高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.3 三角函数的诱导公式复习课课件 新人教A版必修4.ppt

任意角的三角函数及诱导公式 网络体系 核心速填 1 与角 终边相同的角的集合为 2 角度制与弧度制的换算 3 弧度制下扇形的弧长和面积公式 1 弧长公式 l 2 面积公式 r 4 任意角的三角函数 1 定义1 设任意角 的终边与单位圆交于点p x y 则sin cos x 0 2 定义2 设任意角 的终边上任意一点p的坐标为 x y r op 则sin cos tan x 0 y x 5 同角三角函数基本关系式 1 tan sin2 cos2 6 诱导公式 1 公式 k z sin cos tan sin cos tan sin cos tan sin cos tan 2 记忆口诀 奇 偶 符号看 cos sin cos sin 变 不变 象限 易错提醒 1 关注角的概念的推广 1 由于角的概念的推广 有些术语的含义也发生了变化 如小于90 的角可能是零角 锐角或负角 2 注意象限角 锐角 钝角等概念的区别和联系 如锐角是第一象限角 但第一象限角不一定是锐角 2 确定角所在象限的关注点由三角函数值符号确定角 的象限时 不要忽视 的终边可能落在坐标轴上 如sin 0时 终边在第三 四象限或y轴负半轴上 3 关注正切函数的定义域 1 正切函数y tanx的定义域为不可写为 2 有关正切的公式 同角三角函数商关系 诱导公式 应用时有限制条件 4 平方关系应用的关注点由平方关系sin2 cos2 1 开方后求另一个三角函数值 易错的地方是未对角所在象限进行讨论 5 正确应用诱导公式 1 明确诱导公式的基本功能 将的三角函数值化为 的三角函数值 实现变名 变号或变角等作用 2 熟悉应用口诀解题 一方面注意函数名称 另一方面注意符号的变化 类型一象限角及终边相同的角 典例1 1 2015 六安高一检测 已知 是锐角 那么2 是 a 第一象限角b 第二象限角c 小于180 的正角d 第一或第二象限角2 已知 1690 1 把 表示成2k 的形式 其中k z 0 2 2 求 使 与 的终边相同 且 4 2 解析 1 选c 因为 是锐角 所以所以0 2 所以2 可能是第一或第二象限角 也可能是终边落在y轴非负半轴上的角 故选c 延伸探究 典例1中 锐 改 钝 那么是第几象限角 解析 因为 是钝角 所以 所以所以是第一象限角 方法技巧 1 灵活应用角度制或弧度制表示角 1 注意同一表达式中角度与弧度不能混用 2 角度制与弧度制的换算设一个角的弧度数为 角度数为n 则 2 象限角的判定方法 1 根据图象判定 利用图象实际操作时 依据是终边相同的角的概念 因为0 360 之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系 2 将角转化到0 360 范围内 在直角坐标平面内 0 360 范围内没有两个角终边是相同的 拓展延伸 理解角的概念的三个 明确 变式训练 如图所示 用弧度制表示顶点在原点 始边重合于x轴的非负半轴 终边落在阴影部分的角的集合 解析 1 将阴影部分看成是由oa逆时针转到ob所形成 故满足条件的角的集合为 2 若将终边为oa的一个角改写为 此时阴影部分可以看成是oa逆时针旋转到ob所形成 故满足条件的角的集合为 3 将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转 rad而得到 所以满足条件的角的集合为 4 与第 3 小题的解法类似 将第二象限阴影部分旋转 rad后可得到第四象限的阴影部分 所以满足条件的角的集合为 补偿训练 1 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是 a 2k 45 k z b k 360 k zc k 360 315 k z d k k z 解析 选c 角度与弧度不能混用 故a b错误 k k z 表示终边落在直线y x上的角 故d错误 45 315 360 45 故45 与 315 终边相同 所以与终边相同的角可表示为k 360 315 k z 2 与 2002 终边相同的最小正角是 解析 因为 2002 6 360 158 所以与 2002 终边相同的角可表示为k 360 158 k z 其中最小正角是158 答案 158 类型二弧度制下扇形弧长和面积的计算 典例2 2015 吉安高一检测 已知在半径为10的圆o中 弦ab的长为10 1 求弦ab所对的圆心角 0 的大小 2 求 所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积s 解析 1 因为oa ob ab 10 所以 aob是等边三角形 所以 2 所在的扇形弧长l r 10 所在的扇形面积等边 aob中 ab边上的高所以所以所在的弓形的面积 方法技巧 弧度制下有关弧长 扇形面积问题的解题策略及其注意点 1 解题策略 明确弧度制下弧长公式l r 扇形的面积公式是s lr r2 其中l是扇形的弧长 是扇形的圆心角 涉及扇形的周长 弧长 圆心角 面积等的计算 关键是先分析题目已知哪些量求哪些量 然后灵活运用弧长公式 扇形面积公式直接求解或列方程 组 求解 2 注意点 在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负 看清角的度量制 选用相应的公式 扇形的周长等于弧长加两个半径长 变式训练 1 一扇形的圆心角为72 半径等于20cm 求扇形的弧长以及扇形的面积 2 已知扇形的周长为10cm 面积为4cm2 求扇形的圆心角的弧度数 只计算0 2 之间的角 解析 1 设圆心角为 则弧长公式 l r 扇形面积公式 因为所以扇形弧长扇形面积 补偿训练 1 若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm 则这个圆心角所夹的扇形的面积是 a 4cm2b 2cm2c 4 cm2d 2 cm2 解析 选a 设此圆心角所夹的扇形的半径为r 则2r 4 所以r 2cm s扇 r2 2 22 4 cm2 2 如图 点a b c是圆o上的点 且ab 4 acb 则劣弧的长为 解析 连接oa ob 因为 acb 所以 aob aob为等边三角形 故圆o的半径r ab 4 劣弧的长为 r 答案 类型三任意角三角函数的定义 典例3 1 2015 张掖高一检测 已知角 的始边与x轴正半轴重合 终边在射线3x 4y 0 x 0 上 则sin cos 2 点p从 1 0 出发 沿单位圆x2 y2 1按顺时针方向运动弧长到达q点 则q的坐标为 3 已知 是第二象限角 在第二象限内将角 的终边绕原点按逆时针方向旋转 得到第二象限角 的终边 如图所示 利用单位圆中的三角函数线比较下列各组数的大小 1 sin sin 2 cos cos 3 tan tan 解析 1 在射线3x 4y 0 x 0 上任取一点p 4a 3a a 0 则所以答案 2 由题意可得q的横坐标为q的纵坐标为故q的坐标为答案 3 如图 的正弦线 余弦线 正切线分别为ae oa cp 的正弦线 余弦线 正切线分别为bf ob cd 根据图形及三角函数线的意义 得到有向线段ae bf oa ob cpsin 2 cos cos 3 tan tan 方法技巧 1 利用定义求三角函数值的两种方法 1 先由直线与单位圆相交求出交点坐标 再利用正弦 余弦 正切函数的定义 求出相应的三角函数值 2 取角 的终边上任意一点p a b 原点除外 则对应的角 的当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时 要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论 2 三角函数线的应用 1 三角函数线是一个角的三角函数的体现 即用几何方法表示三角函数值 所以 一旦画出了某一个角的三角函数线 其实也就求得了这个角的三角函数值 2 三角函数线的主要作用是解三角不等式 比较三角函数值的大小 变式训练 1 2015 德州高一检测 若角 的终边上有一点 4 a 且sin cos 则a的值为 解析 因为角 的终边上有一点p 4 a 且sin cos 所以所以答案 2 设 分别是第二 三 四象限角 则点p sin cos 分别在第 象限 解析 当 是第二象限角时 sin 0 cos 0 点p在第二象限 答案 四三二 补偿训练 1 若角 的终边经过点则sin cos 的值为 2 已知角 的终边过点p 12 a 且求sin cos 的值 解析 1 由题意知 角 的终边与单位圆交点坐标为 所以所以答案 2 因为角 的终边过点p 12 a 且 所以所以a 5 所以点p 12 5 到原点的距离r op 13 所以 类型四同角三角函数的基本关系 典例4 1 2015 南昌高一检测 已知tan 3 则sin2 3sin cos 4 a 1b 2c 3d 42 1 已知sin 并且 是第二象限角 求cos 和tan 2 已知cos 求sin 和tan 解析 1 选d 原式2 1 又因为 是第二象限角 所以cos 0 所以 2 因为所以 是第二或第三象限角 当 是第二象限角时 当 是第三象限角时 方法技巧 1 已知三角函数值求其他三角函数值的方法 1 若已知sin m 可以先应用公式求得cos 的值 再由公式求得tan 的值 2 若已知cos m 可以先应用公式求得sin 的值 再由公式求得tan 的值 3 若已知tan m 可以应用公式及sin2 cos2 1 求得的值 2 已知tan 求关于sin cos 齐次式值的方法 1 已知tan m 可以求的值 将分子分母同除以cos 或cos2 化成关于tan 的式子 从而达到求值的目的 2 对于asin2 bsin cos ccos2 的求值 可看成分母是1 利用1 sin2 cos2 进行代替后分子分母同时除以cos2 得到关于tan 的式子 从而可以求值 变式训练 1 2015 淮安高一检测 sin cos 0 则tan 误区警示 解本题时容易忽视对 取值范围的判断 导致产生增解 补偿训练 1 若sin cos 则的值是 a 2b 2c 2d 解析 选b 因为所以解得tan 1 所以原式 2 若 为第二象限角 则 a sin b sin c cos d cos 解析 选b 因为 为第二象限角 则cos 0 则 sin cos sin cos 所以原式 sin 类型五诱导公式的应用 典例5 1 已知sin log8 且 则tan 2 的值为 2 2015 重庆高一检测 已知 为第三象限角 1 化简f 2 若求f 的值 解析 1 选b sin sin log8 tan 2 tan 方法技巧 用诱导公式化简求值的方法 1 对于三角函数式的化简求值 关键在于根据给出角的特点 将角化成的形式 再用 奇变偶不变 符号看象限 来化简 2 解决 已知某个三角函数值 求其他三角函数值 的问