全国高中数学竞赛二试模拟训练题(69)(1).doc

加试模拟训练题（69）1o过abc顶点a，c，且与ab，bc交于k，n(k与n不同).abc 外接圆和bkn外接圆相交于b和m.求证：bmo=90.2.设2n个实数a1，a2，an；b1，bn（n3）满足条件：（1）a1+a2+an=b1+b2+bn（2）0a1=a2，ai+ai+1=ai+2 （i=1，2，n-2）（3）0b1b2，bi+bi+1bi+2 （i=1，2，n-2）求证：an-1+anbn-1+bn3. 一个正n边形a被分成n个具有公共顶点(即a的中心)的全等的等腰三角形在这些等腰三角形中随意放入n1只青蛙后，每秒钟都恰有某两只同在一个等腰三角形中的青蛙分别跳入两侧相邻的等蛙(x表示x的整数部分)4.试求最大的整数k,使得对每个正整数n皆有 1980k|.加试模拟训练题（69）1o过abc顶点a，c，且与ab，bc交于k，n(k与n不同).abc 外接圆和bkn外接圆相交于b和m.求证：bmo=90.(第26届imo第五题)证明：连接oc，ok，mc，mk，延长bm到g.易得gmc=bac=bnk=bmk.而cok=2bac=gmc+bmk=180-cmk， cok+cmk=180c，o，k，m四点共圆. 在这个圆中，由oc=ok oc=okomc=omk. 但gmc=bmk，故bmo=90.2.设2n个实数a1，a2，an；b1，bn（n3）满足条件：（1）a1+a2+an=b1+b2+bn（2）0a1=a2，ai+ai+1=ai+2 （i=1，2，n-2）（3）0b1b2，bi+bi+1bi+2 （i=1，2，n-2）求证：an-1+anbn-1+bn【题说】1995年中国数学奥林匹克（第十届数学冬令营）题1【证】设ci=ai-bi（1in），则c1c2，ci+2ci+ci+1（i=1，2，n-2）并且c1+c2+cn=0 （1）我们证明更强一点的命题：如果对于k（2kn）有c1+c2+ck0 （2）那么 c1+c2+ck-10 （3）事实上，若有连续两项ci-1，ci0（2ik），则ci+10，ci+20，ck0由（2）立即得出（3）若每连续两项ci-1，ci中至少有一个0，则c10并且对每个0的ci，ci-1与ci+1均为正，从而ci-1+cici+10于是将c1，c2，ck-1中，每个负项与它前面一项合并，c1+c2+ck-1就变成若干正项的和，当然（3）成立由于上述命题及（1），我们有c1+c2+cn-10，c1+c2+cn-20再由（1）减去此式，便得cn-1+cn0即an-1+anbn-1+bn3. 一个正n边形a被分成n个具有公共顶点(即a的中心)的全等的等腰三角形在这些等腰三角形中随意放入n1只青蛙后，每秒钟都恰有某两只同在一个等腰三角形中的青蛙分别跳入两侧相邻的等蛙(x表示x的整数部分)【题说】1993年江苏省高中数学竞赛二试题2【证】由抽屉原理，总有两只或更多只青蛙在同一个(等腰)三角形中，所以这种蛙跳，将无限继续下去依顺时针方向依次将各三角形编号为1，2，n，且令青蛙的号码与它所在的三角形的号码相同设s是n1只青蛙的号码的平方和，则总有s(n1)n2如果某一个三角形(可设它编号为1)永远无青蛙跳入，则当青蛙作一次跳动后，s的某两项i2i2变为(i1)2(i1)2，故s增加2由于这种跳动无限继续下去，与s有上界矛盾，故每个三角形都会有青蛙跳入由青蛙的跳法，任何一对相邻的三角形，若其中至少一个有青蛙，个三角形有青蛙；若n是奇数，取去一个有青蛙的三角形，余下的n14.试求最大的整数k,使得对每个正整数n皆有 1980k|.解.1980=2232511.11(1980!)=180+16+1=197.由于2,故5(m!)211(m!).同理,3(m!)311(m!), 2(m!)511(m!).故满足1980k|的最大k=197.对任一素数p, p()=p(