成等比数列，则此椭圆的离心率为_.【答案】【命题立意】本题考查椭圆的几何性质，等比数列的性质和运算以及椭圆的离心率。【解析】椭圆的顶点,焦点坐标为，所以，,又因为，成等比数列，所以有，即，所以，离心率为.18.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 【答案】2。【考点】双曲线的性质。【解析】由得。 ，即，解得。三、解答题19.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点p（i）若，求直线的斜率；（ii）求证：是定值【答案】解：（1）由题设知，由点在椭圆上，得，。由点在椭圆上，得椭圆的方程为。（2）由（1）得，又， 设、的方程分别为，。 。 。 同理，。 （i）由得，。解得=2。 注意到，。 直线的斜率为。 （ii）证明：，即。 。 由点在椭圆上知，。 同理。 由得， 。 是定值。 20.【2012高考真题浙江理21】(本小题满分15分)如图，椭圆c：(ab0)的离心率为，其左焦点到点p(2，1)的距离为不过原点o的直线l与c相交于a，b两点，且线段ab被直线op平分()求椭圆c的方程；() 求abp的面积取最大时直线l的方程【命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。【答案】()由题：； (1)左焦点(c，0)到点p(2，1)的距离为： (2)由(1) (2)可解得：所求椭圆c的方程为：()易得直线op的方程：yx，设a(xa，ya)，b(xb，yb)，r(x0，y0)其中y0x0a，b在椭圆上，设直线ab的方程为l：y(m0)，代入椭圆：显然m且m0由上又有：m，|ab|点p(2，1)到直线l的距离表示为：sabpd|ab|m2|，当|m2|，即m3 或m0(舍去)时，(sabp)max此时直线l的方程y21.【2012高考真题辽宁理20】(本小题满分12分) 如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于a，b，c，d四点。 ()求直线与直线交点m的轨迹方程; ()设动圆与相交于四点，其中，。若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值。【答案】【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。本题考查综合性较强，运算量较大。在求解点的轨迹方程时，要注意首先写出直线和直线的方程，然后求解。属于中档题，难度适中。22.【2012高考真题湖北理】（本小题满分13分）设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点m的轨迹为曲线（）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（）如图1，设，则由，可得，所以，. 因为点在单位圆上运动，所以. 将式代入式即得所求曲线的方程为. 因为，所以当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，；当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，. （）解法1：如图2、3，设，则，直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得.依题意可知此方程的两根为，于是由韦达定理可得，即.因为点h在直线qn上，所以.于是，. 而等价于，即，又，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. 图2 图3 图1o d xyam第21题解答图 解法2：如图2、3，设，则，因为，两点在椭圆上，所以 两式相减可得. 依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，故. 于是由式可得. 又，三点共线，所以，即. 于是由式可得.而等价于，即，又，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. 23.【2012高考真题北京理19】（本小题共14分）【答案】解：（1）原曲线方程可化简得：由题意可得：，解得：（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，解得：由韦达定理得：，设，方程为：，则，欲证三点共线，只需证，共线即成立，化简得：将代入易知等式成立，则三点共线得证。24.【2012高考真题广东理20】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c1：的离心率e=，且椭圆c上的点到q（0，2）的距离的最大值为3.（1）求椭圆c的方程；（2）在椭圆c上，是否存在点m（m,n）使得直线：mx+ny=1与圆o：x2+y2=1相交于不同的两点a、b，且oab的面积最大？若存在，求出点m的坐标及相对应的oab的面积；若不存在，请说明理由【答案】本题是一道综合性的题目，考查直线、圆与圆锥曲线的问题，涉及到最值与探索性问题，意在考查学生的综合分析问题与运算求解的能力。25.【2012高考真题重庆理20】（本小题满分12分（）小问5分（）小问7分） 如图，设椭圆的中心为原点o，长轴在x轴上，上顶点为a，左右焦点分别为，线段 的中点分别为，且 是面积为4的直角三角形.（）求该椭圆的离心率和标准方程；（）过 做直线交椭圆于p，q两点，使，求直线的方程【答案】【命题立意】本题考查椭圆的标准方程，平面向量数量积的基本运算，直线的一般式方程以及直线与圆锥曲线的综合问题.26.【2012高考真题四川理21】(本小题满分12分) 如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。（）求轨迹的方程；（）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。【答案】本题主要考查轨迹方程的求法，圆锥曲线的定义等基础知识，考查基本运算能力，逻辑推理能力，考查方程与函数、数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想 27.【2012高考真题新课标理20】（本小题满分12分）设抛物线的焦点为，准线为，已知以为圆心，为半径的圆交于两点；（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值.【答案】（1）由对称性知：是等腰直角，斜边 点到准线的距离 圆的方程为 （2）由对称性设，则 点关于点对称得： 得：，直线 切点 直线坐标原点到距离的比值为.28.【2012高考真题福建理19】如图，椭圆e：的左焦点为f1，右焦点为f2，离心率.过f1的直线交椭圆于a、b两点，且abf2的周长为8.（）求椭圆e的方程.（）设动直线l：y=kx+m与椭圆e有且只有一个公共点p，且与直线x=4相较于点q.试探究：在坐标平面内是否存在定点m，使得以pq为直径的圆恒过点m？若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由. 29.【2012高考真题上海理22】（4+6+6=16分）在平面直角坐标系中，已知双曲线：（1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证：；（3）设椭圆：，若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值.【答案】过点a与渐近线平行的直线方程为，,则到直线的距离为.设到直线的距离为.【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为，它的渐近线为，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 30.【2012高考真题陕西理19】本小题满分12分）已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率。（1）求椭圆的方程；（2）设o为坐标原点，点a，b分别在椭圆和上，求直线的方程。 【答案】 31.【2012高考真题山东理21】（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为.（）求抛物线的方程；（）是否存在点，使得