高中数学 第二章 推理与证明本章整合课件 新人教B版选修12.ppt

本章整合 第二章推理与证明 专题1 专题2 专题3 专题1合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 然后提出猜想的推理 统称为合情推理 合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向 归纳推理的思维过程大致如下 实验 观察概括 推广猜测一般性结论类比推理的思维过程大致如下 观察 比较联想 类推猜测新的结论 专题1 专题2 专题3 应用蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师 单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形 如图为一组蜂巢的截面图 其中第一个图有1个蜂巢 第二个图有7个蜂巢 第三个图有19个蜂巢 按此规律 以f n 表示第n个图的蜂巢总数 1 试给出f 4 f 5 的值 并求f n 的表达式 不要求证明 专题1 专题2 专题3 提示 通过f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 发现规律 求得f n 的表达式 借助放缩法 裂项求和法证明第 2 问 1 解 f 4 37 f 5 61 由于f 2 f 1 7 1 6 f 3 f 2 19 7 2 6 f 4 f 3 37 19 3 6 f 5 f 4 61 37 4 6 因此 当n 2时 有f n f n 1 6 n 1 所以f n f n f n 1 f n 1 f n 2 f 2 f 1 f 1 6 n 1 n 2 2 1 1 3n2 3n 1 又f 1 1 3 12 3 1 1 所以f n 3n2 3n 1 专题1 专题2 专题3 专题1 专题2 专题3 专题2三段论推理三段论推理是演绎推理的主要形式 演绎推理具有如下特点 1 演绎推理的前提是一般性原理 演绎推理所得的结论完全蕴涵于前提之中 2 演绎推理中 前提与结论之间存在必然的联系 演绎推理是数学中严格证明的工具 3 演绎推理是一种收敛性的思维方法 它缺少创造性 但却具有条理清晰 令人信服的论证特点 有助于科学的理论化和系统化 专题1 专题2 专题3 所以mn pq 又因为mn 平面adc pq 平面adc 所以mn 平面acd 应用1已知a b c d四点不共面 m n分别是 abd和 bcd的重心 求证 mn 平面acd 提示 根据三角形的重心的性质可证得mn与 acd的一条中位线平行 从而得到mn 平面acd 证明 如图所示 连接bm bn 并延长分别交ad dc于p q两点 连接pq 因为m n分别是 abd和 bcd的重心 所以p q分别是ad dc的中点 专题1 专题2 专题3 应用2用三段论证明函数f x x2 2x在 1 上是增函数 提示 证明本题所依据的大前提是增函数的定义 即函数y f x 满足 在给定区间内任取自变量的两个值x1 x2 若x10 因为x1 x2 1 x1 x2 所以x2 x1 2 0 因此f x1 f x2 0 即f x1 f x2 于是根据 三段论 得函数f x x2 2x在 1 上是增函数 专题1 专题2 专题3 专题3直接证明与间接证明在解决问题时 我们经常把综合法和分析法结合起来使用 根据条件的结构特点去转化结论 得到中间结论q 根据结论的结构特点去转化条件 得到中间结论p 若由p可以推出q成立 就可以证明结论成立 反证法不是去直接证明结论 而是先否定结论 在否定结论的基础上 运用演绎推理推导出矛盾 从而肯定结论的真实性 专题1 专题2 专题3 应用1设a b c为三角形的三边 求证 a b c 20 b 0 c 0 且a b c 所以a b c 0 从而a a b c 0 同理可得b b c a 0 c c a b 0 三式相加 则不等式 成立 以上各步均可逆推 故原不等式成立 专题1 专题2 专题3 证法二 综合法 因为a b c是三角形的三边 所以a 0 b 0 c 0 且a b c 所以a b c 0 从而a a b c 0 同理可得 b b a c 0 c c a b 0 三式相加 可得a a b c b b c a c c a b 0 则a2 ab ac b2 bc ab c2 ca bc 0 即a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 0 通过配方 可得 a b c 2 4 ab bc ac 专题1 专题2 专题3 应用2请证明若函数f x 在区间 a b 上是增函数 则方程f x 0在区间 a b 上至多有一个实数根 提示 含有 至多 至少 类词语的命题从正面证明难以入手 往往考虑应用反证法证明 证明 假设方程f x 0在区间 a b 上至少有两个不相等的实数根 设 为其中的两个实根 则f f 0 因为 不妨设 又因为函数f x 在区间 a b 上是增函数 所以f f 这与f f 0矛盾 所以方程f x 0在区间 a b 上至多有一个实数根 1 2 3 4 5 1 江西高考 观察下列事实 x y 1的不同整数解 x y 的个数为4 x y 2的不同整数解 x y 的个数为8 x y 3的不同整数解 x y 的个数为12 则 x y 20的不同整数解 x y 的个数为 a 76b 80c 86d 92答案 b 1 2 3 4 5 根据以上事实 由归纳推理可得 当n n 且n 2时 fn x f fn 1 x 1 2 3 4 5 3 湖北高考 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数 他们研究过如图所示的三角形数 将三角形数1 3 6 10 记为数列 an 将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 bn 可以推测 1 b2012是数列 an 中的第项 2 b2k 1 用k表示 1 2 3 4 5 解析 1 由题意可得 a1 1 a2 3 a3 6 a4 10 a2 a1 2 a3 a2 3 a4 a3 4 an an 1 n 1 2 3 4 5 4 陕西高考 观察下列等式 1 12 3 4 93 4 5 6 7 254 5 6 7 8 9 10 49 照此规律 第五个等式应为 解析 观察等式左侧 第一行有1个数是1 第二行是3个连续自然数的和 第一个数是2 第三行是5个连续自然数的和 第一个数是3 第四行是7个连续自然数的和 第一个数是4 第五行应该是连续9个自然数的和 第一个数为5 所以第五行左侧为5 6 7 8 9 10 11 12 13 等式右侧 第一行1 12 第二行9 32 第三行25 52 第四行49 72 则第五行应为81 92 所以第五个等式为5 6 7 8 9 10 11 12 13 81 答案 5 6 7 8 9 10 11 12 13 81 1 2 3 4 5 5 福建高考 某同学在一次研究性学习中发现 以下五个式子的值都等于同一个常数 sin213 cos217 sin13 cos17 sin215 cos215 sin15 cos15 sin218 cos212 sin18 cos12 sin2 18 cos248 sin 18 cos48 sin2 25 cos255 sin 25 cos55 1 试从上述五个式子中选择一个 求出这个常数 2 根据 1 的计算