河南省南阳市高三数学上学期期末试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合a=x|x=3n+2，nn，b=6，8，10，12，14，则集合ab中元素的个数为（）a5b4c3d22已知复数z满足（z1）i=1+i，则z=（）a2ib2+ic2id2+i3已知an是公差为1的等差数列；sn为an的前n项和，若s8=4s4，则a10=（）abc10d124设d为abc所在平面内一点， =3，则（）a =+b =c =+d =+5要得到y=cosxsinx的图象，只需将y=2sinx（）a向左平移个单位长度b向右平移个单位长度c向左平移个单位长度d向右平移个单位长度6定点p（a，b）在圆x2+y2+2x=1内，直线（a+1）x+by+a1=0与圆x2+y2+2x=1的位置关系是（）a相交b相离c相切d不确定7已知函数f（x）是定义在r上的偶函数，且在区间0，+）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（a）2f（1），则a的取值范围是（）ab1，2cd（0，28某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（）a20+b24+c20+（+1）d24+（1）9执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）a5b6c7d1210如图点p在平面区域上，点q在曲线x2+（y+）2=1上，那么|pq|的最小值为（）a1b1c21d111已知a，b为双曲线e的左，右顶点，点m在e上，abm为等腰三角形，顶角为120，则e的离心率为（）ab2cd12已知函数f（x）=ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则实数a的取值范围是（）a（1，+）b（2，+）c（，1）d（，2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知数列an满足an+1+2an=0，a2=6，则an的前10项和等于14设函数f（x）=则函数y=f（x）与y=的交点个数是15已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，则三棱柱abca1b1c1的外接球体积为16抛物线c1：y=x2（p0）的焦点与双曲线c2：y2=1的右焦点的连线交c1于第一象限的点m，若c1在点m处切线平行于c2的一条渐近线，则p=三、解答题（共5小题，满分60分）17已知a，b，c分别为abc的三边a，b，c所对的角，向量，且（1）求角c的大小；（2）若sina，sinc，sinb成等差数列，且，求边c的长18某校在寒假放假之前举行主题为“珍惜生命，安全出行”的“交通与安全”知识宣传与竞赛活动，为了了解本次活动举办的效果，从全校学生的答卷中抽取了部分学生的答卷成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50，60），90，100的数据）：（）求n，x，y的值，并根据频率分布的直观图估计这次竞赛的平均成绩；（）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加市团委举办的宣传演讲活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率19如图1所示，直角梯形abcd，adc=90，abcd，ad=cd=ab=2，点e为ac的中点，将acd沿ac折起，使折起后的平面acd与平面abc垂直（如图2），在图2所示的几何体dabc中（1）求证：bc平面acd；（2）点f在棱cd上，且满足ad平面bef，求几何体fbce的体积20椭圆c： +=1（ab0）的左、右焦点分别为f1，f2，直线l：x=my1经过点f1与椭圆c交于点m，点m在x轴的上方，当m=0时，|mf1|=（1）求椭圆c的方程；（2）若点n是椭圆c上位于x轴上方的一点，mf1nf2，且=3，求直线l的方程21已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线c（1）当a=2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（3）已知点a为曲线c上的动点，在点a处作曲线c的切线l1与曲线c交于另一点b，在点b处作曲线c的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2问：是否存在常数，使得k2=k1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22如图，ab切o于点b，直线ao交o于d，e两点，bcde，垂足为c（）证明：cbd=dba；（）若ad=3dc，bc=，求o的直径【选修4-4：坐标系与参数方程】23在直角坐标系xoy中以o为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系圆c1，直线c2的极坐标方程分别为=4sin，cos（）=2（）求c1与c2交点的极坐标；（）设p为c1的圆心，q为c1与c2交点连线的中点，已知直线pq的参数方程为（tr为参数），求a，b的值【选修4-5：不等式选讲】24已知函数f（x）=log2（|x1|+|x4|a），ar（1）当a=2时，求f（x）3的解集；（2）当函数f（x）的定义域为r时，求实数a的取值范围2015-2016学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合a=x|x=3n+2，nn，b=6，8，10，12，14，则集合ab中元素的个数为（）a5b4c3d2【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】根据集合的基本运算进行求解【解答】解：a=x|x=3n+2，nn=2，5，8，11，14，17，则ab=8，14，故集合ab中元素的个数为2个，故选：d【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2已知复数z满足（z1）i=1+i，则z=（）a2ib2+ic2id2+i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z1，进一步求得z【解答】解：由（z1）i=1+i，得z1=，z=2i故选：c【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题3已知an是公差为1的等差数列；sn为an的前n项和，若s8=4s4，则a10=（）abc10d12【考点】等差数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：an是公差为1的等差数列，s8=4s4，=4（4a1+），解得a1=则a10=故选：b【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4设d为abc所在平面内一点， =3，则（）a =+b =c =+d =+【考点】平面向量的基本定理及其意义【专题】向量法；综合法；平面向量及应用【分析】根据向量减法的几何意义便有，而根据向量的数乘运算便可求出向量，从而找出正确选项【解答】解：；故选a【点评】考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算5要得到y=cosxsinx的图象，只需将y=2sinx（）a向左平移个单位长度b向右平移个单位长度c向左平移个单位长度d向右平移个单位长度【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质【分析】由于y=cosxsinx=2sin（x+），利用函数y=asin（x+）的图象变换即可求得答案【解答】解：y=cosxsinx=2（cosxsinx）=2cos（x+）=2sin（x+），f（x+）=2sin（x+）=cosxsinx，要得到函数y=cosxsinx图象，只需将函数y=2sinx的图象向左平移个单位故选：a【点评】本题考查函数y=asin（x+）的图象变换，考查两角和与差的正弦公式，属于中档题6定点p（a，b）在圆x2+y2+2x=1内，直线（a+1）x+by+a1=0与圆x2+y2+2x=1的位置关系是（）a相交b相离c相切d不确定【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】由定点p（a，b）在圆x2+y2+2x=1内，得到，求出圆x2+y2+2x=1的圆心（1，0）到直线（a+1）x+by+a1=0的距离，能判断出直线（a+1）x+by+a1=0与圆x2+y2+2x=1的位置关系【解答】解：定点p（a，b）在圆x2+y2+2x=1内，圆x2+y2+2x=1的圆心（1，0），半径r=，圆x2+y2+2x=1的圆心（1，0）到直线（a+1）x+by+a1=0的距离：d=，直线（a+1）x+by+a1=0与圆x2+y2+2x=1的位置关系是相离故选：b【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间公式和点到直线的距离公式的合理运用7已知函数f（x）是定义在r上的偶函数，且在区间0，+）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（a）2f（1），则a的取值范围是（）ab1，2cd（0，2【考点】函数奇偶性的性质；对数的运算性质【专题】函数的性质及应用【分析】由偶函数的性质将f（log2a）+f（a）2f（1）化为：f（log2a）f（1），再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围【解答】解：因为函数f（x）是定义在r上的偶函数，所以f（a）=f（log2a）=f（log2a），则f（log2a）+f（a）2f（1）为：f（log2a）f（1），因为函数f（x）在区间0，+）上单调递增，所以|log2a|1，解得a2，则a的取值范围是，2，故选：a【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于基础题8某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（）a20+b24+c20+（+1）d24+（1）【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何【分析】由三视图可以看出该几何体为一个圆柱从中间挖掉了一个圆锥，由此能示出该几何体的表面积【解答】解：由三视图可以看出该几何体为一个圆柱从中间挖掉了一个圆锥，圆柱表面积为6（22）=24，圆锥的侧面积为12=，所以该几何体的表面积为24+（）故选：d【点评】本题考查几何体的表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意几何体的三视图的合理运用9执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）a5b6c7d12【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次执行循环体后，s=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，s=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，s=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，s=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，s=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，s=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，s=，m=，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7，故选：c【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答10如图点p在平面区域上，点q在曲线x2+（y+）2=1上，那么|pq|的最小值为（）a1b1c21d1【考点】简单线性规划【专题】作图题；对应思想；数形结合法；不等式【分析】由约束条件作出可行域，画出圆，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线x2y+1=0的距离，则|pq|的最小值可求【解答】解：由题意画出图形如图：圆x2+（y+）2=1的圆心（0，）到直线x2y+1=0的距离为d=，|pq|的最小值为故选：b【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题11已知a，b为双曲线e的左，右顶点，点m在e上，abm为等腰三角形，顶角为120，则e的离心率为（）ab2cd【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设m在双曲线=1的左支上，由题意可得m的坐标为（2a， a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值【解答】解：设m在双曲线=1的左支上，且ma=ab=2a，mab=120，则m的坐标为（2a， a），代入双曲线方程可得，=1，可得a=b，c=a，即有e=故选：d【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得m的坐标是解题的关键12已知函数f（x）=ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则实数a的取值范围是（）a（1，+）b（2，+）c（，1）d（，2）【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】由题意可得f（x）=3ax26x=3x（ax2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可【解答】解：f（x）=ax33x2+1，f（x）=3ax26x=3x（ax2），f（0）=1；当a=0时，f（x）=3x2+1有两个零点，不成立；当a0时，f（x）=ax33x2+1在（，0）上有零点，故不成立；当a0时，f（x）=ax33x2+1在（0，+）上有且只有一个零点；故f（x）=ax33x2+1在（，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax33x2+1在（，0）上取得最小值；故f（）=3+10；故a2；综上所述，实数a的取值范围是（，2）；故选：d【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知数列an满足an+1+2an=0，a2=6，则an的前10项和等于1023【考点】数列的求和【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由已知得=2，从而数列an是公比q=2的等比数列，由此能求出数列an的前10项和s10【解答】解：由an+1+2an=0，得2an=an+1，则=2，数列an是公比q=2的等比数列，a2=6，a1=3，则数列an的前10项和s10=1210=1023故答案为：1023【点评】本题考查数列的前10项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用14设函数f（x）=则函数y=f（x）与y=的交点个数是4【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】作图题；函数的性质及应用【分析】在同一坐标系中，作出函数y=f（x）=与y=x的图象，数形结合即可知二曲线交点的个数【解答】解：在同一坐标系中作出函数y=f（x）=的图象与函数y=的图象，如下图所示，由图知两函数y=f（x）与y=的交点个数是4故答案为：4【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查作图与识图能力，属于中档题15已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，则三棱柱abca1b1c1的外接球体积为【考点】球的体积和表面积【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何【分析】先根据题意画出图形，再设三棱柱外接球的球半径为r，利用在直角三角形ado中的边的关系求出球半径，最后利用球的体积公式即可求出这个三棱柱的外接球的体积【解答】解：设三棱柱外接球的球心为o，球半径为r，三棱柱的底面三角形abc的中心为d，如图，三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，=，aa1=2，od=1又在正三角形abc中，ab=，则ad=1，在直角三角形ado中，oa2=od2+ad2有r2=12+12，r=，则这个三棱柱的外接球的体积为v=r3=故答案为：【点评】本题是基础题，考查几何体的外接球的体积的应用，三棱柱体积的求法，考查计算能力16抛物线c1：y=x2（p0）的焦点与双曲线c2：y2=1的右焦点的连线交c1于第一象限的点m，若c1在点m处切线平行于c2的一条渐近线，则p=【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=x2（p0）在x取直线与抛物线交点m的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把m点的坐标代入直线方程即可求得p的值【解答】解：由抛物线c1：y=x2（p0）得x2=2py（p0），所以抛物线的焦点坐标为f（0，）由y2=1得a=，b=1，c=2所以双曲线的右焦点为（2，0）则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为=，即x+2yp=0设该直线交抛物线于m（x0，），则c1在点m处的切线的斜率为由题意可知=，得x0=p，代入m点得m（p，）把m点代入得：解得p=故答案为：【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题三、解答题（共5小题，满分60分）17已知a，b，c分别为abc的三边a，b，c所对的角，向量，且（1）求角c的大小；（2）若sina，sinc，sinb成等差数列，且，求边c的长【考点】余弦定理；正弦定理【专题】解三角形【分析】（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，求出cosc的值，即可确定出c的度数；（2）由sina，sinc，sinb成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式2sinc=sina+sinb，利用正弦定理化简得到2c=a+b，已知等式利用平面向量的数量积运算化简，将cosc的值代入求出ab的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与ab的值代入即可求出c的值【解答】解：（1）=（sina，sinb），=（cosb，cosa），=sin2c，即sinacosb+sinbcosa=sin（a+b）=sinc=sin2c=2sinccosc，sinc0，cosc=，c为三角形内角，c=；（2）sina，sinc，sinb成等差数列，2sinc=sina+sinb，利用正弦定理化简得：2c=a+b，=18，abcosc=ab=18，即ab=36，由余弦定理得c2=a2+b22abcosc=a2+b2ab=（a+b）23ab，将a+b=2c，ab=36代入得：c2=4c2108，即c2=36，解得：c=6【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及等差数列的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18某校在寒假放假之前举行主题为“珍惜生命，安全出行”的“交通与安全”知识宣传与竞赛活动，为了了解本次活动举办的效果，从全校学生的答卷中抽取了部分学生的答卷成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50，60），90，100的数据）：（）求n，x，y的值，并根据频率分布的直观图估计这次竞赛的平均成绩；（）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加市团委举办的宣传演讲活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率【考点】频率分布直方图；茎叶图；古典概型及其概率计算公式【专题】概率与统计【分析】（）根据频率=，求出n、x、y的值，利用频率分布直方图计算平均分；（）求出分数在80，90）与90，100）内的人数，用列举法计算基本事件数，求出对应的概率【解答】解：（）由题意可知，n=50，y=0.004，x=0.10.0040.0100.0160.04=0.03，平均分约为=550.16+650.30+750.40+850.10+950.04=70.6；（）由题意可知，分数在80，90）有5人，分别记为a、b、c、d、e，分数在90，100）有2人，分别记为f，g；从竞赛成绩是80（分）以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有如下种情形：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（a，g），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（b，g），（c，d），（c，e），（c，f），（c，g），（d，e），（d，f），（d，g），（e，f），（e，g），（f，g）共有21个等可能基本事件；其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有（a，f），（a，g），（b，f），（b，g），（c，f），（c，g），（d，f），（d，g），（e，f），（e，g）共10个，所以抽取的2名同学来自不同组的概率p=【点评】本题考查了频率、频数与样本容量的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目19如图1所示，直角梯形abcd，adc=90，abcd，ad=cd=ab=2，点e为ac的中点，将acd沿ac折起，使折起后的平面acd与平面abc垂直（如图2），在图2所示的几何体dabc中（1）求证：bc平面acd；（2）点f在棱cd上，且满足ad平面bef，求几何体fbce的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）由题意知，ac=bc=2，从而由勾股定理得acbc，取ac中点e，连接de，则deac，从而ed平面abc，由此能证明bc平面acd（2）取dc中点f，连结ef，bf，则efad，三棱锥fbce的高h=bc，sbce=sacd，由此能求出三棱锥fbce的体积【解答】（1）证明：在图1中，由题意知，ac=bc=2，ac2+bc2=ab2，acbc取ac中点e，连接de，则deac，又平面adc平面abc，且平面adc平面abc=ac，de平面acd，从而ed平面abc，edbc又acbc，aced=e，bc平面acd（2）解：取dc中点f，连结ef，bf，e是ac中点，efad，又ef平面bef，ad平面bef，ad平面bef，由（1）知，bc为三棱锥bacd的高，三棱锥fbce的高h=bc=2=，sbce=sacd=22=1，所以三棱锥fbce的体积为：vfbce=1=【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养20椭圆c： +=1（ab0）的左、右焦点分别为f1，f2，直线l：x=my1经过点f1与椭圆c交于点m，点m在x轴的上方，当m=0时，|mf1|=（1）求椭圆c的方程；（2）若点n是椭圆c上位于x轴上方的一点，mf1nf2，且=3，求直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）求出直线恒过f1（1，0），即c=1，令x=1，代入椭圆方程求得=，又a21=b2，解方程，即可得到椭圆方程；（2）设m（x1，y1），n（x2，y2），（y1，y20），代入椭圆方程，结合直线的斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，由=3，可得y1=3y2，联立方程，解得m，n的坐标，即可得到直线l的方程【解答】解：（1）直线l：x=my1经过（1，0），即有f1（1，0），即c=1，当m=0时，x=1，代入椭圆方程，可得y=b，即有=，又a21=b2，解得a=，b=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）设m（x1，y1），n（x2，y2），（y1，y20），由题意可得， +y12=1， +y22=1，由mf1nf2，则=，即有=，由=3，则=3即y1=3y2由解得或，即有m（0，1），n（，）则m=1即有直线l：xy+1=0【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，掌握点在椭圆上，满足题意方程，同时考查直线的斜率及直线方程的求法，属于中档题21已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线c（1）当a=2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（3）已知点a为曲线c上的动点，在点a处作曲线c的切线l1与曲线c交于另一点b，在点b处作曲线c的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2问：是否存在常数，使得k2=k1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】压轴题；导数的综合应用【分析】（1）先求原函数的导数，根据f（x）0求得的区间是单调减区间，即可；（2）由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f（x0）=0同时成立，则存在唯一的实数根x0，即b=2x3+x2+x存在唯一的实数根x0，就把问题转化为求函数最值问题；（3）假设存在常数，依据曲线c在点a处的切线l1与曲线c交于另一点b，曲线c在点b处的切线l2，得到关于的方程，有解则存在，无解则不存在【解答】解：（1）当a=2时，函数f（x）=x3+x22x+b则f（x）=3x2+5x2=（3x1）（x+2）令f（x）0，解得2x，所以f（x）的单调递减区间为（2，）；（2）函数f（x）的导函数为由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f（x0）=0同时成立，则即x3+x2+（3x25x1）x+b=0存在唯一的实数根x0，故b=2x3+x2+x存在唯一的实数根x0，令y=2x3+x2+x，则y=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=或x=，则函数y=2x3+x2+x在（，），（，+）上是增函数，在（，）上是减函数，由于x=时，y=；x=时，y=；故实数b的取值范围为：（，）（，+）；（3）设点a（x0，f（x0），则在点a处的切线l1的切线方程为yf（x0）=f（x0）（xx0），与曲线c联立得到f（x）f（x0）=f（x0）（xx0），即（x3+x2+ax+b）（x03+x02+ax0+b）=（3x02+5x0+a）（xx0），整理得到（xx0）2x+（2x0+）=0，故点b的横坐标为xb=（2x0+）由题意知，切线l1的斜率为k1=f（x0）=3x02+5x0+a，l2的斜率为k2=f（2x0+）=12x02+20x0+a，若存在常数，使得k2=k1，则12x02+20x0+a=（3x02+5x0+a），即存在常数，使得（4）（3x02+5x0）=（1）a，故，解得=4，a=，故a=时，存在常数=4，使得k2=4k1；a时，不存在常数，使得k2=4k1【点评】本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时还考查了方程根的问题，一般要转化为函数的最值来解决请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22如图，ab切o于点b，直线ao交o于d，e两点，bcde，垂足为c（）证明：cbd=dba；（）若ad=3dc，bc=，求o的直径【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆