【全程复习方略】高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式单元质量评估(一) 新人教A版选修45(1).doc

【全程复习方略】2013-2014学年高中数学（人教a版）选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式 单元质量评估(一)（120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a+b0,bb-b-a b.a-b-abc.a-bb-a d.ab-a-b2.下列各函数中,最小值为2的是()a.y=x+1xb.y=x2+2x2+1c.y=logax+logxa(a0,x0且a1,x1)d.y=3-x+3x(x0)3.函数y=3+x+x21+x(x0)的最小值是()a.23 b.23-1c.-23-1 d.23-24.函数y=x2+3x(x0)的最小值是()a. b. c.32 d.5.(2013青岛高二检测)“|x|2”是“x2-x-61,x+y-2,则()a.x0,y0 b.x0,y0,y0 d.x07.若x,y是正数,则x+12y2+y+12x2的最小值是()a.3 b.72 c.4 d.928.若a,b(0,+),且ab,m=ab+ba,n=a+b,则m与n的大小关系是()a.mn b.mnc.mn d.mn9.若对任意xr,不等式|x|ax恒成立,则实数a的取值范围是()a.a-1 b.|a|1c.|a|0,b0,则1a+1b+2ab的最小值是()a.2b.2c.4d.512.设0x1,a,b都为大于零的常数,若a2x+b21-xm恒成立,则m的最大值是()a.(a-b)2 b.(a+b)2c.a2b2 d.a2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.不等式|2x-1|-|x-2|0,y0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则(a+b)2cd的最小值是.15.定义运算xy=x,xyy,xy,若|m-1|m=|m-1|,则m的取值范围是.16.下面四个命题:若ab,c1,则algcblgc;若ab,c0,则algcblgc;若ab,则a2cb2c;若ab0,则cacb.其中正确命题有.(填序号)三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知x0,y0,x+2y+xy=30,求xy的取值范围.18.(12分)解不等式|x-1|+|x-2|5.19.(12分)已知a0,b0且a2+b22=1,求a1+b2的最大值.20.(12分)已知a,b为正数,求证:1a+4b9a+b.21.(12分)(2013湖南高考)在平面直角坐标系xoy中,将从点m出发沿纵、横方向到达点n的任一路径称为m到n的一条“l路径”.如图所示的路径mm1m2m3n与路径mn1n都是m到n的“l路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xoy内三点a(3,20),b(-10,0),c(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点p处修建一个文化中心.(1)写出点p到居民区a的“l路径”长度最小值的表达式(不要求证明).(2)若以原点o为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“l路径”不能进入保护区,请确定点p的位置,使其到三个居民区的“l路径”长度之和最小.22.(12分)(能力挑战题)已知函数f(x)=ax2+4(a为非零实数),设函数f(x)=f(x),x0,-f(x),x0.(1)若f(-2)=0,求f(x)的表达式.(2)在(1)的条件下,解不等式1|f(x)|2.(3)设mn0,试判断f(m)+f(n)能否大于0?答案解析1.【解析】选c.因为a+b0,b-b0,所以0b-a.2.【解析】选b.y=x2+2x2+1=x2+1+1x2+12.当x=0时,等号成立.而a,c中两数不一定为正数,d中等号不成立.【变式备选】下列函数中,最小值是2的是()a.y=x8+8xb.y=12+x2+2+x2c.y=tanx+1tanx,x0,2d.y=lg(x-10)+1lg(x-10)(x10且x11)【解析】选c.a,d选项中的数不一定为正数,b选项的等号取不到.3.【解题指南】对函数表达式适当变形,使之能够利用基本不等式求最值.【解析】选b.y=3+x+x21+x=x+31+x=(x+1)+3x+1-12(x+1)3x+1-1=23-1,当且仅当x=3-1时等号成立.4.【解析】选a.y=x2+3x=x2+32x+32x33x232x32x=3394=.当且仅当x2=32x即x =时等号成立.5.【解析】选a.|x|2-2x2,x2-x-60-2x3,x|-2x2x|-2x1矛盾,所以可排除c,d.假设x0,y0,则x1y.所以x+y0,y0.7.【解析】选c.因为x+12y2+y+12x2=x2+14x2+xy+yx+y2+14y22x214x2+2xyyx+2y214y2=1+2+1=4,当且仅当x=y=22时,等号成立.8.【解析】选a.因为a,b(0,+),且ab,所以ab+b2a,ba+a2b,所以ab+b+ba+a2a+2b,所以ab+bab+a.所以mn,故应选a.9.【解析】选b.当x0时,a|x|x=1;当x0时,a|x|x=-1;当x=0时,ar,所以|a|1.【误区警示】当x0时,不等式化为-xax,极易出现a-1的错误.10.【解析】选b.设圆柱底面半径为r,母线长为l.则有2l+4r=6,所以l=3-2r,所以v=r2l=r2(3-2r)=rr(3-2r)r+r+3-2r33=.当且仅当r=3-2r,即r=1时等号成立.11.【解析】选c.因为1a+1b+2ab21ab+2ab=21ab+ab4,当且仅当1a=1b,1ab=ab,即a=b=1时取等号.12.【解题指南】本题的关键是利用x+(1-x)=1结合基本不等式加以求解.【解析】选b.由a2x+b21-x=a2x+b21-xx+(1-x)=a2+b2+a2(1-x)x+b2x1-xa2+b2+2ab=(a+b)2,当且仅当a2(1-x)x=b2x1-x时等号成立,所以m(a+b)2,m的最大值为(a+b)2.13.【解析】|2x-1|-|x-2|0(2x-1)2(x-2)2x21-1x1.答案:(-1,1)【举一反三】若把本题中的“”,其他不变,则此不等式的解集是.【解析】|2x-1|-|x-2|0(2x-1)2(x-2)2x21x1.答案:(-,-1)(1,+)14.【解析】因为x,a,b,y成等差数列,所以x+y=a+b,又x,c,d,y成等比数列,所以xy=cd,(a+b)2cd=(x+y)2xy=x2+y2+2xyxy=xy+yx+22xyyx+2=4,当且仅当x=y时,取等号.答案:415.【解题指南】先由定义的新运算化简|m-1|m=|m-1|转化为不等式求解.【解析】依题意,有|m-1|m,所以-mm-1m,所以m12.答案:m1216.【解析】不正确,因为0c1时,lgc0,y0,所以30=x+2y+xy2x2y+xy=22xy+xy,所以(xy)2+22xy-300,所以(xy-32)(xy+52)0,所以0xy32,即00,所以(x+2)+64x+22(x+2)64x+2=16,当且仅当x+2=64x+2,即x=6时,等号成立,所以xy-16+34=18,当且仅当x=6,y=3时等号成立.所以xy的取值范围是(0,18.18.【解析】根据绝对值的几何意义,|x-1|表示数轴上的点x到点1的距离,|x-2|表示数轴上的点x到点2的距离,所以不等式的解集为数轴上到1的距离与到2的距离的和大于5的实数的集合,所以不等式的解集为(-,-1)(4,+).19.【解析】a1+b2=2a1+b22=2a21+b222a2+1+b222=2a2+b22+122=342,当且仅当a2=1+b22,又a2+b22=1,即a=32,b=22时,等号成立.故所求最大值为342.20.【证明】因为a0,b0,所以(a+b)1a+4b=5+ba+4ab5+2ba4ab=9,所以1a+4b9a+b.21.【解题指南】本题考查了绝对值函数和绝对值不等式的应用.【解析】设点p的坐标为(x,y),(1)点p到居民区a的“l路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,xr,y0,+).(2)由题意知,点p到三个居民区的“l路径”长度之和的最小值为点p分别到三个居民区的“l路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.当y1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|,因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|x+10|+|x-14|.(*)当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立,又因为|x+10|+|x-14|24.(*)当且仅当x-10,14时,不等式(*)中的等号成立.所以d1(x)24,当且仅当x=3时,等号成立,因为d2(y)=2y+|y-20|21,当且仅当y=1时,等号成立.故点p的坐标为(3,1)时,p到三个居民区的“l路径”长度之和最小,且最小值为45.当0y1时,由于“l路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|.此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y21.由知,d1(x)24,故d1(x)+d2(y)45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.综上所述,在点p(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“l路径”长度之和最小.22.【解析】(1)因为f(-2)=0,所以4a+4=0,得a=-1,所以f(x)=-x2+4,f(x)=-x2+4,x0,x2-4,x0的情况.当x0时,由|f