广东省揭阳市高考数学一模试卷 文（含解析）.docVIP

广东省揭阳市2015届高考 数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合a=4，5，6，8，b=3，5，7，8，则ab中元素的个数为( )a5b6c7d8考点：并集及其运算 专题：集合分析：根据并集的运算计算即可解答：解：a=4，5，6，8，b=3，5，7，8，ab=3，4，5，6，7，8，故则ab中元素的个数为6个，故选：b点评：本题考查了集合的运算，属于基础题2已知复数z=（87i）（3i），则z在复平面内对应的点位于( )a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出解答：解：复数z=（87i）（3i）=24i21，则z在复平面内对应的点（21，24）位于第二象限故选；b点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题3“ab”是“a2b2”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答：解：若a=1，b=1，满足ab，但a2b2不成立，若a=1，b=0，满足a2b2，但ab不成立，故“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件，故选：d点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础4双曲线=1（a0）的离心率为( )abc2d考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求得双曲线的b=2a，由双曲线的a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到解答：解：双曲线=1（a0）的b=2a，c=a，即有e=故选a点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，属于基础题5已知=（sin，cos），=（2，1），若，则tan的值为( )a2b2cd考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：平面向量及应用分析：由向量垂直的性质得=2sin+cos=0，从而cos=2sin，由此能求出tan=解答：解：=（sin，cos），=（2，1），=2sin+cos=0，cos=2sin，tan=故选：c点评：本题考查角的正切值的求法，是基础题，解题时要注意向量垂直的性质的合理运用6已知函数y=logax（a0，a1）的图象经过点（2，），则其反函数的解析式为( )ay=4xby=log4xcy=2xdy=（）x考点：反函数 专题：函数的性质及应用分析：由对数函数的图象过定点求出a的值，然后化指数式为对数式，再把x，y互换求得原函数的反函数解答：解：y=logax（a0，a1）的图象经过点（2，），解得a=4y=log4x，则x=4y，把x，y互换得到函数y=log4x的反函数为y=4x故选：a点评：本题考查了对数函数的运算性质，考查了函数的反函数的求法，是基础题7某单位200名职工的年龄分布情况如图示，该单位为了解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查则应从4050岁的职工中抽取的人数为( )a8b12c20d30考点：分层抽样方法 专题：概率与统计分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论解答：解：由图表关系知，若抽取40名职工，则应从4050岁的职工中抽取的人数为4030%=12，故选：b点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础8不等式组表示的平面区域的面积为( )a14b5c3d7考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：先画出满足条件的平面区域，再求出交点的坐标，根据三角形的面积公式求出即可解答：解：画出满足条件表示的平面区域，如图示：平面区域的面积是4=7，故选：d点评：本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题9设l、m是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是( )a若ml，m，则lb若m，lm，则lc若，l，m，则lmd若m，m，l，l，则考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：利用空间直线的位置关系以及线面平行、面面平行的判定定理对选项分别分析解答解答：解：对于a，若ml，m，则l可能在内，故a错误；对于b，若m，lm，则l可能在内，故b错误；对于c，若，l，得到l，结合m，得到lm；故c正确；对于d，若m，m，l，l，则与可能相交；故d错误；故选c点评：本题考查了空间直线的位置关系以及线面平行、面面平行的判定定理，关键是熟练掌握定理10对任意的a、br，定义：mina，b=；maxa，b=则下列各式中恒成立的个数为( )mina，b+maxa，b=a+bmina，bmaxa，b=ab（mina，b）（maxa，b）=ab（mina，b）（maxa，b）=aba 1b2c3d4考点：进行简单的合情推理 专题：推理和证明分析：本题根据函数的定义，分类研究a，b的大小，可得到取小函数与取大函数mina，b，maxa，b的值，从而得到本题结论解答：解：对任意的a、br，定义：mina，b=；maxa，b=，mina，b取a，b中的最小值，maxa，b取a，b的最大值mina，b，maxa，b分别取出a，b中的一个最大值与一个最小值，mina，b+maxa，b=a+b，（mina，b）（maxa，b）=ab，故成立；若ab，则有：mina，bmaxa，b=ab，若ab，则mina，bmaxa，b=baab，故不一定成立；若ab，且b0，则有：（mina，b）（maxa，b）=ab，若ab，且a0，（mina，b）（maxa，b）=baab故不一定成立故选b点评：本题考查了新定义函数的理解和分类讨论的数学思想，本题难度不大，属于基础题二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（11-13题）11不等式x23x100的解集为x|2x5考点：一元二次不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：把不等式x23x100化为（x5）（x+2）0，求出解集即可解答：解：不等式x23x100可化为（x5）（x+2）0，解得2x5；该不等式的解集为x|2x5故答案为：x|2x5点评：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目12在abc中，a、b、c的对边分别为a、b、c，若a=3，b=2a，cosa=，则b=2考点：正弦定理 专题：解三角形分析：由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得sina和sinb的值，再利用正弦定理求得b的值解答：解：abc中，由cosa=，b=2a，可得sina=，sinb=sin2a=2sinacosa=2=再由正弦定理可得=，即=，求得b=2，故答案为：点评：本题主要考查正弦定理、同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题13已知函数f（x）=x3对应的曲线在点（ak，f（ak）（kn*）处的切线与x轴的交点为（ak+1，0），若a1=1，则=3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；导数的概念及应用；等差数列与等比数列分析：求出函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，再令y=0，结合等比数列的定义可得，数列an是首项a1=1，公比的等比数列，再由等比数列的求和公式计算即可得到所求值解答：解：由f（x）=3x2得曲线的切线的斜率，故切线方程为，令y=0得，故数列an是首项a1=1，公比的等比数列，又=，所以故答案为：3点评：本题考查导数的运用：求切线的方程，主要考查导数的几何意义，同时考查等比数列的定义和求和公式，运用点斜式方程求得切线方程是解题的关键（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14在极坐标系中，直线sin（+）=2被圆=4截得的弦长为4考点：简单曲线的极坐标方程 专题：常规题型；转化思想分析：先利用三角函数的和角公式展开直线的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得直角坐标方程，最后利用直角坐标中直线与圆的关系求出截得的弦长即可解答：解：sin（+）=2，sin+cos=2，化成直角坐标方程为：x+y2=0，圆=4化成直角坐标方程为x2+y2=16，圆心到直线的距离为：截得的弦长为：2=故答案为：点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化【几何证明选讲选做题】15如图，be、cf分别为钝角abc的两条高，已知ae=1，ab=3，cf=4，则bc边的长为考点：相似三角形的性质 专题：选作题；立体几何分析：先求出be，再利用beacfa，求出ac，可得ec，利用勾股定理求出bc解答：解：依题意，ae=1，ab=3，得，因beacfa得，所以af=2，ac=6，所以ec=7，所以故答案为：点评：本题考查相似三角形的性质，考查学生的计算能力，正确运用相似三角形的性质是关键三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16已知函数f（x）=2sin（x+）（0，xr）的最小正周期为（1）求的值；（2）若f（）=，（0，），求cos2的值考点：正弦函数的图象 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）直接利用正弦型函数的周期关系式求出结论（2）利用（1）所确定的函数关系式进一步对关系式中的角进行恒等变换，利用三角函数的诱导公式求出结果解答：解：（1）函数f（x）=2sin（x+）（0，xr）的最小正周期为，由得=2；（2）由：得，=点评：本题考查的知识要点：利用正弦型函数周期的关系式确定函数的解析式，函数关系式中角的恒等变换的应用17如图是某市今年1月份前30天空气质量指数（aqi）的趋势图（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；分组频数 频率 20，40）40，60）60，80）80，100）100，120）120，140）140，160）160，180）180.200 合计 30 1（2）当空气质量指数（aqi）小于100时，表示空气质量优良某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即，以此类推）考点：频率分布直方图 专题：应用题；概率与统计分析：（1）根据图中数据，列出频率分布表，画出频率分布直方图即可；（2）由频率分布表，得出该市本月前30天中空气质量优良的天数，计算任意1天空气质量优良的概率即可解答：解：（1）根据图中数据，列出频率分布表如下； 分组频数 频率 20，40）2 40，60）5 60，80）7 80，100） 5100，120） 2120，140） 5140，160）1 160，180） 1180.200 2 合计 30 1根据频率分布表，画出频率分布直方图，如下；（2）由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为2+5+7+5=19，此人到达当天空气质量优良的概率：；可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%点评：本题考查了列频率分布表与画频率分布直方图的应用问题，也考查了利用频率估计概率的应用问题，是基础题目18如图5，已知bcd中，bcd=90，bc=cd=1，ab=，ab平面bcd，e、f分别是ac、ad的中点（1）求证：平面bef平面abc；（2）设平面bef平面bcd=l，求证cdl；（3）求四棱锥bcdfe的体积v考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）利用线面垂直的判定与性质定理可证：cd平面abc，再利用三角形的中位线定理可得：efcd再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定即可证明；（2）由cdef，利用线面平行的判定定理可得：cd平面bef，再利用线面平行的性质定理即可证明；（3）解法1：由（1）知efcd，利用三角形相似的性质可得：，得到，求出vbacd即可得出解法2：取bd中点g，连接fc和fg，则fgab，利用线面垂直的性质可得：fg平面bcd，由（1）知ef平面abc，利用v=vfebc+vfbcd即可得出；解答：（1）证明：ab平面bcd，cd平面bcd，abcd，又bccd，abbc=b，cd平面abc，又e、f分别是ac、ad的中点，efcdef平面abc又ef平面bef，平面bef平面abc（2）证明：cdef，cd平面bef，ef平面bef，cd平面bef，又cd平面bcd，且平面bef平面bcd=l，cdl（2）解法1：由（1）知efcd，aefacd，=解法2：取bd中点g，连接fc和fg，则fgab，ab平面bcd，fg平面bcd，由（1）知ef平面abc，v=vfebc+vfbcd=点评：本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理、三角形相似的性质三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题19已知sn为数列an的前n项和，sn=nan3n（n1）（nn*），且a2=12（1）求a1的值；（2）求数列an的通项公式；（3）求证：+考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）在数列递推式中，取n=2，结合已知a2=12求得数列首项；（2）在数列递推式中，取n=1得另一递推式，作差后可得数列an为等差数列，由等差数列的通项公式得答案；（3）求出等差数列的前n项和，取倒数后利用裂项相消法求出+得答案解答：（1）解：由sn=nan3n（n1），得a1+a2=2a232（21），即a1=a26，a2=12，a1=126=6；（2）解：由sn=nan3n（n1），得sn1=（n1）an13（n1）（n2）（n2），两式作差得：an=nan（n1）an16n+6，即anan1=6（n2）数列an是以6为首项，以6为公差的等差数列，an=6+6（n1）=6n；（3）证明：，则，+=点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题20已知抛物线c：x2=2py（p0）的焦点为f，点p是直线y=x与抛物线c在第一象限的交点，且|pf|=5（1）求抛物线c的方程；（2）设直线l：y=kx+m与抛物线c有唯一公共点m，且直线l与抛物线的准线交于点q，试探究，在坐标平面内是否存在点n，使得以mq为直径的圆恒过点n？若存在，求出点n的坐标，若不存在，说明理由考点：抛物线的简单性质 专题：常规题型；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设点p（m，m）（m0），根据抛物线的定义和点p在抛物线c上构建关于m，p的方程，解方程组即可求出抛物线的方程；（2）假设存在点n，使得以mq为直径的圆恒过点n，由直线l：y=kx+m与抛物线c有唯一公共点m知，直线l与抛物线c相切，利用导数求出直线l的方程，进而求出q点坐标，根据直径所对的圆周角为直角，利用求出n点坐标解答：解：（1）解法1：点p是直线y=x与抛物线c在第一象限的交点，设点p（m，m）（m0），抛物线c的准线为，由|pf|=5结合抛物线的定义得又点p在抛物线c上，m2=2pm（m0）m=2p由联立解得p=2，所求抛物线c的方程式为x2=4y解法2：点p是直线y=x与抛物线c在第一象限的交点，设点p（m，m）（m0），抛物线c的焦点为，由|pf|=5得，即，又点p在抛物线c上，m2=2pm（m0）m=2p由联立解得p=2，所求抛物线c的方程式为x2=4y（2）解法1：由抛物线c关于y轴对称可知，若存在点n，使得以mq为直径的圆恒过点n，则点n必在y轴上，设n（0，n），又设点，由直线l：y=kx+m与抛物线c有唯一公共点m知，直线l与抛物线c相切，由得，直线l的方程为，令y=1得，q点的坐标为，点n在以mq为直径的圆上，要使方程（*）对x0恒成立，必须有解得n=1，在坐标平面内存在点n，使得以mq为直径的圆恒过点n，其坐标为（0，1）解法2：设点m（x0，y0），由l：y=kx+m与抛物线c有唯一公共点m知，直线l与抛物线相切，由得，直线l的方程为，令y=1得，q点的坐标为，以mq为直径的圆方程为：分别令x0=2和x0=2，由点m在抛物线c上得y0=1，将x0，y0的值分别代入得：（y1）（y+1）+（x2）x=0（y1）（y+1）+（x+2）x=0联立解得或，在坐标平面内若存在点n，使得以mq为直径的圆恒过点n，则点n必为（0，1）或（0，1），将（0，1）的坐标代入式得，左边=2（1y0）+2（y01）=0=右边，将（0，1）的坐标代入式得，左边=不恒等于0，在坐标平面内是存在点n，使得以mq为直径的圆恒过点n，点n坐标为为（0，1）点评：本题考查了抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，这类题目考查比较灵活，解决问题时注意几何关系向代数关系（即坐标关系）的转化21已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中ar（1）若函数f（x）=f（x）g（x），当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）若函数g（x）=f（sin（x1）g（x）在区间（0，1）上为减函数，求a的取值范围；（3）证明：ln（n+1）考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 专题：导数的综合应用分析：（1）利用导数研究函数的单调性极值即可得出；（2）解法1：由函数g（x）=f（sin（x1）g（x）=asin（x1）lnx在区间（0，1）上为减函数，可得在（0，