高中数学 第二章 函数 2.1 函数 2.1.4 函数的奇偶性（1）课件 新人教B版必修1.ppt

第二章 函数 2 1函数 2 1 4函数的奇偶性 第1课时函数的奇偶性的定义 自主预习学案 大自然是一个真正的设计师 它用对称的方法创造了千百万种不同的生命 被誉为 上海之鸟 的浦东国际机场的设计模型 是一只硕大无比 展开双翅的海鸥 它的两翼呈对称状 看上去舒展优美 它象征着浦东将展翅高飞 飞向更高 更广阔的天地 创造更新 更宏伟的业绩 一些函数的图象也有着如此美妙的对称性 那么这种对称性体现了函数的什么性质呢 1 设函数y f x 的定义域为d 如果对于d内的任意一个x 都有 x d 且f x f x 则这个函数叫做 2 设函数y g x 的定义域为d 如果对于d内的任意一个x 都有 x d 且g x g x 则这个函数叫做 3 当函数f x 是奇函数或偶函数时 称函数具有 4 奇函数的图象关于 对称 偶函数的图象关于 对称 奇函数 偶函数 奇偶性 原点 y轴 d 解析 f x 为奇函数 f x f x f x f x f x f x f x 2 0 c d 0 互动探究学案 命题方向1函数奇偶性的判断 分析 判断函数的奇偶性要先求定义域 再寻找f x 与f x 的关系 规律方法 判断函数的奇偶性 首先 要求出函数的定义域 判断定义域是否关于原点对称 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性必须具备的一个条件 否则 函数不具有奇偶性 命题方向2分段函数奇偶性的判定 分析 判断分段函数的奇偶性 要注意x与 x是在不同的 段 中 则f x 与f x 是不同的关系式 解析 解法一 任取x 0 则 x0 f x x 2 1 x2 1 x2 1 f x 规律方法 1 判断分段函数的奇偶性 必须分段考虑 2 若分段函数是奇函数或偶函数 常用含绝对值符号的函数表达式来表示 解析 函数f x 的定义域为r 关于原点对称 当x 0时 x0 f x x 2 2 x2 2 x2 2 f x 当x 0时 f 0 0 即x 0时 f x f x 综上所述 x r 有f x f x 故该函数为奇函数 命题方向3利用奇 偶 函数图象的对称特征 求关于原点对称的区间上的解析式 解析 当x 0时 x 0 当x 0时 f x x 1 x f x x 1 x 又f x 为奇函数 f x f x f x x 1 x f x x 1 x 又f 0 f 0 f 0 f 0 0 当x 0时 f x x 1 x 规律方法 如果f x 是奇函数 且f x 在x 0处有定义 则必有f 0 0 这是因为 若f x 为奇函数 则对定义域内的任意数x 都有f x f x 0 当x 0时 有f 0 f 0 0 f 0 0 命题方向4抽象函数奇偶性的证明 分析 因为对于任意实数a b都有f a b f a f b 可以先令a b为某些特殊值 从而得出f x f x 证明 令a 0 则f b f 0 f b f 0 0 再令a x b x 则f 0 f x f x f x f x 且定义域x r关于原点对称 f x 是奇函数 规律方法 判断抽象函数的奇偶性 应利用函数奇偶性定义 找准方向 巧妙赋值 合理 灵活变形配凑 找出f x 与f x 的关系 从而判断或证明抽象函数的奇偶性 由于偶函数的图象关于y轴对称 奇函数的图象关于原点对称 因而在研究这类函数的性质时 只需通过研究函数在 0 或 0 上的情形 便可推断出函数在整个定义域上的情形 巧用奇 偶函数的图象特征 1 0 1 2 解析 函数f x 是定义在r上的奇函数 f 0 0 又f 3 f 3 2 f 3 2 f 3 f 0 2 故选c c 解析 偶函数的图象关于y轴对称 但不一定相交 因此 正确 错误 奇函数的图象关于原点对称 但不一定经过原点 因此 不正确 若y f x 既是奇函数又是偶函数 由定义可得f x 0 但不一定x r 只要定义域关于原点对称即可 故 错误 既是奇函数又是偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零 区别在定义域 选a