【备战】高考数学 高频考点归类分析 圆锥曲线中最值问题（真题为例）.doc

圆锥曲线中最值问题典型例题： 例1. （2012年四川省理4分）椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是 。【答案】3。【考点】椭圆的性质。【解析】画出图象，结合图象得到的周长最大时对应的直线所在位置即可求出结论如图，设椭圆的右焦点为e。由椭圆的定义得：的周长：。，当ab过点e时取等号。即直线过椭圆的右焦点e时的周长最大，此时的高为：ef=2，直线。把代入椭圆得。当的周长最大时，的面积是。例2. （2012年四川省文4分）椭圆为定值，且的的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是 。【答案】。【考点】椭圆的性质。【解析】画出图象，结合图象得到的周长最大时对应的直线所在位置即可求出结论如图，设椭圆的右焦点为e。由椭圆的定义得： 的周长：。，当ab过点e时取等号。即直线过椭圆的右焦点e时的周长最大，此时的高为：ef=2，直线。的周长的最大值是12，。例3. （2012年山东省理13分）在平面直角坐标系xoy中，f是抛物线c：x2=2py（p0）的焦点，m是抛物线c上位于第一象限内的任意一点，过m，f，o三点的圆的圆心为q，点q到抛物线c的准线的距离为。（）求抛物线c的方程；（）是否存在点m，使得直线mq与抛物线c相切于点m？若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由；（）若点m的横坐标为，直线l：y=kx+与抛物线c有两个不同的交点a，b，l与圆q有两个不同的交点d，e，求当时，的最小值。【答案】解：（）f抛物线c：x2=2py（p0）的焦点f，设m，。由题意可知，则点q到抛物线c的准线的距离为，解得。抛物线c的方程为。（）假设存在点m，使得直线mq与抛物线c相切于点m，而，即。由可得，则，即，解得，点m的坐标为。（）点m的横坐标为，点m，。由可得。设，则。圆，圆心到直线l 的距离。，令。设，则。当时，即当时，。当时，。【考点】抛物线和圆的性质，切线斜率的应用和意义，韦达定理的应用，导数的应用。函数的单调性质。【解析】（）由已知条件，根据抛物线和圆的性质列式求解。 （）假设存在点m，使得直线mq与抛物线c相切于点m，则由条件列式，并由切线斜率的应用和意义求出点m的坐标。 （）应用韦达定理、勾股定理，用表示出和，根据函数的单调性质可求解。例4. （2012年山东省文13分）如图，椭圆m：的离心率为，直线和 所围成的矩形abcd的面积为8.()求椭圆m的标准方程；() 设直线与椭圆m有两个不同的交点p，q，与矩形abcd有两个不同的交点s，t.求的最大值及取得最大值时m的值.【答案】解：()椭圆m：的离心率为，即。 矩形abcd面积为8，即由解得：。椭圆m的标准方程是。(ii)由得。设，则。由得。当过a点时，当过c点时，。当时，有，。设，则。当，即时，取得最大值。当时，由对称性，可知，当时，取得最大值。 当时，当时，取得最大值。综上可知，当时，取得最大值。【考点】椭圆的性质，矩形的性质，函数的极值。【解析】（）由已知条件，根据椭圆m的离心率为 ，直线和 所围成的矩形abcd的面积为8，列方程组组求解。 （）应用韦达定理、勾股定理，用表示出，分，三种情况分别求解。例5. （2012年广东省理14分）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c1：的离心率，且椭圆c上的点到q（0，2）的距离的最大值为3.（1）求椭圆c的方程；（2）在椭圆c上，是否存在点m（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆o：x2+y2=1相交于不同的两点a、b，且oab的面积最大？若存在，求出点m的坐标及相对应的oab的面积；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1），可设 。 ，故椭圆c的方程为。设为椭圆上的任一点，则。，当时，取得最大值，即取得最大值。又椭圆c上的点到q（0，2）的距离的最大值为3，解得。所求的椭圆c方程为。（2）假设点m（m，n）存在，则 ， 即圆心o到直线的距离。 。（当且仅当，即时取等号）。解得，即或或或。 所求点m的坐标为，对应的oab的面积为。【考点】椭圆的性质，两点间的距离公式，二次函数的最大值，基本不等式的应用。【解析】（1）由可得椭圆c的方程为，设设为椭圆上的任一点，求出的表达式，一方面由二次函数的最大值原理得的最大值，另一方面由已知椭圆c上的点到q（0，2）的距离的最大值为3列式求出，从而得到椭圆c的方程。 （2）假设点m（m，n）存在，求出的表达式，应用基本不等式求得oab的面积最大时m，n的值和对应的oab的面积。例6. （2012年浙江省文14分）如图，在直角坐标系xoy中，点p（1，）到抛物线c：=2px（p0）的准线的距离为。点m（t，1）是c上的定点，a，b是c上的两动点，且线段ab被直线om平分。（1）求p,t的值。（2）求abp面积的最大值。【答案】解：（1）由题意得，解得。（2）设，由（1）知线段ab的中点坐标为。设直线ab的斜率为k（k），由（1）知抛物线c：=x。则。 直线ab的方程为，即.。由，整理得。，。设点p到直线ab的距离为d，则。设abp的面积为s，则。由，得。令，则。则。由，得。，即abp的面积的最大值为。【考点】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系。应用导数求最大值。【解析】（1）直接由已知和抛物线的几何性质列式求解即可。 （2）求出abp面积关于线段ab的中点坐标的关系式，应用导数求最大值。例7. （2012年江苏省14分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由【答案】解：（1）在中，令，得。 由实际意义和题设条件知。 ，当且仅当时取等号。 炮的最大射程是10千米。 （2），炮弹可以击中目标等价于存在，使成立， 即关于的方程有正根。 由得。 此时，（不考虑另一根）。 当不超过6千米时，炮弹可以击中目标。【考点】函数、方程和基本不等式的应用。【解析】（1）求炮的最大射程即求与轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。 （2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。例8. （2012年辽宁省文12分）如图，动圆,与椭圆：相交于a，b，c，d四点，点分别为的左，右顶点。 ()当为何值时，矩形的面积取得最大值？并求出其最大面积； () 求直线与直线交点m的轨迹方程。【答案】解：（i）设，则矩形的面积。 由得， 。 当时，最大为，。 ， 当时，矩形的面积取得最大值，最大面积为6。()设，直线a1a的方程为，直线a