【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）2.5.2 形形色色的函数模型导学案 湘教版必修1.doc

2.5.2形形色色的函数模型学习目标重点难点1能说出常见常用的一些函数模型；2能利用常见的函数模型解决一些简单的实际问题；3能够根据实际问题的需要，建立恰当的函数模型解决问题.重点：运用函数模型，解决某些简单的实际问题；难点：根据实际问题的需要，建立恰当的函数模型.1数学建模把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，数学知识的这一应用过程称为数学建模2函数模型应用的两个方面(1)利用已知函数模型解决问题；(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释特定现象的现实状态，或者能预测对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制方案预习交流1你能说出一些常见的函数模型吗？它们的一般形式是什么？提示：(1)一次函数模型：ykxb(k，b为常数，k0)；(2)二次函数模型：yax2bxc(a，b，c为常数，a0)；(3)分段函数模型；(4)指数函数模型：f(x)abxc(a，b，c为常数，a0，b0，且b1)；(5)对数函数模型：f(x)mlogaxn(m，n，a为常数，m0，a0，且a1)；(6)幂函数模型：yaxmn(m，n，a为常数，a0)预习交流2数学建模的步骤通常是怎样的？提示：(1)正确理解并简化实际问题：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息(2)建立数学模型：在(1)的基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构(3)求得数学问题的解(4)将数学模型分析计算的结果与实际情形进行比较，验证模型的准确性、合理性和适用性预习交流3在解决实际问题过程中，该如何做才能找到合适的数学模型？提示：(1)建立直角坐标系，画出散点图；(2)根据散点图设想比较接近的可能的函数模型例如：一次函数型、二次函数型、指数、对数函数型(3)利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型一、已知函数模型的应用问题某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：r(x)其中x是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数f(x)(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)思路分析：由题目可获取以下主要信息：总成本固定成本100x；收益函数为一分段函数解答本题可由已知总收益总成本利润，知利润总收益总成本由于r(x)为分段函数，所以f(x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题解：(1)设每月产量为x台，则总成本为20 000100x，从而f(x)(2)当0x400时，f(x)(x300)225 000，当x300时，有最大值25 000；当x400时，f(x)60 000100x是减函数f(x)60 00010040025 000.当x300时，f(x)的最大值为25 000.每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量m(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的关系为v2 000 ln.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12 km/s?解：由12 0002000 ln，即6ln，1e6，利用计算器算得402.即当燃料质量约是火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.函数模型已知时，关键要分清条件和结论，理顺数量关系，借助已知函数的性质解决问题二、自建函数模型的应用问题某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见下表)：x30404550y6030150(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式yf(x)；(2)设经营此商品的日销售利润为p元，根据上述关系写出p关于x的函数关系式，并计算当销售单价为多少时，利润最大？解：(1)根据题干中所给表作图如下，点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)在同一条直线上，设它们共线于直线l：ykxb，y3x150(xn)经检验，点(30,60)、(40,30)也在此直线上，故所求函数关系式为y3x150(xn)(2)依题意有py(x30)(3x150)(x30)3(x40)2300，当x40时，p有最大值300.故销售单价为40元时，能获得最大日销售利润某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元销售单价与日均销售量关系如下表所示：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，经营部怎样定价才能获得最大利润？解：设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量为48040(x1)52040x(桶)由于x0，且52040x0，即0x13，于是可得y(52040x)x20040x2520x200,0x13，所以当x6.5时，y有最大值，所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大利润利润问题是常见函数应用问题，通常要认清利润与价格以及销售量相互之间的制约关系，通过构造二次函数模型，利用二次函数求最值的方法解决相关的最值问题借助二次函数模型求最值，是应用问题中的重要方法三、数据拟合型函数应用问题某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式(2)若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？思路分析：画出散点图观察形状，确定拟合函数，代入数据计算，然后根据模型判断体重是否正常解：(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图根据点的分布特征，可以考虑用y=abx作为刻画这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm关系的函数模型如果取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y=abx，得7.9=ab70,47.25=ab160，用计算器算得a2，b1.02.所以函数模型为：y=21.02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系(2)将x=175代入y=21.02x，得y=21.02175，由计算器算得y63.98.由于7863.981.221.2，所以这个男生偏胖为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如下表所示年序12345最大积雪深度x(cm)15.210.421.218.626.4灌溉面积y(公顷)28.621.140.536.649.8年序678910最大积雪深度x(cm)23.413.516.724.019.1灌溉面积y(公顷)45.029.234.145.836.9(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，可以灌溉土地多少公顷？解：(1)描点作图如下：(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足一次函数模型yabx.取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入yabx，得用计算器可得a2.4，b1.8.这样，我们得到一个函数模型：y2.41.8x.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系(3)由y2.41.825，解得y47.4，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4公顷对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题函数拟合与预测的一般步骤是：(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是件十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般是不会发生的因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据1某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价()a10% b9%c11% d11.1%答案：d解析：设商品原价为a，应提价x，则a(110%)(1x)a，则x11.1%.2拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)1.06(0.50m1)，其中m0，m是大于或等于m的最小整数(如33，3.74，5.16)，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为()a3.71元 b3.97元c4.24元 d4.77元答案：c解析：5.56，f(5.5)1.06(0.505.51)1.06(0.5061)1.06(31)4.24(元)3在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长为原来的y倍，则函数yf(x)的图象大致为()答案：d解析：y(110.4%)x1.104x，故选d42010年全球经济转暖，据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万人，0.4万人和0.76万人，则该地区这三个月的用工人数y万人关于月数x的函数关系近似的是()ay0.2x by(x22x)cy dy0.2log16x答案：c解析：