高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用课件 文 苏教版.ppt

7 4基本不等式及其应用 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 基本不等式 知识梳理 1 基本不等式成立的条件 2 等号成立的条件 当且仅当时取等号 2 几个重要的不等式 1 a2 b2 a b r 2 a b同号 a 0 b 0 a b 2ab 2 3 ab a b r 4 a b r 以上不等式等号成立的条件均为a b 3 算术平均数与几何平均数设a 0 b 0 则a b的算术平均数为 几何平均数为 基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 当两个正数相等时两者相等 4 利用基本不等式求最值问题已知x 0 y 0 则 1 如果积xy是定值p 那么当且仅当时 x y有最值 简记 积定和最小 2 如果和x y是定值p 那么当且仅当时 xy有最值 简记 和定积最大 x y 小 x y 大 不等式的恒成立 能成立 恰成立问题 1 恒成立问题 若f x 在区间d上存在最小值 则不等式f x a在区间d上恒成立 若f x 在区间d上存在最大值 则不等式f x b在区间d上恒成立 f x min a x d f x max b x d 2 能成立问题 若f x 在区间d上存在最大值 则在区间d上存在实数x使不等式f x a成立 若f x 在区间d上存在最小值 则在区间d上存在实数x使不等式f x a恰在区间d上成立 f x a的解集为d 不等式f x b恰在区间d上成立 f x b的解集为d f x max a x d f x min b x d 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 函数y x 的最小值是2 2 函数f x cosx x 0 的最小值等于4 3 x 0且y 0 是 2 的充要条件 4 若a 0 则a3 的最小值为 5 不等式a2 b2 2ab与有相同的成立条件 6 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 考点自测 1 教材改编 设x 0 y 0 且x y 18 则xy的最大值为 答案 解析 81 x 0 y 0 即xy 2 81 当且仅当x y 9时 xy max 81 2 教材改编 若0 x 1 则的取值范围是 答案 解析 由00 当且仅当x 时 上式等号成立 3 教材改编 当点 x y 在直线x 3y 2 0上移动时 函数z 3x 27y 3的最小值是 答案 解析 当且仅当3x 33y 9 即x 1 y 时 z取最小值 4 若实数x y满足xy 1 则x2 2y2的最小值为 答案 解析 当且仅当x 时取等号 所以x2 2y2的最小值为 5 教材改编 若x 0 则sinx 2 若a b 0 则lga lgb 若x r 则 4 其中正确结论的序号是 答案 解析 因为x 0 所以sinx 0 1 所以 成立 只有在lga 0 lgb 0 即a 1 b 1时才成立 当且仅当x 2时 成立 题型分类深度剖析 题型一利用基本不等式求最值命题点1通过配凑法利用基本不等式例1 1 已知0 x 1 则x 4 3x 取得最大值时x的值为 答案 解析 当且仅当3x 4 3x 即x 时 取等号 2 已知x 则f x 4x 2 的最大值为 1 答案 解析 因为x0 则f x 4x 2 5 4x 3 2 3 1 当且仅当5 4x 即x 1时 等号成立 故f x 4x 2 的最大值为1 3 函数y x 1 的最小值为 答案 解析 当且仅当 x 1 即x 1时 等号成立 命题点2通过常数代换法利用基本不等式 答案 解析 例2已知a 0 b 0 a b 1 则的最小值为 4 a 0 b 0 a b 1 即的最小值为4 当且仅当a b 时等号成立 引申探究1 条件不变 求 1 1 的最小值 解答 5 2 5 4 9 当且仅当a b 时 取等号 2 已知a 0 b 0 4 求a b的最小值 解答 当且仅当a b 时取等号 3 将条件改为a 2b 3 求的最小值 解答 a 2b 3 当且仅当a 时 取等号 1 应用基本不等式解题一定要注意应用的前提 一正 二定 三相等 所谓 一正 是指正数 二定 是指应用基本不等式求最值时 和或积为定值 三相等 是指满足等号成立的条件 2 在利用基本不等式求最值时 要根据式子的特征灵活变形 配凑出积 和为常数的形式 然后再利用基本不等式 3 条件最值的求解通常有两种方法 一是消元法 即根据条件建立两个量之间的函数关系 然后代入代数式转化为函数的最值求解 二是将条件灵活变形 利用常数 1 代换的方法构造和或积为常数的式子 然后利用基本不等式求解最值 思维升华 跟踪训练1 1 若正数x y满足x 3y 5xy 则3x 4y的最小值是 答案 解析 5 方法一由x 3y 5xy可得 1 3x 4y 3x 4y 当且仅当 即x 1 y 时 等号成立 3x 4y的最小值是5 方法二由x 3y 5xy 得x x 0 y 0 y 当且仅当y 时等号成立 3x 4y min 5 2 设a b 2 b 0 则取最小值时 a的值为 答案 解析 2 a b 2 当且仅当时等号成立 又a b 2 b 0 当b 2a a 2时 取得最小值 题型二基本不等式的实际应用例3 1 设x y z均为大于1的实数 且z为x和y的等比中项 则的最小值为 答案 解析 由题意得z2 xy lgx 0 lgy 0 当且仅当 即lgy 2lgx 即y x2时取等号 2 2016 江苏苏州暑假测试 设正四面体abcd的棱长为 p是棱ab上的任意一点 不与点a b重合 且点p到平面acd 平面bcd的距离分别为x y 则的最小值是 答案 解析 过点a作ao 平面bcd于点o 则o为 bcd的重心 所以ao 2 又vp bcd vp acd va bcd 即x y 2 当且仅当x 3 y 1时取等号 1 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数 2 根据实际问题抽象出函数的解析式后 只需利用基本不等式求得函数的最值 3 在求函数的最值时 一定要在定义域 使实际问题有意义的自变量的取值范围 内求解 思维升华 跟踪训练2 1 设x y 0 且x y 4 若不等式 m恒成立 则实数m的最大值为 答案 解析 当且仅当y 2x 时等号成立 2 某公司购买一批机器投入生产 据市场分析 每台机器生产的产品可获得的总利润y 单位 万元 与机器运转时间x 单位 年 的关系为y x2 18x 25 x n 则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是 万元 答案 解析 8 年平均利润为 x 18 x 18 18 x 18 10 8 当且仅当x 即x 5时 取等号 题型三基本不等式的综合应用命题点1基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4若不等式x a x y 对任意的实数x y 0 恒成立 则实数a的最小值为 答案 解析 几何画板展示 由题意得a 恒成立 令t t 0 则a 再令1 2t u u 1 则t 因为u 当且仅当u 时等号成立 故u 2 2 命题点2求参数值或取值范围例5 1 已知a 0 b 0 若不等式恒成立 则m的最大值为 答案 解析 又 6 6 12 当且仅当时等号成立 m 12 m的最大值为12 12 2 已知函数f x a r 若对于任意的x n f x 3恒成立 则a的取值范围是 答案 解析 对任意x n f x 3恒成立 即 3恒成立 即知a x 3 设g x x x n 则g 2 6 g 3 g 2 g 3 g x min x 3 a 故a的取值范围是 1 应用基本不等式判断不等式是否成立 对所给不等式 或式子 变形 然后利用基本不等式求解 2 条件不等式的最值问题 通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解 3 求参数的值或范围 观察题目特点 利用基本不等式确定相关成立条件 从而得参数的值或范围 思维升华 跟踪训练3 2016 江苏三校联考 北京 张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会 某公司为了竞标配套活动的相关代言 决定对旗下的某商品进行一次评估 该商品原来每件售价为25元 年销售8万件 1 据市场调查 若价格每提高1元 销售量将相应减少2000件 要使销售的总收入不低于原收入 该商品每件定价最高为多少元 解答 设每件定价为t元 依题意得 8 0 2 t 25 8 整理得t2 65t 1000 0 解得25 t 40 所以要使销售的总收入不低于原收入 该商品每件定价最高为40元 几何画板展示 2 为了抓住申奥契机 扩大该商品的影响力 提高年销售量 公司决定立即对该商品进行技术革新和营销策略改革 并提高定价到x元 公司拟投入 x2 600 万元作为技改费用 投入50万元作为固定宣传费用 投入万元作为浮动宣传费用 试问 当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时 才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时商品的每件定价 解答 依题意知 x 25 且ax 25 8 50 x2 600 等价于a x 25 当且仅当 即x 30时等号成立 所以a 10 2 当该商品改革后的销售量a至少达到10 2万件时 才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和 此时该商品的每件定价为30元 典例 1 已知x 0 y 0 且 1 则x y的最小值是 利用基本不等式求最值 现场纠错系列8 现场纠错 纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件 一正二定三相等 多次使用基本不等式要验证等号成立的条件 错解展示 2 函数y 1 2x x 0 的值域为 解析 1 x 0 y 0 返回 x y的最小值为 函数y 1 2x x 0 的值域为 1 解析 1 x 0 y 0 x y x y 3 3 当且仅当y 时取等号 当x 1 y 2 时 x y min 3 当且仅当x 时取等号 故函数y 1 2x x 0 的值域为 1 答案 1 3 2 1 返回 课时作业 1 教材改编 已知a b r 且ab 0 则下列不等式中 恒成立的序号是 a2 b2 2ab a b 答案 解析 因为a2 b2 2ab 当且仅当a b时 等号成立 所以 错误 对于 因为ab 0 对于 当a 0 b 0时 明显错误 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 教材改编 用长为16cm的铁丝围成一个矩形 则所围成的矩形的最大面积是 cm2 答案 解析 16 设矩形长为xcm 0 x 8 则宽为 8 x cm 面积s x 8 x 由于x 0 8 x 0 可得s 2 16 当且仅当x 8 x 即x 4时 smax 16 所以矩形的最大面积是16cm2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 6 a 3 的最大值为 答案 解析 当且仅当3 a a 6即a 时 等号成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 2016 盐城模拟 函数y 的最小值为 答案 解析 2 当且仅当 即x 0时 y取到最小值2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 设正数a 使a2 a 2 0成立 若t 0 则logat loga 填 或 答案 解析 因为t 0 所以 因为a2 a 2 0 所以a1 又a 0 所以a 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 设f x x2 x 1 g x x2 1 则的取值范围是 答案 解析 当x 0时 1 当x 0时 当x 0时 x x 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 设a b c 0 则2a2 10ac 25c2的最小值是 答案 解析 4 当且仅当a 5c 0 ab 1 a a b 1时 等号成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 2016 南京一模 已知x y r且满足x2 2xy 4y2 6 则z x2 4y2的取值范围为 答案 解析 4 12 2xy 6 x2 4y2 而2xy 6 x2 4y2 x2 4y2 4 当且仅当x 2y时取等号 又 x 2y 2 6 2xy 0 即2xy 6 z x2 4y2 6 2xy 12 当且仅当x 2y时取等号 综上可知4 x2 4y2 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 已知x 0 y 0 x a b y成等差数列 x c d y成等比数列 则的最小值为 答案 解析 4 2 2 4 当且仅当x y时 等号成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 某民营企业的一种电子产品 2015年的年产量在2014年基础上增长率为a 2016年计划在2015年的基础上增长率为b a b 0 若这两年的平均增长率为q 则q与的大小关系是 答案 解析 设2014年的年产量为1 则2016年的年产量为 1 a 1 b 1 q 2 1 a 1 b q 当且仅当a b时 取 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 2016 泰州模拟 已知a b 1且2logab 3logba 7 则a 的最小值为 答案 解析 3 因为2logab 3logba 7 所以2 logab 2 7logab 3 0 解得logab 或logab 3 因为a b 1 所以logab 0 1 故logab 当且仅当a 2时等号成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 2016 南通模拟 设实数x y满足 y2 1 则3x2 2xy的最小值是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 再令t 3 2k 2 4 则k 当且仅当t 时等号成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法二令t 3x2 2xy 则y 代入方程 y2 1并化简得8x4 4 6t x2 t2 0 令u x2 4 则8u2 4 6t u t2 0在 4 上有解 从而由 得t2 12t 4 0 解得t 6 当取得最小值时 u 2 满足题意 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法三因为 y2 1 y y 所以令 y t 则 y 从而 则3x2 2xy